2024年中考数学热点探究十五 学具操作问题练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十五 学具操作问题练习附解析，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1．一块三角板和一根直尺的位置如图所示，若∠1=110°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．20°C．60°D．70°
2．把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC=2cm，∠BOF=120°）．则阴影部分的面积为（ ）
A．(23−23π)cm2B．(83−23π)cm2
C．(83−83π)cm2D．(163−83π)cm2
3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝36°，斜边AC与量角器的直径重合（A点的刻度为0），将射线BF绕着点B转动，与量角器的外圆弧交于点D，与AC交于点E，若△ABE是等腰三角形，则点D在量角器上对应的刻度为（ ）
A．72°B．144°C．36°或72°D．72°或144°
4．如图，将直尺、含60°的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）．
A．3B．33C．6D．63
5． 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行.将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为（ ）
A．63°B．36°C．27°D．18°
6． 如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O），其直径为AB，一等腰直角三角板MNB绕点B旋转，斜边BN交半圆O于点C，BM交半圆O于点D，点C在量角器上的读数为α.关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：AC+BD=12AB；
结论Ⅱ：当边MN与半圆O相切于点E（点E在量角器上的读数为β）时，β−12α=45
A．只有结论Ⅰ对B．只有结论Ⅱ对
C．结论Ⅰ、Ⅱ都对D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
7．如图，是利用一把直尺和一块三角尺ABC摆放并移动后得到的图形，其中∠ABC=90°，∠A1C1B1=30°，AC=8，点A对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿直尺边缘平移，使△ABC移动到△A1B1C1，点A1对应直尺的刻度为0，则点C到A1C1的距离是（ ）
A．63B．53C．43D．33
8．将一副直角三角板和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上.这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A．2−3B．23−2C．2D．23
9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D、E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD=1cm，则AD的长为（ ）
A．13cmB．12cmC．1cmD．32cm
10．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题2分，共12分）
11．如图，两个大小不同的量角器，小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不请，现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使O2与C重合，如果弧AC与弧BD的公共点E在大量角器上对应的度数为130°，那么在小量角器上对应的度数为 .
12．如图，量角器的零度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为120°，则该直尺的宽度为 cm．
13．如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若PQ∥MN，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是 ．
14．如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则 ∠α= °．
15．如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=kx(x>0)的图象恰好经过点F，M.若直尺的宽CD=2，三角板的斜边FG=63，则k= ．
16．图1是某个零件横截面的示意图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，为了求出BC的长度，小艺将一根直尺按图2，图3，图4的三种方式摆放，所测得的具体数据（单位：cm）如图所示，则直尺宽为 cm，BC为 cm．
三、实践探究题（共10题，共88分）
17．某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
18． 【问题背景】
在一次数学实践活动中，张老师将班级学生分成“扶摇”、“惊鸿”、“骐骥”三个小组，运用直角三角尺测量三个不同直尺的宽度.(直尺的每两个长刻度之间的长度是1cm)
【实践探究】
（1）扶摇组同学用含45°的三角尺，提出按照图1的方案，直尺与直角三角尺ABC的边AC重合，另一边分别交AB，BC于点E，F.点A，C，E，F的读数分别为13，20，4.2，0，则该直尺的宽度FC的长为 cm；
（2）惊鸿组同学用含45°的三角尺，提出按照图2的方案，直尺与直角三角尺ABC的斜边AB重合，另一边分别交AC，BC于点M，N.点A，B，M，N的读数分别为20，10，3，7，求该直尺的宽度；
（3）骐骥组同学用含30°的三角尺，提出按照图3的方案，直尺与直角三角尺ABC斜AB平行，直分别交AC，BC于点S，P，T，Q.点S，T，P，Q的读数分别为20，10，1.8，4.6，∠B=30°，直接写出该直尺的宽度.(结果精确到0.1cm).�(参考数据：3≈1.73)
19．数学实验
生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？
小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3cm的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：
