2024年中考数学热点探究十二 与圆有关的辅助线练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十二 与圆有关的辅助线练习附解析，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD=62°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100°B．118°C．124°D．130°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°，若AD=2，则AB的长为（ ）
A．3B．2C．2 3D．4
3．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且AD=CD，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．35°D．50°
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为AB上的一点（点P不与点A，B重合），则∠CPE的度数为（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC.若∠ACD=60°，AC=3，则BE的长度是（ ）
A．3B．32C．23−2D．334
6．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=18°，则∠D的度数是（ ）
A．18°B．36°C．48°D．72°
7．如图，⊙O半径长2cm，点A、B、C是⊙O三等分点，点D为圆上一点，连接AD，且AD=22cm，CD交AB于点E，则∠BED=()
A．75°B．65°C．60°D．55°
8．如图，在△ABC中，AB+AC＝53BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则Rℎ的值为（ ）
A．38B．27C．13D．12
9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）
A．9.6B．4 5C．5 3D．10
10．如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．abD．a，b大小无法比较
二、填空题（每题4分，共20分）
11．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为 ．
12．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．
13．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(−1,0)，(0,−1)，(2,0)，点E是三角形ABC的外接圆P上一点，BE交线段AC于点D，若∠DBC=45°，则点D的坐标为 .
15．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S1，四边形CDPE的面积为S2，则S2S1＝ ．
三、解答题（共5题，共42分）
16．如图，C，D是⊙O上的两点，AB是⊙O的直径，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接BC，CD，OC．
（1）求证∶∠DAB=2∠ABC；
（2）若tan∠ADC=12，BC=4，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求出△BOC的面积．
17． 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且AD⊥DE于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．
18．如图，在⊙O中，AB是弦，过点O作OA⊥OC与AB交于点C，在OC的延长线取点D，使DC＝DB．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝4，sin∠OAC=14，求⊙O的半径长．
19．如图， ⊙O 与等边 △ABC 的边 AC ， AB 分别交于点 D ， E ， AE 是直径，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F ．
（1）求证： DF 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 EF ，当 EF 是 ⊙O 的切线时，求 ⊙O 的半径 r 与等边 △ABC 的边长 a 之间的数量关系．
20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AB上，连结DF并延长交⊙O与点G，连结BG，CG，CG=FG．
（1）如图1，求证：△BCG≌△BFG；
（2）如图2，BG与CD交于点N，过点F作BG的平行线交CD于点M，若NE=a，求DM．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连结GE，若△EFG与△DFM的面积相等，求cs∠ABC的值．
四、实践探究题（共3题，共28分）
21．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.
（1）【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.
（2）【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
求证：tanA=BCAC.
（3）【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.
①当BC=5时，求AD的长.
②当△BCD是和美三角形时，直接写出CEED的值.
22．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究。
如图1，等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点D、E,EF⊥AB于点F．
（1）【初步感知】求证：EF为⊙O的切线；
（2）【深入研究】当∠BAC90°时，若AF=2,EF=4，求AD的长。
23． 定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．
例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为OPOA=13．
（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中真命题有 ▲ ．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为12．求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC
∵∠CBD=62°
∴∠CPA=62°
∴∠AOC=2∠CPA=124°
故答案为：C．
【分析】在优弧AC上取点P，连接PA，PC，根据圆内接四边形的性质可得∠CPA=62°，再利用圆周角的性质可得∠AOC=2∠CPA=124°。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC，OD，
∵ AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=30°，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=2，
∴AB=2OA=4.
故答案为：D.
【分析】连接AC，OD，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACD=30°，从而得出∠AOD=60°，证出△AOD是等边三角形，得出OA=AD=2，即可求出AB=2OA=4.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OD，BD.
∵AD=CD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，OB=OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝12(180°−∠DOB)=20°，
∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，
故答案为：B.
【分析】连接OD，BD，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠ABD＝∠CBD；再利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠DOB的度数；然后利用平行线的性质可求出∠OBD的度数，即可求出∠ABC的度数.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC、OD、OE，如图：
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=∠DOE=360°6=60°，
∴∠COE=∠COD+∠DOE=120°，
∴∠CPE=12∠COE=60°，
故答案为：C．
【分析】连接 OC、OD、OE，根据正六边形的性质得出∠COE=120°，再根据圆周角定理求解。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=∠OCE=90°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACO=∠OCD-∠ACD=30°，∠ACE=180°-∠ACD=120°，
∵OC=OD，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=2BC，∠BCE=∠ACE-∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，
∴32+BC2=(2BC)2，
解得BC=3；
在△ACE中，∠E=180°-∠ACE-∠A=30°=∠BCE，
∴BE=BC=3.
