2024年中考数学热点探究十九 数学古文化题练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十九 数学古文化题练习附解析，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A．B．
C．D．
4．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A．B．
C．D．
5．榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是梯形，其中AD∥BC，AB=DC，燕尾角∠B=α，外口宽AD=a，榫槽深度是b，则它的里口宽BC为（ ）
A．btanα+aB．2btanα+aC．btanα+aD．2btanα+a
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
7．如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A．3π18B．318C．3π9D．39
8．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（ ）
A．1B．8−43C．16−83D．20−103
9．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连结EG并延长交BC于点M.若AB＝ 13 ，EF=1，则GM的长为（ ）
A．225B．223C．324D．425
10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ）
A．20B．24C．D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影．
12．如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧.点M表示筒车的一个盛水桶.当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O的半径为5米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆被水面截得的弦AB长为 米．
13．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，千之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？“意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两(古代中国1斤等于16两)．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
14．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为 a1=1 ， a2=3 ， a3=6 ， a4=10 ，…，那么 1a1+1a2+1a3+⋯+1a10 的值是 .
15．如图1是将正方形分割成七个几何图形得到的七巧板，它是中国古代劳动人民发明的一种智力玩具．图2是由七巧板拼成“熊”的几何图形．四边形ABCD是菱形，且CIJ的面积为2，则AE= ．记点K到直线LG的距离为d，则 dAB =
三、解答题（共9题，共59分）
16．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》(孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．
（1）某班准备从这4部数学名著中随机选择2部作为数学文化课程学习内容，用适当的方法列举出所有可能的结果．
（2）求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
17．《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.其意思可以理解为现在有一些人共同买一个物品，如果每人出8钱，还多出3钱；如果每人出7钱，则还差4钱．
（1）若共同买这一物品的人数为x人，则根据每人出8钱，还多出3钱，表示该物品的价格为 钱(用含x的式子表示)；
（2）计算购买3个该物品所需的钱数．
18．中国古代在公元前⒉世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”.如图1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理.
（1）在图2中，AB呈水平状态，若入射角∠BCD=41°，∠CAE=37°（入射角等于反射角，CD，AE为法线），求∠ABC的度数.
（2）在（1）的条件下，若AB=11.2米.求点C到AB的距离（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）.
19．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50，25)，OC=5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点A处建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD=75，AD=12，AB=9，点D、A、B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB．
20．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知AB=AC=1.6米，AD=1.2米．在安全使用的前提下，当∠BAC=30°时，桑梯顶端D达到最大高度，求此时D到地面BC的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，精确到0.1米）
21．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子⋅备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA：OB=2：1．当点A位于最高点时，∠AOM=127°．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
22．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB=90cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积．(结果保留π)
23．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，如图．
（1）求x；
（2）在剩下的5个格子里，请你再求出一个格子里的数．（指出某号格子，直接写出对应的数即可）
24．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
（1）徽徽猜想∠C+2∠BDC=90°，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；
（2）若BDAD=63，BC=2米，求车轮的直径AB的长．
四、实践探究题（共16分）
25．【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的坚直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置.
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
（1）任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量；
（2）【建立模型】
小组讨论发现：“t=0，ℎ=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度ℎ与流水时间t的关系.
任务2：利用t=0时，ℎ=30；t=10时，ℎ=29这两组数据求水面高度ℎ与流水时间t的函数解析式；
（3）【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应ℎ的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小.
任务3：①计算任务2得到的函数解析式的w值；
②请确定经过(0，30)的一次函数解析式，使得w的值最小；
（4）【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、B、C中的图形都不能找到一点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们都不是中心对称图形.D中的图形可以找到一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：从上往下看“斗”的俯视图是
故答案为：C.
【分析】俯视图就是从上往下看，所看到的平面图形，观察几何体，可得答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：过点A，D分别作BC的垂线段，垂足分别为E、F，如图，
在Rt△AEB中，BE=AEtan∠ABC=btanα，
在Rt△DFC，CF=DFtan∠DCB=btanα，
∵AE//DF，AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥EF，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=a，
∴BC=BE+EF+FC=btanα+a+btanα=2btanα+a，
故答案为：B.