（1）如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形ABCD画出来，并分别作边DA，BA的延长线AF，AH．小聪发现：①四边形ABCD是菱形；②∠FAH＝2∠ACD．请证明这两个结论．
（2）小聪发现，在（1）的基础上，表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当∠FAH＝90°时，∠ACD＝45°，则有CE＝AE＝3cm，因此表示 90°角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示 60°角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．
（3）在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角△ACE 的直角边CE的长度m；第二步，计算出3m的值，这个值恰好是∠α 的正切值，即tanα＝3m；第三步，利用计算器算出α的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．
请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为4，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．
（参考数据：tan4°12'≈0.34，tan4°18'≈0.752，tan56°18'≈1.4994，tan56°24'≈1.5051，tan71°30'≈2.989，tan71°36'≈3.006）．
20．问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
（1）猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
（2）问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长．
21．某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．
22．有一根长方形直尺宽为4cm，长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的宽DE与直角三角板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角板重叠部分的面积为Scm2，
​​
（1）当直角顶点C落在直尺的长上时，x= cm；
（2）当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式；
（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在直接写出x的值，若不存在，请说明理由。
23．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC=20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG·CE．
25．应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE=30°，BD=AC=4．他把三角板ABC固定好后，将三角板DEB从图1所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转，每秒转动5°，设转动时间为t秒(0<1≤30)．
（1）【问题应用】请直接写出图1中线段AD的值；
（2）如图2，在三角板DEB旋转的过程中，连接AD，当四边形ACBD是矩形时，求t值；
（3）【问题探究】如图3，在三角板DEB旋转的过程中，取AD的中点G，连接CG，CG是否存在最大值？若存在，请求出CG的最大值，并直接写出此时的t值：若不存在，请说明理由．
26．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形ABCD的形状是 ；
②图2中AA'与CC'的数量关系是 ；四边形ABC'D'的形状是 ．
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长．
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中：
①当△BCC'为等腰三角形时，请直接写出CC'的长；
②直接写出BC'+BD'的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵∠3=90°，∠1=110°，
∴∠4=∠1-∠3=20°，
∵a∥b，
∴∠5=∠4=20°，
∴∠2=90°-∠5=70°.
故答案为：D.
【分析】由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠4=∠1-∠3=20°，由二直线平行，同位角相等得∠5=∠4=20°，进而根据矩形的性质及角的构成，由∠2=90°-∠5算出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△OCF中，∠COF=180°−∠BOF=60°，
∴∠OFC=90°−∠COF=30°，
∵OC=2cm，
∴OF=2OC=4cm，
连接OE，则OE=OF=4cm，
∵外圆弧与斜边相切，
∴∠BEO＝90°，
在Rt△BOE中，∠B=30°，
∴∠DOE=60°，OB=2OE=8cm，
根据勾股定理得，BE=OB2−OE2=43，
∴S阴影=S△BOE−S扇形DOE=12BE⋅OE−60π⋅42360=12×43×4−83π=(83−83π)cm2，
故答案为：C．
【分析】利用邻补角的定义可求出∠COF的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OFC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OF的长；连接OE，可得到OE的长，利用切线的性质可证得∠BEO=90°，同时可求出OB的长；利用勾股定理求出BE的长；然后利用阴影部分的面积=△BOE的面积-扇形EOD的面积，再利用三角形和扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO，
∴点D在量角器上对应的度数=∠AOD＝180°-∠DOC＝180°-2∠DBC，
∵△ABE是等腰三角形，
当∠EAB为顶角时，
∠ABE=12(180°−∠EAB)=12(180°−36°)=72°，
∴∠CBD=∠CBA−∠ABE=90°−72°=18°，
∠DOC＝2∠DBC==2×18°=36°，
∴点D在量角器上对应的度数=∠AOD=144°；
当∠EAB为底角时，
∠ABE=∠EAB=36°，
∴∠CBD=∠CBA−∠ABE=90°−36°=54°，
∠DOC＝2∠DBC==2×54°=108°，
点D在量角器上对应的度数=∠AOD=72°.
故答案为：D.