故答案为：A.
【分析】连接OC，由切线的性质得∠OCD=∠OCE=90°，则∠ACO=∠OCD-∠ACD=30°，∠ACE=180°-∠ACD=120°，由等边对等角得∠OAC=∠OCA=30°，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据含30°角直角三角形的性质得AB=2BC，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程可求出BC的长，进而根据角的和差及三角形的内角和定理可推出∠E=∠BCE，最后由等角对等边可得BC=BE，从而得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵DB，DE分别切⊙O于点B、C ，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠BCD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=180°-∠ACB-∠ACE=72°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=36°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，由切线长定理可得BD=CD，再由圆周角定理可得∠ACB=90°，从而得到∠BCD=∠DBC=72°，进而根据三角形的内角和定理可以求出答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=2cm，
∵点A、B、C是⊙O三等分点，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，AB=BC=AC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵OD=OA=2cm，AD=22cm，
∴OD2+OA2=AD2，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，∠DOA=∠ADO=45°，
∵弧BD对应∠DAB和∠DCB，
∴∠DAB=∠DCB
∵AB=BC=AC，
∴∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°，
∵∠BED=∠EDA+∠DAB，∠DAB=∠DCB，
∴∠BED=∠ADE+∠DCB，
∵∠ADE=∠ADO+∠ODC，∠ADO=45°,∠ODC=∠OCD
∴∠ADE=45°+∠OCD
∴∠BED=45°+∠OCD+∠DCB=45°+∠OCB=45°+30°=75°
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质及勾股定理逆定理得出△AOD为等腰直角三角形，再由圆周角定理及各角之间之间的关系进行等量代换即可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，O为△ABC中∠ACB、∠ABC、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F，
SΔABC=SΔAOB+SΔBOC+SΔAOC=12×AB⋅R+12×BC⋅R+12×AC⋅R=12R(AB+AC+BC)，
∵AB+AC=53BC，
∴SΔABC=12R(53BC+BC)=12R⋅83BC，
∵AD的长为h，
∴SΔABC=12BC⋅ℎ，
∴12R⋅83BC=12BC⋅ℎ，
∴ℎ=83R，
∴Rℎ=R83R=38，
故答案为：A.
【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出ΔABC的面积，利用面积相等即可解决问题．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC
∵AB⊥CD， OE⊥AC
∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中
AE=OA2−OE2=52−32=4
∴AE=EC=4
设OF=x，则有 AC2−AF2=OC2−OF2
82−(5+x)2=52−x2
x=1.4
在Rt△OFC中， FC=OC2−OF2=52−1.42=4.8
∴CD=2FC=9.6
故答案为：A
【分析】连接OC，利用垂径定理可证得AE=EC，CF=FD，在Rt△OAE中，利用勾股定理求出AE的长，即可得到EC的长；设OF=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OF的长；然后在Rt△OFC中，利用勾股定理求出FC的长，即可求出CD的长.