【分析】过点A，D分别作BC的垂线段，垂足分别为E、F，根据锐角三角形的定义可得BE和CF的值，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEFD是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=AD=a，根据BC=BE+EF+FC即可求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，交圆O于点D，
∴AC=12AB=4，
在Rt△AOC中，
OC=OA2−AC2=52−42=3，
∴CD=OD-OC=5-3=2，
∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米
故答案为：B
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，交圆O于点D，利用垂径定理可求出AC的长，利用勾股定理求出OC的长，然后根据CD=OD-OC，代入计算求出CD的长.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图：
通过观察可知黑色部分刚好是一个半圆，圆心为点O，
∵圆O是△ABC的内切圆，
∴∠ABO=∠OBD=30°，
OA=OB=2OD，BD=3OD，
S△ABC=12·AD·BC=12（OA+OD）·2BD=33OD2
S黑色部分=12·π·OD2
∴S黑色部分S△ABC=12·π·OD233OD2=3π18.
故答案为：A.
【分析】通过观察可以发现黑色部分刚好是一个半圆，所以面积就是圆的一半，根据内切圆的特点可得到∠ABO=∠OBD=30°，从而可以知道OB及BD与半径OD的关系，根据三角形的面积公式和圆的面积公式可以求出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，
分别连接AO，OB，OC，
∴OA=OB=OC=2，
∵将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形 ，
∴∠1=∠2=30°，
又∵OC⊥AD与点D，
∴∠3=30°，
∴OD=DC=1，AD=3，
∴一个小的等腰直角三角形的直角边为AE=3-1，
∴阴影部分的面积为：8×12×（3-1）² =4×（3-23+1）=16-83.
故答案为：C.
【分析】“割圆术”将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，所以只需要求出一个等腰直角三角形的直角边即可解决问题.先根据十二等分求出一等分的圆心角，从而求出∠3的度数为30°，在直角三角形ODA中求解AE，最后根据三角形面积公式计算出整个阴影部分的面积即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，AB＝ 13 ，
∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，
故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，
则在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，
即13＝x2+(1+x)2，由x>0解得x＝2.
过点M作MN⊥FC于点N，如图所示.
∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EGF＝∠NGM＝45°，
故△GNM为等腰直角三角形.
设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，
∵tan∠FCB＝ BFCF ＝ 23 ＝ NMCN ＝ a2−a ，
解得：a＝ 45 .
∴GM＝ GN2+NM2 ＝ (45)2+(45)2 ＝ 425 .
故答案为：D.
【分析】由图可知∠AEB＝90°，AB＝13 ，EF=1，由弦图易得AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，在Rt△AEB中，由勾股定理可得x的值，过点M作MN⊥FC于点N，易得△EFG为等腰直角三角形，则∠EGF＝∠NGM＝45°，推出△GNM为等腰直角三角形，设GN＝NM＝a，则NC＝2-a，由∠FCB的正切函数可得a的值，最后根据勾股定理可得GM的值.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x， 如图，
∵a=3， b=4，
∴AB=3+4=7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(3+x)2+(4+x)2=72，
整理得：x2+7x=12，
∵矩形的面积=AC×BC=(3+x)(4+x)=x2+7x+12=12+12=24.
故答案为：B.
【分析】设小正方形的边长为x， 在直角三角形ABC中利用勾股定理整理得出x2+7x=12， 再把矩形的面积用含x的代数式表示出来，代值即可得结果.
11．【答案】平行
【解析】【解答】解：因为太阳光属于平行光线，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
故答案为：平行．
【分析】根据太阳光是平行光线，可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
12．【答案】8
【解析】【解答】解：OM与AB相交于点C，
由题意可知OM垂直AB，则AC=BC，
∵由题意得OM=OA=5米，CM=2米，得OC=3米，
在Rt△AOC中，则由勾股定理可得AC=OA2−CO2=52−32=4米，
∴这个圆被水面截得的弦AB=2AC=8米，
故答案为：8．
【分析】由垂径定理得AC=BC，在Rt△AOC中，则由勾股定理可得AC=OA2−CO2，计算求解即可.