【分析】 如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数＝∠DOA=180°-2∠DBC，只要求出∠DBC的度数即可求解；根据三角形ABE是等腰三角形可分两种情况：①当∠EAB为顶角时，②当∠EAB为底角时，分别求出∠DBC即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】
解：如图，连接OA、OB、OC，

∵AC、AB都与圆相切，
∴OC⊥AC，OB⊥AB，OA平分∠BAC，
∵∠BAC＝180°-60°＝120°，∴∠OAC＝∠OAB＝60°，∴∠AOB＝30°，
∴OA＝2AB＝6，
∴OB=OA2−AB2=62−32=33，
∴量角器的直径为63.
故答案为：D
【分析】
连接OA，OB，OC，根据切线的性质，切线长定理，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理可求出可求出OB。
5．【答案】C
【解析】【解答】如图所示：
∵MN//AB，OD⊥MN，
∴OD⊥AB，
∴∠PQO=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠ACP=90°，
∵∠APC=∠OPQ，
∴∠BAC=∠COD=27°，
∴被测物体表面的倾斜角α为27°
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质及垂直的性质求出∠PQO=90°，再结合∠APC=∠OPQ，求出∠BAC=∠COD=27°即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图1，连接OC，OD，
∵∠MBN=45°，
∴∠COD=2∠MBN=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°，
∴AC⌢+BD⌢=CD⌢；
∴AC+BD=12AB；
∴结论Ⅰ正确；
如图2，连接OC，OF，
∵MN与半圆O相切于点E ，
∴OE⊥MN，
又∵BM⊥MN，
∴OE∥MN，
∴∠ABM=∠AOE=β，
∴∠ABM-∠ABN=∠NBM=45°，
∵∠AOC=α，
∴∠ABN=12α，
∴β-12α=45°。
所以结论Ⅱ正确；
图1 图2
所以结论Ⅰ正确；结论Ⅱ也正确；
故答案为：C。
【分析】（1）如图1，连接OC，OD，首先根据圆周角定理求得∠COD=90°，进而得出∠AOC+∠BOD=90°，进一步可推导出AC+BD=12AB；
（2）如图2，连接OC，OF，首先根据切线的性质得出OE⊥MN，进而得出OE∥MN，从而得出∠ABM=∠AOE=β，然后再根据圆周角定理得出∠ABN=12∠AON=12α，再根据∠ABM-∠ABN=∠NBM=45°，等量代换即可得出答案。
7．【答案】A
【解析】【解答】连接CC1,过点C作CD⊥A1C1，交A1C1的延长线于点D，如图，
可得∠CDC1=90°,AA1=12,
∵ △A1B1C1由 △ABC 平移而得，
∴CC1∥AA1,CC1=AA1=12,∠A1B1C1=∠ABC=90°,
∴∠CC1D=∠C1A1B1,
∵∠A1C1B1=30°,
∴∠C1A1B1=90°−30°=60°,
∴∠CC1D=60°,
∴∠C1CD=90°−60°=30°,
∴C1D=12C1C=6,
∴CD=122−62=63,
故答案为：A.
【分析】连接CC1,过点C作CD⊥A1C1，交A1C1的延长线于点D，可得∠CDC1=90°,AA1=12,根据平移的性质可得CC1∥AA1,CC1=AA1=12,∠A1B1C1=∠ABC=90°,进而求出∠CC1D=60°,∠C1CD=30°,最后结合已知条件利用含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝2cm，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD＝4cm，
∴BD=BC2−CD2=42−22=23（cm），
∴AB＝BD﹣AD＝（23−2）（cm）．
故答案为：B．
【分析】先由等腰直角三角形的性质求出AD＝CD＝2cm，然后利用30°角的直角三角形的性质求出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长，最后由AB＝BD﹣AD即可解答．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得△ADE~△ABC，BC=15-12=3cm，DE=1cm，
∴ADAB=DEBC，
∴ADAD+BD=DEBC，即ADAD+1=13，
解得：AD=12，
故答案为：B.
