2024年中考数学热点探究十八 几何最值问题练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十八 几何最值问题练习附解析，共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，若正六边形ABCDEF绕着中心O旋转角α得到的图形与原来的图形重合，则α最小值为（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
2．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝12BD，连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）
A．等于定值5-2B．有最大值121313
C．有最小值121313D．有最小值13
3．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（ ）
A．随点C的运动而变化，最小值为43
B．随点C的运动而变化，最大值为8
C．随点C的运动而变化，最大值为83
D．随点C的运动而变化，但无最值
4．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（ ）
A．PA+PB+PC+PD的最小值为10
B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC
C．若△PAB∼△PDA，则PA=2
D．若S1=S2，则S3=S4
5．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，有AE=AB=3BC且BC=a，点P是BE上一动点，则点P到边AB，AC的距离之和PM+PN的值（ ）
A．有最大值aB．有最小值32aC．是定值12aD．是定值32a
6．如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝52，则当下列哪种情况时，AC•CE取得最大值. （ ）
A．CD取最大值时B．AC⊥AD时
C．CD⊥DE时D．OC⊥AB时
7．如图，∠MON=45°，点A、B分别在射线OM、射线ON上运动，四边形ABCD是矩形，且AB=2，AD=1，则OD的最大值为（ ）
A．2+5B．22+1C．2+3D．无最大值
8．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A，B重合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为102．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为33B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33
10．如图，已知点C在以 AB 为直径，O为圆心的半圆上， AB=4 ，以 BC 为边作等边 △BCD ，则 AD 的最大值是（ ）
A．23B．4+23C．2+23D．43
二、填空题（每题2分，共12分）
11．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 ．
12． 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
13．△ABC中，AB=8，AC=4，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边ΔABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
16．如图，平面内三点A、B、C，AB=4，AC=3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ．
三、解答题（共4题，共26分）
17．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上一点，BD=2AD，CD=4，求S△ACD的最大值.
18．如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ 14AB，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．
19．如图所示，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，且点E，F位于点O的两侧.若P为EF上任意一点，求PA+PC的最小值.
20．材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求x2+2x+5的最小值；
解：令x2+2x+5=y，∴x2+2x+(5−y)=0，
∴Δ=4−4×(5−y)≥0，∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）若EF=2EQ，求矩形EFPQ的面积；
（2）设EQ=x求矩形EFPQ的面积最大值．
四、实践探究题（共7题，共62分）
21．根据以下素材，探索完成任务．
22．阅读下列材料，解决问题：
配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：
例：求多项式2x2−8x+1的最小值
解：2x2−8x+1=2(x2−4x)+1
=2(x2−4x+4−4)+1
=2(x−2)2−7
∵(x−2)2≥0，
∴2(x−2)2−7≥−7
∴多项式的最小值为−7，此时，x=2．
仿照上面的方法，解决下面的问题：
（1）当x= 时，多项式−x2−4x+3有最 值是 ；
（2）若代数式M=2x2−3y2−x−1，N=x2−3y2+x−4，试比较M与N的大小关系；
（3）如图，在△ABC中，BC=a，高AD=b，矩形EFGH的四个顶点分别在三角形的三边上，设HE=x，矩形EFGH的面积为S．用含有x，a，b的代数式表示S，并求出当x的值为多少时，S的值最大？并判断此时S与△ABC面积的关系．
23．请根据素材，完成任务.