13．【答案】967
【解析】【解答】解：设原有生丝为x斤，根据题意得
x12=3030−31216
解之：x=967.
故答案为：967
【分析】利用已知条件可知生丝与干丝的比值相等，设原有生丝为x斤，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
14．【答案】2011
【解析】【解答】解：由 a1=1 ， a2=3=1+2 ， a3=6=1+2+3 ， a4=10=1+2+3+4 ，
∴an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2 ，
∴1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1) ，
∴1a1+1a2+1a3+⋯+1a10=2(1−12+12−13+⋯+110−111)=2011 ，
故答案为： 2011 .
【分析】由题意可得an=1+2+3+……+n=n(n+1)2，然后表示出1an，据此计算.
15．【答案】32；3210
【解析】【解答】解：∵∠DEL=90°，∠EGF=45°，
∴∠AEG=180°-90°=90°，
∴∠A=90°-45°=45°，
∵菱形ABCD，
∴∠C=∠A=45°，
∵∠CJI=180°-45°-90°=45°，
∴∠CIJ=180°-45°-45°=90°，
∴△CIJ是等腰直角三角形，
∴CI=IJ
∵△CIJ是面积为2
∴12CI2=2
解之：CJ=JI=2，
∴正方形④的边长和正方形⑤的直角边都2×22=2，
∴正方形②①的直角边长都为DE=22，
∴菱形的边长DC=DA=22+2+22=52
∴AE=AD−DE=52−22=32；
过点K作KN⊥SQ于点N，
∵SK=2，∠KSN=45°
∴KN=SKsin45°−=22×2=1；
∵DL=DEsin45°=2222=4，
∴QL=DL−DQ=4−22，
易证MQ∥DE，
∴△MLQ∽△DEL，设ML=MQ=x
∴MQDE=QLDL即x22=4−224
解之：x=22−2，
∴MQ=22−2，
∴SQ=4−22
∴d=4−22+22−2+1=3，
∴dAB=352=3210.
故答案为：32，3210.
【分析】利用七巧板的构成，可得到∠DEL=90°，∠EGF=45°，即可求出∠AEG的度数和∠A的度数，利用菱形的性质可得到∠C，∠AJI，∠CIJ的度数，由此可证得△CIJ是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可证得CI=IJ，利用三角形的面积公式可求出CJ的长；再求出正方形④的边长和正方形⑤的直角边及正方形②①的直角边长；从而可求出菱形的边长AD的长；然后根据AE=AD-DE，代入计算求出AE的长；过点K作KN⊥SQ于点N，利用解直角三角形求出KN，DL的长，根据QL=DL-QD可求出QL的长；再证明△MLQ∽△DEL，设ML=MQ=x，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到MQ，SQ的长，即可求出d的值；然后代入计算求出 dAB 的值即可.
16．【答案】（1）解：将《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》分别记为A，B，C，D，列表如下：
则所有可能的结果为BA，CA，DA，AB，CB，DB，AC，BC，DC，AD，BD，CD；
（2）解：由列出的表格可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的结果有2种，即BD，DB，
所以P=212=16.
【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格，由表格可知所有等可能的情况数；
（2）由列出的表格可以看出，所有等可能的结果有12种，其中恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的结果有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
17．【答案】（1）(8x−3)
（2）解：根据题意得：8x−3=7x+4，
解得：x=7，
∴8x−3=8×7−3=56−3=53，
∴53×3=159(钱)．
答：购买3个该物晶需159钱．
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：该物品的价格为(8x−3)钱，
故答案为：(8x−3).
【分析】（1）利用“总钱数=每人的钱数和+多出的钱数”列出代数式即可；
（2）利用“总钱数不变”列出方程8x−3=7x+4，求出x的值，再求出答案即可.
18．【答案】（1）解：根据题意入射角等于反射角，可知∠ACD=∠BCD=41°，
∵ ∠CAE=37° ，
∴∠CAB=90°-∠CAE=53°，
则∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-53°-41°-41°=45°.