【分析】根据题意求出BC，DE的值，利用三角形相似的性质即可求解.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
11．【答案】65°
【解析】【解答】解：由题意知∠AO1E=130°，∠AO1E=∠O1EO2+∠O1O2E，
∵O1O2=O1E，
∴∠O1EO2=∠O1O2E，
∴∠O1O2E=12∠AO1E=65°，
∴在小量角器上对应的度数为65°.
故答案为：65°.
【分析】根据学具的性质得∠AO1E=130°，根据三角形外角相等得∠AO1E=∠O1EO2+∠O1O2E，进而结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠O1O2E的度数.
12．【答案】533
【解析】【解答】解：连接OC交AD于E，连接OD、如图：
∵ 直尺一边与量角器相切于点C，
∴OC⊥AD，
又∵AD=10，∠DOB=60°，
∴∠DAO=30°，AE=5，
∴OE=33AE=533，OA=2OE=1033，
∴CE=OC−OE=533，
故答案为：533.
【分析】连接OC交AD于E，连接OD，根据垂径定理求出AE的长，根据圆周角可得∠DAO=30°，然后利用含30°角的直角三角形的性质求出OA和OE的长，最后根据线段间的数量关系即可求出CE的长，即可求解.
13．【答案】103
【解析】【解答】解：∵PQ∥MN，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，
∴OPON=OQOM=13，
∴OP10=13，
解得OP=103，
故点P表示的数是103，
故答案为：103．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值计算即可．
14．【答案】54°
【解析】【解答】解：如图，标注字母，
由题意得： AB//EC，∠D=∠DCB=540°5=108°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=180°−90°=90°，∠DCE=108°−90°=18°，
∴∠DEC=180°−∠D−∠DCE=54°，
∵AB//EC，
∴∠α=∠DEC=54°.
故答案为： 54°.
【分析】考查多边形的内角和及平行线的性质，先根据五边形内角和计算出正五边形的每个内角的度数，然后结合直尺两边平行及垂直的条件分析计算即可。
15．【答案】243
【解析】【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，
则四边形CDNM为矩形，故MN=CD=2，又∵在Rt△FNM中，∠MFN=30°，MN=2，则FM=4，FN=MNtan∠MFN=2tan30°=23,又∵FG=63，∴AN=FG−FN=63−23=43，设点A的坐标为a,0，则点B的坐标为a+2,0，故点F、M的坐标分别为：a,63,a+2,43,又反比例函数y=kx(x>0)的图象恰好经过点F，M.∴ka=63ka+2=43,解得a=4k=243，则k=243.
故答案为：243.
【分析】本题主要考查反比函数的基本性质、含30°直角三角形的性质，过点M作MN⊥AD，垂足为N，根据题意可得：MN=CD=2，然后通过解直角三角形可得：FM=4，FN=23,进而得到：AN=FG−FN=43，设点A的坐标为a,0，则点B的坐标为a+2,0，故点F、M的坐标分别为：a,63,a+2,43,然后带入反比例函数解析式建立方程求解即可.
16．【答案】2；24815
【解析】【解答】解：如图3所示，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵DM＝10，DF＝8，
∴MF＝DM2−DF2＝6，
∵EF＝AD＝8，
∴EM＝EF-MF＝2，
∴直尺宽2cm，
如图1所示，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，在AB上截取AG＝8cm，过点G作GH⊥AB交BC于H，
则∠AEB＝∠DFC＝90°，DF＝8cm，
∵AB＝CD，∠B＝∠C，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF＝8，BE＝CF，
∵∠BGH＝90°，
∴∠BGH＝∠AEB，
∵∠HBG＝∠ABE，
∴△BHG∽△BAE，
∴BG：GH＝BE：AE ，
设BG＝xcm，则AB＝（x+8）cm，
∵GH＝2cm，
∴2BE＝8x ，
∴BE＝4x，
在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，
∴（4x）2+82＝（x+8）2，
解得：x＝0（舍去）或x＝1615，
∴BE＝6415cm，
∴BC＝2BE+EF＝2×6415+8＝24815cm，
故答案为：2；24815． 【分析】如图3所示，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，利用勾股定理求出MF＝6，由AD＝EF＝8，即可得出直尺EM宽度；如图1所示，在AB上截取AG＝8cm，过点G作GH⊥AB交BC于H，先证明△BHG∽△BAE，BG：GH＝BE：AE ，设BG＝xcm，则AB＝（x+8）cm，GH＝2cm，可求得BE＝4x cm，在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，即得（4x）2+82＝（x+8）2，解之求得x值 ，从而求得BE的长，进而通过BC＝2BE+EF求解即可.