10．【答案】A
【解析】【解答】 解：连接 P1P2，P2P3 ，
∵点 P1~P8 是 ⊙O 的八等分点，
∴P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=P6P7=P7P8=P8P1，
∴P1P2=P2P3=P3P4=P6P7 ， P4P6=P4P5+P5P6=P7P8+P8P1=P1P7
∴P4P6=P1P7，
∵△P1P3P7 的周长为 a=P1P3+P1P7+P3P7 ，
∴四边形 P3P4P6P7 的周长为 b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7 ，
∴b−a=(P3P4+P4P6+P6P7+P3P7)−(P1P3+P1P7+P3P7) =P1P2+P2P3−P1P3
∵P1P2+P2P3>P1P3，
∴b−a=P1P2+P2P3−P1P3>0
故答案为：A
【分析】连接 P1P2，P2P3 ，先根据题意得到P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=P6P7=P7P8=P8P1，进而根据相等的弧对等的弦的相等即可得到P1P2=P2P3=P3P4=P6P7 ， P4P6=P4P5+P5P6=P7P8+P8P1=P1P7，从而得到P4P6=P1P7，再根据题意结合三角形三边关系即可求解。
11．【答案】5
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE= 12 CD= 12 ×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=DE= 12 CD= 12 ×6=3，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可建立方程，求解即可。
12．【答案】6
【解析】【解答】解：如图所示：连接AO，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA= ∠OAB=30°，
∴∠OAE=∠OAB=12∠BAC=30°，
∵BE ⊥AC，
∴OE=12OA=2，
∴BE =EO+BO=2+4=6，
∵PD⊥AB，∠ABE=30°，
∴PD=12BP，
∴CP+12BP=CP+DP≤CF，
∴CP+12BP的最小值为CF的长度，
∵△ ABC是等边三角形，BE ⊥AC，CF⊥AB，
∴CF=BE= 6，
∴CP+12BP的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】根据等边三角形的性质求出∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°，再根据圆内接三角形的性质求出OA=OB=4，CF⊥AB，最后根据含30°角的直角三角形的性质等计算求解即可。
13．【答案】20°
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=12∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，再利用圆周角的性质求出∠ADC的度数，最后利用平行线的性质求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
14．【答案】(13,0)
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作AC的垂线交AC于点F，
∵ 点A，B，C的坐标分别为(−1,0)，(0,−1)，(2,0)，
∴OA=OB=1，OC=2，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠BAO=45°，
∵BC⏜=BC⏜，
∴∠BEC=∠BAO=45°，
∵∠DBC=45° ，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CB=CE，∠BCE=90°，
∵∠OBC+∠OCB=∠FCE+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠FCE，
在△BOC和△CFE中，
∵∠OBC=∠FCE，∠BOC=∠CFE=90°，CB=CE，
∴△BOC≅△CFEAAS，
∴FC=OB=1，EF=OC=2，
∴OF=OC-FC=2-1=1，
∴点E的坐标为（1，2），
设直线BE的表达式为y=kx+b（k≠0），将B（0，-1），E（1，2）代入y=kx+b
得：−1=0+b2=k+b，解得k=3b=−1，
∴直线BE的表达式为y=3x-1，
当y=0时，解得x=13，
∴点D的坐标为(13,0).
故答案为：(13,0).
【分析】过点E作AC的垂线交AC于点F，根据点A，B，C的坐标得出OA=OB=1，OC=2，得到△AOB是等腰直角三角形，得到∠BAO=45°，再根据圆周角定理得到∠BEC=45°，推出△BCE是等腰直角三角，得出CB=CE，再证△BOC≅△CFE，根据全等的性质求出点E的坐标，再根据点B点E的坐标，利用待定系数法求出直线BE的表达式，再求直线BE与x轴交点的横坐标即得到答案.
15．【答案】2；27
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC,∠BAE=∠ACD=60°，
∵BD=CE，
∴AC−CE=BC−BD，即AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