（2）解：如图：做C到AB的垂线CF，
在三角形ACF中，∠ACF=90°-∠CAB=37°，
∴AF=CF·tan37°=0.75CF，
在三角形BCF中，∠FBC=45°，
∴BF=CF·tan45°=CF，
∵AB=AF+BF=0.75CF+CF=11.2，
∴CF=6.4m.
【解析】【分析】（1）要理解入射角等于反射角的含义，入射角是∠BCD，反射角是∠ACD，∠CAB与∠CAE互余，从而根据三角形的内角和可求出答案.
（2）分别用CF来表示AF和BF，由已知的AB的长度可以列出等式，求解可得到答案.
19．【答案】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标是(50，25)，点C的坐标为(0，5)．
设抛物线的解析式为y=a(x−50)2+25，
将(0，5)代入，得502a+25=5，
解得a=−1125，
∴抛物线的解析式为y=−1125(x−50)2+25=−1125x2+45x+5．
（2）解：∵OD=75，
∴点D的横坐标为75．
将x=75代入y=−1125(x−50)2+25，得y=20．
∵AD=12，AB=9，
∴BD=12+9=21．
∵21>20，
∴石块不能飞越城墙AB．
【解析】【分析】（1）由题意可将抛物线的解析式设为顶点式，把点C的坐标代入解析式计算即可求解；
（2）由题意易得点D的横坐标为75，于是把x=75代入（1）中的解析式计算求出y的值，根据线段的构成BD=AB+AD可求出BD的值，将BD的值与20比较大小即可判断求解.
20．【答案】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图，
∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°．
∵AB=AC=1.6米，AD=1.2米，
∴CD=AC+AD=2.8（米)．
在Rt△DCE中，
∵sinC=DEDC，
∴sin75°=DE2.8，
∴DE=2.8×sin75°≈2.8×0.97=2.716≈2.7（米)．
答：当∠BAC=30°时，D到地面BC的距离2.7米．
【解析】【分析】过点D作DE⊥BC于点E，先求出∠ABC=∠ACB=75°，再利用线段的和差求出CD的长，再结合sin75°=DE2.8，求出DE的长即可.
21．【答案】（1）解：过O作 EF⊥OM ，过A作 AG⊥EF 于G，
∵AB=6 米， OA：OB=2：1 ，
∴OA=4 米， OB=2 米，
∵∠AOM=127° ， ∠EOM=90° ，
∴∠AOE=127°−90°=37° ，
在 Rt△AOG 中， AG=AO×sin37°≈4×0.6=2.4 （米），
点A位于最高点时到地面的距离为 2.4+3=5.4 （米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米；
（2）解：过O作 EF⊥OM ，过B作 BC⊥EF 于C，过 B1 作 B1D⊥EF 于D，
∵∠AOE=37° ，
∴∠BOC=∠AOE=37° ， ∠B1OD=∠A1OE=17.5° ，
∵OB1=OB=2 （米），
在 Rt△OBC 中， BC=sin∠OCB×OB=sin37°×OB≈0.6×2=1.2 （米），
在 Rt△OB1D 中， B1D=sin17.5°×OB1≈0.3×2=0.6 （米），
∴BC+B1D=1.2+0.6=1.8 （米），
∴此时水桶B上升的高度为1.6米．
【解析】【分析】（1）过点O作EF⊥OM，过点A作AG⊥EF于点G，根据题意可求出∠AOE的度数，在Rt△AOG中，利用解直角三角形求出AG的长，然后求出可求出点A位于最高点时到地面的距离.
（2）过点O作EF⊥OM，过点B作BC⊥EF于点C，过点B1作B1D⊥EF于点D，分别求出∠AOE，∠B1OD，∠A1OE的度数，在Rt△OBC中，利用解直角三角形求出BC的长，在Rt△OB1D中，利用解直角三角形求出B1D的长，然后求出BC+B1D的长，就是此时水桶B上升的高度.