17．【答案】解：∵∠ACE=50°，
∴α=90°−∠ACE=40°.
∵AE⊥CD，BD⊥AB，BD⊥CD，
∴四边形ABDE是矩形.
∵AB=1.54m，BD=10m，
∴DE=AB=1.54m，
AE=BD=10m.
在Rt△ACE中，CE=AE⋅tanα=10×tan40°=8.39(m)，
∴CD=CE+DE=8.39+1.54≈9.9(m)，
答：古树高度CD约为9.9m.
【解析】【分析】根据题意得到：α=40°，进而可证明四边形ABDE是矩形，则DE=AB=1.54m，AE=BD=10m.进而解直角三角形即可求解.
18．【答案】（1）2.8
（2）解：过C作CD⊥AB于D，交MN于E，
由题意可知，MN=7−3=4(cm)，AB=20−10=10(cm)，
∵MN//AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴CECD=MNAB，
∵∠MCN=90°，CM=CN，CE⊥MN，
∴CE=12MN=2(cm)，
∴2CD=410，
∴CD=5，
∴DE=5−2=3(cm)；
（3）6.7(cm)
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：EF=4.2，AC=20-13=7，
∵∠ACB=90°，∠B=45°，
∴BF=EF=4.2，
∵EF//AC，
∴△BFE∽△BCA，
∴BFBC=EFAC，
∴4.2BC=4.27，
解得：BC=7，
∴FC=BC-BF=7-4.2=2.8，
故答案为：2.8；
（3）过点C作CD⊥AB于点D，交PQ于点E，交ST于点F，如图所示：
根据题意可得：ST=20-1.8=18.2，PQ=4.6-1.8=2.8，
∵PQ//ST，
∴△CPQ∽△CST，
∴CECF=PQST，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，
∴CP=12PQ=1.4，PE=12CP=0.7，CE=3PE=0.7×3≈1.211，
∴0.7×3CF=2.818.2，
∴CF=9.1×32≈7.8715，
∴FE=7.8715-1.211=6.6605≈6.7，
故答案为：6.7.
【分析】（1）先证出△BFE∽△BCA，可得BFBC=EFAC，再将数据代入求出BC的长，最后利用线段的和差求出FC的长即可；
（2）过C作CD⊥AB于D，交MN于E，先证出△CMN∽△CAB，可得CECD=MNAB，再将数据代入求出CD的长，最后利用线段的和差求出DE的长即可；
（3）过点C作CD⊥AB于点D，交PQ于点E，交ST于点F，先证出△CPQ∽△CST，可得CECF=PQST，再将数据代入求出CF的长，最后利用线段的和差求出FE的长即可.
19．【答案】（1）由题意可知四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条一样宽，所以两组对边间的距离不变，
∴根据面积不变的原理可以得到CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵∠FAH＝∠BAD，
∴∠BAD＝2∠ACD，
∴∠FAH＝2∠ACD；
（2）由（1）可知∠FAH=2∠ACD，
∴ 当∠FAH=60°时，∠ACD=30°，
∴ tan∠ACD=tan30°=33=3CE，
∴ CE=33≈5.20，即 表示 60°角的位置与点C的距离为5.20；
（3）∵ tanα2=3m，
∴ 当 m＝4时，tanα2＝34＝0.75，α≈73°48'；
当m＝2 时，tanα＝32＝1.5，α≈112°36'；
当m＝1 时，tanα＝31＝3，α≈143°12'．
【解析】【分析】（1）利用等面积法可得CB=CD，再根据菱形的判定即可求得四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质可得∠BAD=2∠ACD，即可求得；
（2）由（1）可知∠FAH=60°时，∠ACD=30°，根据tan∠ACD=AECE，即可求得CE；
（3）由（1）（2）可得 tanα2=3m，将m的值分别代入，根据参考数据即可求得α.