∵AE=CD,∠BAE=∠ACD,AB=AC，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠CAD=∠ABE，
∴∠APE=∠BAP+∠ABP=∠BAP+∠ΡΑΕ=∠ΒΑΕ=60°，
∴∠DPE=180°−∠APE=180°−60°=120°，
∴C、D、P、E四点共圆，
∵AP⊥PC，
∴∠DPC=∠APC=90°，
即点P恰好落在以AC为直径的圆上，点P也落在以CD为直径的圆上，
∵∠APE=60°，
∴∠CPE=30°，
如图，连接DE，则∠CED=90°,∠CDE=∠CPE=30°，
∴CDCE=2，
∵AE=CD，
∴AECE=2；
如图，过点D作DF∥AC，交BE于点F，
设S1=a，
∵CDCE=2，BD=CE，
∴CDBD=2，
∴BD=13BC,CD=23BC，
∴S△ADC=23a，
同理CE=13AC，
∴S△CDE=13S△ADC=13×23a=29a，
∵AECE=2，
∴S△ADE=2S△CDE=2×29a=49a，
∵DF∥AC，
∴△DFP∽△AEP,△DFB∽△CEB，
∴DFEC=BDBC=13，DPAP=DFAE=DF2CE=16，
∴DPAD=17，
∴S△DPE=17S△ADE=17×49a=463a，
∴S2=S△DPE+S△CDE=463a+29a=27a，
∴S2S1=27aa=27．
故答案为：2；27．
【分析】根据SAS可证明△ABE≌△CAD，可得∠CAD=∠ABE，从而得到∠DPE=180°−∠APE=180°−60°=120°，进而得到C、D、P、E四点共圆，继而得到点P恰好落在以AC为直径的圆上，点P也落在以CD为直径的圆上，可得到∠CPE=30°，连接DE，则∠CED=90°,∠CDE=∠CPE=30°，由直角三角形的性质可得CDCE=2，从而得到AECE=2；过点D作DF∥AC，交BE于点F，证出△DFP∽△AEP,△DFB∽△CEB，可得DPAD=17，即可得出答案．
16．【答案】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴CE⊥OC，
∵CE⊥DE，
∴OC∥DE，
∴∠DAB=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAB=2∠ABC，
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠E，
∵∠D=∠B，tan∠ADC=12，
∴tan∠ABC=tan∠ADC=ACBC=12，
∵BC=4，
∴AC=2，
在Rt△ABC中，AB=22+42=25，
∴AO=5，
∴⊙O的半径为5；
（3）解：如图，过点O作OF⊥BC，
∵OF⊥BC，BC=4，
∴BF=CF=12BC=2，∠OFB=90°，
在Rt△OFB中，OF=OB2−BF2=(5)2−22=1，
∴S△BOC=12×4×1=2；
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出CE⊥DE，进而得出OC∥DE，从而得到∠DAB=∠AOC，再根据圆周角定理求证即可；
（2）连接AC， 根据圆周角定理得出∠ACB=90°，由∠B=∠D得出tan∠ABC=tan∠ADC=ACBC=12 ，进而求得AC的长，再利用勾股定理计算即可；
（3）过点O作OF⊥BC，先由垂径定理得到BF=CF=12BC=2，再利用勾股定理求出OF的长，然后根据三角形的面积计算公式计算即可.
17．【答案】（1）解：AC是∠DAE的平分线，理由为：
证明：连接OC、FC，
∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝∠OCE＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠2＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠1＝∠2，
∴AC是∠DAE的平分线；
（2）解：
∵AG＝CG＝k，OA＝OC，
∴AC⊥OG，即AG⊥OF，
又∠1＝∠2，
∴∠AFG＝∠AOG，
∴AF＝AO，
又AO＝OF，
∴AF＝AO＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAO＝∠AOF＝60°，
∴∠1＝30°，∠COE＝60°，
又∠OCE＝90°，∠E＝30°，
设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，
∵∠1＝30°，
∴OG＝12r，
又AG＝k，由勾股定理有：AG2+OG2＝AO2，
∴k2+（r2）2＝r2，
解得：r＝233k，
∴AB＝433k，
同理，在Rt△ADC中，AC＝2k，
∵∠2＝30°，
∴DC＝12AC＝k，
∴AD＝3k，
在Rt△ADE中，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝23k，
∴OE＝AE﹣r＝433k，
∴CE＝32OE＝2k；
另解：∠1＝∠E＝30°，
∴CE＝CA＝AG+CG＝2k．
【解析】【分析】（1）连接OC，FC，由DE为圆的切线，得到OC与DE垂直，利用同位角相等两直线平行得到AD与OC平行，利用两直线平行内错角相等，以及等边对等角得到∠1=∠2，即可得证AC是∠DAE的平分线；
（2）由题意得，AG=GC=k，易证△AOF是等边三角形，∠DAO=∠AOF=60°，∠1=30°，∠COE=60°，设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，由勾股定理可求出AB的长度，在Rt△ADE中，∠E=30°，所以AE=2AD=23k，从而可求出CE的长度。