22．【答案】（1）解：连接OD，
∵D为弧BC的中点，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，
∴OD⊥EF，
∴OD的长是圆心O到“杠杆EF”的距离，
∵AB=90cm，
∴OD=OA=45cm
（2）解：∵DA=DF，
∴∠F=∠BAD，
由(1)得：∠CAD=∠BAD，
∴∠F=∠BAD=∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD，
∵DF=63，
∴(2OD)2−OD2=(63)2，
解得：OD=6，
∴S阴影=S扇形BOD+S△AOD=60π×62360+12×6×32×6=6π+93．
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD=∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠ADO，则∠CAD=∠ADO，根据垂直的概念可得∠E=90°，则∠CAD+∠EDA=90°，进而推出OD⊥EF，则OD的长是圆心O到杠杆EF的距离，据此求解；
（2）根据等腰三角形的性质得∠F=∠BAD，由（1）得∠CAD=∠BAD，则∠F=∠BAD=∠CAD=30°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAD=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得OF=2OD，结合勾股定理可得OD的值，然后根据S阴影=S扇形BOD+S△AOD进行计算.
23．【答案】（1）解：由题意得：﹣5+3+⑤＝⑤+x+12，
∴﹣5+3＝x+12，
∴x=−52；
（2）解：设①格子里的数为y，由题意得：
y+③−52=−5+③+12，
∴y−52=−5+12，
∴y＝﹣2，
∴①格子里的数为﹣2．
【解析】【分析】（1）先求出 ﹣5+3+⑤＝⑤+x+12， 再求出x的值即可；
（2）根据题意先求出 y−52=−5+12， 再求出y的值即可。
24．【答案】（1）解：徽徽的猜想正确，
理由如下：
如图，连接OD，
，
∵CD与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠C+∠DOC=90°，∠ODB+∠BDC=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°，
∴∠A=∠BDC，
由圆周角定理得：∠DOC=2∠A，
∴∠DOC=2∠BDC，
∴∠C+2∠BDC=90°；
（2）解：∵∠A=∠BDC，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CDA，
∴BCCD=CDCA=BDAD，即2CD=CD2+AB=63，
解得：∴CD=6，AB=1，
∴车轮的直径AB的长1米．
【解析】【分析】 (1) 题中给多个90°角，从∠C+∠DOC=90°入手，进行等量代换，然后整理思路重新证明； (2)、 明显由相似比进行计算。
25．【答案】（1）解：变化量分别为29−30=−1(cm)，
28.1−29=−0.9(cm)；
27−28.1=−1.1(cm)；
25.8−27=−1.2(cm)；
（2）解：设水面高度ℎ与流水时间t的函数解析式为ℎ=kt+b，
b=3010k+b=29
∴k=−0.1b=30，
∴水面高度ℎ与流水时间t的函数解析式为ℎ=−0.1t+30；
（3）解：①由函数解析式，得当t=0时，ℎ=30；当t=20时，ℎ=−0.1×20+30=28；
当t=30时，ℎ=−0.1×30+30=27；当t=40时，ℎ=−0.1×40+30=26，
∴w=(30−30)2+(29−29)2+(28−28.1)2+(27−27)2+(26−25.8)2=0.05；
②设ℎ=k1t+30(k1≠0)，则w=(30−30)2+(10k1+30−29)2+(20k1+30−28.1)2+(30k1+30−27)2+(40k1+30−25.8)2=(10k1+1)2+(20k1+1.9)2+(30k1+3)2+(40k1+4.2)2=3000k12+612k1+12+1.92+32+4.22.
∵3000>0，
∴当k1=−6122×3000=−0.102时，ω最小，
∴优化后的函数解析式为ℎ=−0.102t+30，可使得ω的值最小；
（4）解：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min(1cm表示时间约为9.8min).
【解析】【分析】（1）根据题目给出的表格计算即可；
（2）由题意设水面高度ℎ与流水时间t的函数解析式为ℎ=kt+b，将t=0时，ℎ=30；t=10时，ℎ=29这两组数据代入计算即可求解；
（3）①结合（2）中的解析式求出当t=0时，当t=20时，当t=30时，当t=40时的函数值，进而计算w即可；
②根据题意设ℎ=k1t+30(k1≠0)，代入w计算化简，利用二次函数的性质即可求解；
（4）根据高度随时间变化规律，以相同的时间刻画不同高度即可.流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度ℎ/cm(观察值)
30
29
28.1
27
25.8

A
B
C
D
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）