20．【答案】（1）解：如图①，四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD是△BAC的中位线，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
（2）解：如图②，过点N作NG⊥CD于G，
∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB2+AC2＝10，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∵∠MDN＝∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，
∵∠B＝∠MDB，
∴∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
∵NG⊥CD，
∴DG＝CG＝52
∴csC＝CGCN=ACBC，
∴52CN=810，
∴CN=258．
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理，结合三个内角是直角的四边形是矩形，进行证明即可；
（2）过点N作NG⊥CD于G，作勾股定理求BC的长，根据余角的性质可得∠1=∠C，根据等角对等边得DN=CN，利用三线合一，结合三角函数求解即可。
21．【答案】解：测角仪显示的度数为50°，∴α=90°−50°=40°，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，CE⊥AE，
∴∠ABD=∠EDB=∠AED=90°，
∴四边形ABDE是矩形，AE=BD=10m，ED=AB=1.54m
在Rt△CAE中，CE=AEtanα=8.39m，
∴CD=CE+ED=8.39+1.54=9.93≈9.9m．
【解析】【分析】先根据题意即可得到∠ABD=∠EDB=∠AED=90°，进而得到四边形ABDE是矩形，AE=BD=10m，ED=AB=1.54m，再结合解直角三角形的知识即可求出CE，进而结合题意求解。
22．【答案】（1）4或8
（2）解：①当0＜x≤4时，S=4x+8；
②当4＜x≤8时，S=-x2+12x-8；
③当8＜x＜12时，S=-4x+56
（3）解：存在，当x=6cm时，阴影部分面积为28cm2。
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：DE=4，AB=16，直角三角形的锐角为45°，
①当直角顶点C落在直尺的点E边上时，CE为等腰直角△ABC的高，如图所示：
∴AE=12AB=8cm，
∴x=AE-DE=4cm；
②当直角顶点C落在直尺的点D边上时，CD为等腰直角△ABC的高，如图所示：
∴x=AD=12AB=8cm，
综上，x的值为4cm或8cm，
故答案为：4或8；
（2）设直尺与直角三角形的直角边交于点M、N两点，
①当0根据题意可得：DN=AD=x，ME=AE=x+4，
∴S=（DN+EM）×DE2=x+x+4×42=4x+8；
②当4∴DN=AD=x，BEEM=16-x-4=12-x，CG=8，DG=8-x，GE=x+4-8=x-4，
∴S=S梯形NDGC+S梯形CGEM=DN+CG×DG2+CG+EM×GE2=x+8×8−x2+8+12−x×x−42=−x2+12x−8；
③当8∴DN=BD=16-x，EM=BE=16-x-4=12-x，
∴S=DN+EM×DE2=16−x+12−x×42=−4x+56，
综上，S=4x+8（0故答案为：S=4x+8（0（3）当x=4时，S=24，
∴当S=28时，x必然大于4，即−x2+12x−8=28，
解得：x1=x2=6，
∴当x=6cm时，阴影部分的面积为28cm2，
故答案为： 存在，当x=6cm时，阴影部分面积为28cm2。
【分析】（1）根据等腰三角形的高的性质求解即可；
（2）设直尺与直角三角形的直角边交于M、N两点，分情况讨论：①当0＜x≤4时；②当4＜x≤8时；
③当8＜x＜12时，用含有x的式子表示梯形的各条边，再根据梯形的面积公式列出式子化简即可；
（3）根据重叠部分面积为28cm2，列出方程求解即可。
23．【答案】（1）解：如图所示：
由题意知OD⊥PD，
在Rt△POD中，∠D=90°，则∠P+∠POD=90°，即α+β=90°，
∴β=90°−α；
（2）解：如图所示：
∴AD⊥BD，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，由等腰直角三角形性质得到CD=AD，
在Rt△ABD中，∠ABD=37°，
由tan∠ABD=tan37°=ADBD=ADCD+20=ADAD+20，
即0.75=ADAD+20，
解得AD=60m，
∴气球A离地面的高度AD=60m．
【解析】【分析】（1）利用已知可得到∠D=90°，利用三角形的内角和定理可得到α与β的数量关系.