18．【答案】（1）证明：连接OB．
∵DC＝DB，∴∠DBC＝∠DCB，．
∵∠ACO＝∠DCB，∴∠ACO＝∠DBC，．
∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∴∠ACO＋∠OAC＝90°，．
∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBA，∴∠DBC＋∠OBA＝90°，
即：∠OBD＝90°，∴OB⊥BD．
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：过点B作BE⊥OD于点E，
∴∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠AOE，
∴AO//BE，∴∠CBE＝∠OAC，．
在Rt△BCE中，sin∠CBE=CECB，∴CE4=14，∴CE＝1，
∴BE=BC2−CE2=15，
设BD＝x，则DE＝CD－CE＝x－1，
∴BD2=BE2+ED2，∴x2=(15)2+(x−1)2，解得x＝8．
∴BD＝8，DE＝7．
∵∠BOE＋∠OBE＝90°，∠DBE＋∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠DBE，
又∠BEC＝∠DEB＝90°，∴△BOE∽△DBE．
∴OBBD=BEDE，∴OB=BD⋅BEDE=8×157=8157．
即：⊙O的半径长为8157．
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质证明∠OBD=90°，再用切线的判定定理求解即可；
（2）过点B作BE⊥OD于点E，根据平行线的判定和性质可得∠CBE=∠OAC，利用正弦的定义式求出CE的长度，由勾股定理求出BE的长，设BD=x，由勾股定理得建立方程求出x=8，证明△BOE∽△DBE，根据对应边成比例求解即可。
19．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵等边 △ABC ，
∴∠A=∠B=60°，
∵OA=OD ，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD=∠B=60° ，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC ，
∴∠CFD=∠FDO=90°，
∵OD是半径，
∴DF 是 ⊙O 的切线；
（2）解：连接DE，如图所示：
由（1）可得 DF 是 ⊙O 的切线，∠FDO=90°，△AOD为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，∠ODE=30°，AD=OA=r，AE=2r ，
∴∠FDE=60° ，
∵EF 是 ⊙O 的切线，
∴DF=EF ，
∴△FDE是等边三角形，
∴DE=DF，
∵DF⊥BC ， AE 是直径，
∴∠CFD=∠ADE=90° ，
∴△CDF≌△AED（AAS），
∴AE=CD=2r，
∴AC=AD+CD=r+2r=3r ，
∵AC=a ，
∴a=3r ．
【解析】【分析】
(1)连接OD， 根据题意可得出 △AOD为等边三角形 ，利用∠AOD=∠B可得出 OD∥BC ，由平行线的性质结合 DF⊥BC 得出 ∠CFD=∠FDO=90°， 即可得证；
(2)连接DE，由（1） 及题意可知 DF=EF ，∠FDE=60° ， 可得 △FDE是等边三角形， 进而DE=DF， 然后由 △CDF≌△AED 可知 AE=CD=2r， 即可得出结论。
20．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴BC=BD，
∴∠BGC=∠BGF，
∵CG=FG，BG=BG，
∴△BCG≌△BFG(SAS)．
（2）解：连结CF与BG交于点H，
∵∠BGC=∠BGF，
∵CG=FG，HG=HG，
∴△HCG≌△HFG，
∴CH=FH，
∵FM∥HN，
∴CHCF=CNCM，
∴CM=2CN，
∵OB⊥CD，
∴CD=2CE，
∴DM=CD−CM=2CE−2CN=2NE=2a；
（3）解：连结AG，AC，作GP⊥AB，
∵△EFG与△DFM的面积相等，
∴EF⋅GP=EF⋅DM，
∴GP=DM=2EN，
∵NE⊥AB，
∴NE∥GP，
∴设BC=k，BE=PE=kx，
∵BC=BF=k，
∴PF=2kx−k，
∵∠GBC=GBA，
∴CG=AG=GF，
∴AP=PF=2kx−k，
∴AB=4kx−k，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cs∠ABC=BCAB=BEBC，
∴BC2=BE⋅AB，
∴4x2−x+1=0，
∴cs∠ABC=BEB=x=1+178．
【解析】【分析】（1）由垂径定理得弧BC=弧BD，由等弧所对的圆周角相等得∠BGC=∠BGF，从而根据SAS即可证明△BCG≌△BFG ；
（2）连结CF与BG交于点H，用SAS即可证明△HCG≌△HFG，得到CH=FH，根据平行线分线段成比例定理求出CM=2CN，由垂径定理得CD=2CE，根据线段的和差即可求解；
（3）连结AG，AC，作GP⊥AB，由已知两三角形面积相等，得到GP=DM=2EN，设BC=k，BE=PE=kx，根据等腰三角形的性质，平行线的性质，线段的和差求出AB=4kx-k，再由三角函数的定义代入求解即可.
21．【答案】（1）解：设和美角的度数为x，则钝角的度数为90°+x，
根据题意可得：x+90°+x+x=180°，
解得：x=30°，
∴和美角的度数为30°.
（2）证明：如图1，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，
∴∠ABD=90°，
∵△ABC是和美三角形，∠ABC是钝角，∠A是和美角，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A，
∴∠DBC=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BCAC=BDAB，
∵tanA=BDAB，
∴tanA=BCAC.
（3）解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=13，BC=5，
∴AC=AB2−BC2=132−52=12，
如图3，当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，
由（2）得：tan∠BAC=CEAC=BCAC=512，
∴CE=BC=5，
∴∠CEB=∠CBA，
∵∠CEB=∠AED，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDA=∠AED，
∴AD=AE，
∵CE=CB，CF⊥AB，
∴BF=EF=12BE，
∴∠ACB=∠CFB=90°，∠CBA=∠CBF，
∴△ABC∽△CBF，
∴BCBF=BABC，
即5BF=135，
∴BF=2513，
∴AD=AE=AB−2FB=11913.
如图4，当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，
∵AD⏜=AD⏜，BD⏜=BD⏜，
∴∠ACD=∠ABD，∠DCB=∠DAB，
即∠EBD为和美角，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
由（2）得：tan∠ACE=tan∠ABD=DEDB=ADDB，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=∠CEB=∠DCB，
∴BE=BC=5，
∴AH=HE=12AE=13−52=4，
∴∠ADB=∠AHD=90°，∠DAH=∠DAB，
∴△ADH∽△ABD，
∴AHAD=ADAB，
即4AD=AD13，
∴AD=52=213；
综上，AD的长11913或213.
②设∠CAB=α，则∠ACO=α，
∴∠COG=2α ，
∵BC⏜=BC⏜，
∴∠CAB=∠CDB=α ，
当∠CAB与∠CDB为和美角时，如图：连接OC，OD，过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠AEC=90°+α ，
∴∠CEB=90°-α ，
由（2）得：tan∠BAC=CEAC=BCAC，
即CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE=90°-α ，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=90°+α -（90°-α ）=2α ，
∵AD⏜=AD⏜，
∴∠ACD=∠ABD=2α ，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
即α +2α+90°+α =180°，
故α =22.5°；
即∠ACD=45°，
故∠AOD=90°，∠COG=45°，
∴CG=OG，
∵OC2=CG2+OG2，
∴CG=OC22=22OC，
∵CG∥OD，
∴△CEG∽△DOE，
∴CEDE=CGOD=22；
当∠CAB与∠DCB为和美角时，如图：连接OC，OD，
则∠ACE=180°-∠CAE-∠AEC=180°-α -（90°+α ）=90°-2α ，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°-∠ACE=90°-（90°-2α ）=2α ，
∴∠CBD=180°-∠CDB-∠DCB=180°-α -2α =180°-3α ，
∵∠DCB为和美角，且∠DCB=2α ，
∴∠CBD=90°+2α ，
即180°-3α =90°+2α ，
∴α=18°，
则∠DCB=∠DAB=36°，∠ACE=54°，∠CBD=108°，
故∠BOD=2∠DAB=72°，∠COB=2∠CAB=36°，∠OCE=∠ACD-∠ACO=36°，∠OED=∠CEB=72°，
即CE=OE，△ODE是黄金三角形，
故OEDE=5−12，
即CEDE=OEDE=5−12；
当∠ACE与∠CDB为和美角时，如图：过点D垂线与AC交于点G，连接GE，
则∠AEC=90°+∠ACE=180°-∠CAB-∠ACE，∠DBC=90°+∠CDB=90°+α ，
故∠ACE=45°-0.5α ，∠AEC=135°-0.5α ，∠DCB=90°-∠ACE=45°+0.5α，
∵∠DCB+∠CDB+∠DBC=180°，
即45°+0.5α+90°+α+α=180°，
故α =18°；
即∠ACE=36°，∠AEC=126°，∠DCB=∠DAB=54°，∠ABC=∠ADC=90°-18°=72°，∠CEB=54°，
即AD=DE，
∵AE⊥DG，
∴∠ADG=∠GDE=36°，GA=GE，
则∠CAD=∠CAB+∠BAD=18°+54°=72°，
即△ODE是黄金三角形，
故GEDE=5−12，
即CEDE=GEDE=5−12；
当∠ACE与∠DCB为和美角时，如图：
则∠AEC=90°+∠ACE=180°-∠CAB-∠ACE，∠DBC=90°+∠DCB=180°-∠CDB-∠DCB，
故∠ACE=45°-0.5α ，∠AEC=135°-0.5α ，∠DCB=45°-0.5α，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
即45°-0.5α+45°+0.5α=90°，
∴α =0，故不存在；
综上，CEDE的值为22或5−12.