（2）利用等腰直角三角形的性质可知CD=AD，在Rt△ABD中，利用解直角三角形求出AD的长.
24．【答案】（1）解：BO=BD+OD=3+1=4（cm），
t=4÷2=2（s）；
（2）解：连接O与切点H，则OH⊥AC，
又∵∠A=45°，
∴AO=2OH=32cm，
∴AD=AO－OD=（32－3）cm；
（3）证明：连接EF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵DE为直径，
∴∠ODF+∠DEF=90°，∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，
又∵∠FCG=∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴CFCG=CECF，
∴CF2=CG·CE．
【解析】【分析】（1）当B与O重合的时，可得三角板移动的路程为BO=BD+OD=4，利用时间=路程÷速度即可求解；
（2）连接O与切点H，则OH⊥AC ，利用勾股定理可得AO=2OH=32cm，根据AD=AO－OD 即可求解；
（3）连接EF，证明△CFG∽△CEF，可得CFCG=CECF，据此即得结论.
25．【答案】（1）解：AD=4；
（2）解：如图：
当四边形ACBD是矩形时，
∴∠CBD=90°，
∵∠ABC=∠DBE=30°，
∴旋转角∠ABD=90°−∠ABC=60°，
∴t=60°÷5°=12（秒），
∴t的值为12；
（3）解：取AB中点O，连接OG、OC，如图：
∵G是AD中点，
∴中位线OG=12BD=12×4=2，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°，
∴AC=12AB，
∴AB=2AC=2×4=8，
∵OC是Rt△ABC斜边上中线，
∴OC=12AB=4，
当O、C、G不在同一直线上时，CG当O在线段CG上时，CG=OC+OG，
∴CG≤OC+OG，
∴O、C、G三点共线时，CG最大值=OC+OG=4+2=6，
此时，如图，
OC=OA=OB，∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠AOG=∠BOC=120°，
∵OG∥BD，
∴∠ABD=∠AOG=120°，
∴旋转角为120°，
∴t=120°÷5°=24（秒），
综上，存在CG最大值为6，此时t为24秒．
【解析】【解答】解：（1）解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=12AB，
∵BD=AC=4，
∴AD=BD=4；
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB，结合BD=AC=4即可得到AD长；
（2）根据矩形的性质得∠CBD=90°，可得旋转角∠ABD的度数，用角度数÷速度即可得到运算时间；
（3）取线段AB中点O，连接OG、OC，可得中位线OG，且OG=12BD为定值，O为斜边中点，根据直角三角形斜边中点性质得OC=12AB也是定值，于是CG≤OC+OG，当O，C，G三点共线，且O在中间时，得CG最大值；旋转角∠ABD=∠AOG=∠BOC，求得旋转角即可得到此时的时间t.