【解析】【分析】（1）设和美角的度数为x，利用和美三角形的定义和三角形的内角和定理列出方程，解方程即可求解；
（2）过点B作BD⊥AB，交AC于点D，根据和美三角形的定义得到∠DBC=∠A，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得BCAC=BDAB，结合锐角三角形的定义即可证明；
（3）①根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得AC=13，当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，结合（2）中结论可得CE=BC，根据等边对等角可得∠CEB=∠CBA，结合同圆中，等弧所对的圆周角相等可推得∠CDA=∠AED，根据等角对等边可得AD=AE，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得BF=EF=12BE，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得BF的值，即可求解；当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，∠DCB=∠DAB，结合（2）中结论可得AD=DE，根据等边对等角可得∠DAE=∠AED=∠CEB=∠DCB，根据等角对等边可得BE=BC，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得AH=HE=12AE=4，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得AD的值，即可求解；
②设∠CAB=α，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可推得∠CAB=∠CDB=α ，分为∠CAB与∠CDB为和美角、∠CAB与∠CDB为和美角、∠CAB与∠DCB为和美角、∠ACE与∠CDB为和美角四种情况进行分析，参照①中方法进行求解即可.
22．【答案】（1）证明：连接OE，
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵OE∥AB，
∴∠OEF=∠BFE=90°，
∴EF⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OM⊥AB于点M，
∵OM⊥AB，
∴∠OMF=90°，
∵∠AFE=∠OEF=∠OMF=90°，
∴四边形OMFE是矩形，
∴OM=EF=4,MF=OE，
∵∠AEF+∠BEF=90°，
∠B+∠BEF=90°，
∴∠AEF=∠B
∵∠BFE=∠AFE=90°，
∴△BFE∽△EFA，
∴BFEF=EFAF,即24=4AF,
解得AF=8，
设⊙O的半径为r，则有MF=OE=OA=r,AM=8−r，
∵OM⊥AD，
∴∠AMO=90°,AD=2AM
在Rt△AMO中，∠AMO=90°，由勾股定理可得：
AM2+OM2=AO2，即(8−r)2+42=r2，
解得r=5，
故AM=8−5=3，
∴AD=2AM=2×3=6,
故AD的长为6．
（3）解：解法一：
解：过点O作OM⊥AD于点M，
∵OM⊥AD，
∴∠OMF=90°，
∵∠AFE=∠OEF=∠OMF=90°
∴四边形OMFE是矩形，
∴OM=EF=4,MF=OE，
∵∠AEF+∠BEF=90°，
∠B+∠BEF=90°，
∴∠AEF=∠B，
∵∠BFE=∠AFE=90°，
∴△BFE∽△EFA，
∴BFEF=EFAF,即BF4=42,
解得BF=8，
设⊙O的半径为r，则有MF=OE=OA=r,AM=r−2，
∵OM⊥AD，
∴∠AMO=90°,AD=2AM，在Rt△AMO中，∠AMO=90°，由勾股定理可得：
AM2+OM2=AO2，即(r−2)2+42=r2，解得r=5，
故AM=5−2=3，
∴AD=2AM=2×3=6
故AD的长为6．
解法二：
解：∵AC为⊙O的直径，
∴AE⊥CB,∠AEC=90°，
∵AB=AC,∴BE=CE，
如图所示，连接CD，
∵AF=2,EF=4,∠AFE=90°，
由勾股定理可得：
∴AE=AF2+EF2=22+42=25,
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵∠AEF+∠AEO=90°,∠OEC+∠AEO=90°，
∴∠AEF=∠OEC，
∴∠OCE=∠AEF，
∵∠AEC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△ACE，
∴AEAC=AFAE，即25AC=225，
解得AC=10，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∴∠BFE=∠D=90°，
∴EF∥CD
∴△BEF∽△BCD，
∵CE=BE=12BC，
∴EFCD=BECB=12，
∴CD=2EF=8，