26．【答案】（1）正方形；AA'=CC'；平行四边形
（2）四边形ABC'D'的形状可以是菱形，
如图3，连接AD'，BC'，
∵AB=6cm，∠ACB=30°，∠ABC=90°，
∴AC=12cm，∠BAC=60°，BC=6cm，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴CD=C'D'=AB，CD∥C'D'∥AB，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
∴当BC'=AB=6cm时，四边形ABC'D'是菱形，
∵BC'=AB=6cm，∠BAC=60°，
∴△ABC'是等边三角形，
∴AB=AC'=BC'=6cm，
∴CC'=6cm；
（3）①当BC'=CC'时，△BCC'为等腰三角形，如图，
∵BC'=CC'，
∴∠BCC'=∠CBC'=30°，
∴∠AC'B=60°，
∴△ABC'是等边三角形，
∴AB=AC'=6cm，
∴CC'=6cm；
当BC=CC'=63cm时，△BCC'为等腰三角形；
当BC=BC'时，△BCC'为等腰三角形，
如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵∠ACB=30°，BH⊥AC，
∴BH=33cm，CH=3BH=9cm，
∵BC=BC'，BH⊥AC，
∴CC'=2CH=18cm，
综上所述：CC'的长为6cm，63cm或18cm；
②如图5，连接DD'，AD'，
∵四边形ABC'D'是平行四边形，
∴AD'=BC'，
∴BC'+BD'=AD'+BD'，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴DD'∥AC，
∴∠DAC=∠D'DA=30，
作点A关于直线DD'的对称点N，连接BN，连接AN交直线DD'于P，即BC'+BD'的最小值为BN的长，
过点N作NE⊥直线AB于E，
∵点A，点N关于DD'对称，
∴AP=PN，AN⊥DP，
∵∠D'DA=30°，
∴AD=2AP，∠PAD=60°，
∴AP=PN=33，∠EAN=30°，
∴EN=12AN=33，AE=3EN=9，
∴BE=15，
∴BN=EN2+BE2=225+27=67，
∴BC'+BD'的最小值为67．
【解析】【解答】解：（1）①∵等腰直角△ABC和等腰直角△ADC的斜边重合，
∴AB=BC=AD=DC，∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
②∵ 三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置，
∴A′C′=AC，
∴A′A=CC′；
连接AD′，BC′，
∵三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置，
∴CD=C′D′，CD∥C′D′，
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=C′D′，AB∥C′D′，
∴四边形ABC′D′是平行四边形.
故答案为：A′A=CC′，平行四边形.
【分析】（1）①利用已知可证得AB=BC=AD=DC，∠D=90°，由此可得到四边形ABCD的形状；②利用平移的性质可证得A′C′=AC，即可得到AA′和CC′的数量关系；连接AD′，BC′，利用平移的性质可知CD=C′D′，CD∥C′D′，利用正方形的性质可证得AB=CD，AB∥CD，由此可推出AB=C′D′，AB∥C′D′，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）连接AD′，BC′，可得到AC，BC的长及∠BAC的度数，再利用平移的性质可证得CD=C′D′，CD∥C′D′∥AB，可可推出四边形ABC′D′是平行四边形，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得到四边形ABC′D′是菱形，同时可知△ABC′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到CC′的长.
（3）①利用等腰三角形的定义分情况讨论：当BC=CC′时，可证得△ABC′′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到AC′的长，即可求出CC′的长；当BC=CC′时；当BC=BC′时，过点B作BH⊥AC于点H，利用勾股定理求出CH，BH的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CC′的长；②连接DD′，AD′，利用平行四边形的性质可证得AD′=BC′，可推出BC′+BD′=AD′+BD′，利用平移的性质可证得DD′∥AC，同时可证得∠DAC=∠D′DA=30°，作点A关于直线DD′的对称点N，连接NB，连接AN交直线DD′于点P，可知BC′+BD′的最小值就是BN的长，过点N作NE⊥AB于点E，利用轴对称的性质可证得AP=PN，AN⊥DP，可推出AD=2AP，∠PAD=60°，即可求出AP，EN，AE的长，利用勾股定理求出BN的长即可.活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图(1)的测量草图，确定需测的几何量.
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示.准备皮尺.
【步骤三】实地测量并记录数据
如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点.
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α.α= ▲ .
测出眼睛到地面的距离AB.AB=1.54m.
测出所站地方到古树底部的距离BD.BD=10m.
【步骤四】计算古树高度CD.(结果精确到0.1m)
(参考数据：sin40°=0.643，cs40°=0.766，tan40°=0.839)
请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】.
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．
测出眼睛到地面的距离AB．
测出所站地方到古树底部的距离BD．
α= ．
AB=1.54m．
BD=10m．
【步骤四】计算古树高度CD．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin40°=0.643，cs40°=0.766，tan40°=0.839）