∴AD=AC2−BD2=102−82=6。
解法三：
解：如图所示，连接DE，
∵AE=AE,
∴∠ADE=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACE，
∴∠ADE=∠ABC，
∴BE=DE，
∴△BED是等腰三角形，
∵EF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∴BF=DF，
∵∠AEF+∠BEF=90°，
∠B+∠BEF=90°，
∴∠AEF=∠B
∵∠BFE=∠AFE=90°，
∴△BFE∽△EFA，
∴BFEF=EFAF，即BF4=42
解得BF=8，
∴DF=8，
∴AD=DF−AF=8−2=6,
故AD的长为6．
解法四：
解：如图所示，连接CD，
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴点E是BC的中点，
∴BEBC=12,
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠BFE=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BCD，
∴BFBD=BEBC=12
∴点F是BD的中点，
∴BF=DF，
∵∠AEF+∠BEF=90°，
∠B+∠BEF=90°，
∴∠AEF=∠B，
∵∠BFE=∠AFE=90°，
∴△BFE∽△EFA，
∴BFEF=EFAF，即BF4=42，
解得BF=8
∴DF=8
∴AD=DF−AF=8−2=6，
故AD的长为6。
【解析】【分析】（1）连接OE，先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，进而结合题意得到∠OEC=∠B，再根据平行线的判定与性质得到∠OEF=∠BFE=90°，进而根据切线的判定即可求解；
（2）过点O作OM⊥AB于点M，根据矩形的判定与性质得到OM=EF=4,MF=OE，进而结合题意证明∠AEF=∠B，从而根据相似三角形的判定与性质即可得到AF，设⊙O的半径为r，则有MF=OE=OA=r,AM=8−r，再运用勾股定理求出r，进而即可求解；
（3）过点O作OM⊥AD于点M，先根据矩形的判定与性质得到OM=EF=4,MF=OE，进而证明△BFE∽△EFA得到BF，设⊙O的半径为r，则有MF=OE=OA=r,AM=r−2，根据勾股定理结合题意进行线段的运算即可求解。
23．【答案】（1）C
（2）解：①如图2，作BH⊥OC于点H，
∵点B在射线OA上的射影值为12，
∴OHOC=12，OBOC=12，CA＝OA＝OB＝1，
∴OHOB=OBOC，
又∵∠BOH＝∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO＝∠CBO＝90°，
∴BC⊥OB，
∴直线BC是⊙O的切线；
②y＝0（12≤x≤34）或y＝2x−32（34＜x≤32）．
【解析】【解答】解：（2）②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，
当∠DOB＜90°时，设DM＝h，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴12OB×DN=12OC×DM，
∴DN＝2h，
∵在Rt△DON和Rt△DOM中，
OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，
∴4h2+y2＝h2+x2，
∴3h2＝x2﹣y2①，
∵BD2＝CD2，
∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，
①②消去h得：y＝2x−32．
如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴12OB×DO=12OC×DM，
∵CA＝OA＝OB＝1，
∴OD＝2DM，
∴sin∠DOM=12，
∴∠DOM＝30°，
设DM＝h，则OD＝2h，OM=3h，
∴h2+(2−3ℎ)2=1+4h2，
∴h=34，
∴OM=34，
当点B在OC上时，OD=12，
综上所述，当12≤x≤34时，y＝0；当34＜x≤32时，y＝2x−32．
故答案为：y＝0（12≤x≤34）或y＝2x−32（34＜x≤32）．
【分析】（1）利用锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义及真命题的定义逐项分析判断即可；
（2）①作BH⊥OC于点H，先证出△BOH∽△COB，可得∠BHO＝∠CBO＝90°，即可证出直线BC是⊙O的切线；
②分类讨论：第一种情况：当∠DOB＜90°时，先画出图象，再利用勾股定理列出方程求解即可；第二种情况：当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，设DM＝h，则OD＝2h，OM=3h，先画出图象，再利用勾股定理列出方程求解即可.