24．（实际问题）小明家住 15 楼．一天，他要把一根 3 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示）那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？
（类比探究）为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．
探究：如图②，在 △ABC 中， AC⊥BC ．若 BC=a ， AC=b ， AB=c ，则 b 与 c 之有什么数量关系？
解：在 △ABC 中，
∵ AC⊥BC ，
∴ BC2+AC2=AB2 ，即 a2+b2=c2 ．
∵ (a−b)2≥0 ，
∴ a2+b2−2ab≥0 ，
∴ a2+b2≥2ab ，
∴ c2≥2ab ，
∴ c2+a2+b2≥2ab+a2+b2 ．
∴ 2c2≥(a+b)2 ．
∵ a ， b ， c 均大于 0 ，
∴ a+b 与 c 之间的数量关系是 a+b≤2c ．
（1）探究2：如图③，在四边形 ABCD 中， AC 是对角线， AB⊥BC ， AC⊥CD ．若 AB=a ， BC=b ， CD=c ， AD=d ，则 a+b+c 与 d 之间有什么数量关系？
解： ∵ AB⊥BC ， AC⊥CD ，
∴ BC2+AB2=AC2 ， AC2+CD2=AD2 ．
∴ a2+b2+c2=d2
∵ (a−b)2≥0 ， (a−c)2≥0 ， (b−c)2≥0 ，
∴ a2+b2≥2ab ， a2+c2≥2ac ， b2+c2≥2bc ．
将上面三式相加得， 2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc ，
∴ 2d2≥2ab+2ac+2bc ．
∴ 2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2 ．
∴ d2≥(a+b+c)2 ．
∵ a ， b ， c ， d 均大于 0 ，
∴ a+b+c 与 d 之间有这样的数量关系： a+b+c≤ d ．
（2）探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形 ABCDE 中， AC ， AD 是对角线， AB⊥BC ， AC⊥CD ， AD⊥DE ．若 AB=a ， BC=b ， CD=c ， DE=d ， AE=e ，则 a+b+c+d 与 e 之间的数量关系是 ．
（3）当 a1>0 ， a2>0 ，…， an>0 ， m>0 时，若 a12a22+⋅⋅⋅+an2=m2 ，则 a1+a2+⋅⋅⋅+an 与 m 之间的数量关系是 ．
（4）小明家住 15 楼一天，他要把一根 3 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是 米．
（5）公园准备修建一个四边形水池，边长分别为 a 米， b 米， c 米， d 米，分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为 900 平方米，则水池的最大周长为 米．
25．【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求12AP+BP的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得OCOP=12=OPOA，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以CPAP=OPOA=12，得CP=12AP所以12AP+BP=CP+BP.
又因为CP+BP≥CB=OC2+OB2，所以12AP+BP最小值为 ▲ .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将12AP转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求AP+23BP的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .
26．旋转的图形带来结论的奥秘.已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.
27．阅读下列材料，完成相应的任务
任务：
（1）类比探究：对于函数y＝ 1+x2+9+(4−x)2 ，当x＝ 时，y有最小值，最小值为 .
（2）应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5.连接AB，AC.求△ABC周长的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：
连接OA，OB，由正六边形ABCDEF可知，∠AOB=360°÷6=60°，
正六边形的一边绕着中心旋转60°，才可以和与之相邻的边重合，
所以旋转角 α 的 最小值为60°。
故答案为：D
【分析】
正六边形的边AB绕着中心 O逆时针旋转或顺时针旋转60°，才可以与相邻的边BC或AF重合，所以旋转角的最小值为60°。最小的旋转角是这个正六边形的中心角。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：记AC交BD于点O，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵EF=12BD，
∴OB=EF=OD，
∴BE=OF，OE=DF，
∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，
∴AC=4，
∴OA=2，
∴OB=AB2+OA2=13，
当BE=OE时， AE+CF 的值最小，E为OB中点，
∴AE=12OB，
同理：CF=12OD，
∴AE+CF=OB=13，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得：OB=OD，OA=OC，结合已知条件得到：BE=OF，OE=DF，然后根据勾股定理求出AC的长，根据当BE=OE时， AE+CF 的值最小，即可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC，
∵△CBD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，CD=BD，
在△OCD和△OBD中，
OC=OBOD=ODCD=BD
∴△OCD≌△OBD（SSS）
∴∠BDO=∠CDO=12∠CDB=30°，
过点O作OF⊥BD于点F，
∴OD=2OF，
要使OD的值最大，则OF的值最大，
∴当点F和点B重合时，此时OF的值最大，
∴OF=OB=4，
∴OD=4×2=8.
故答案为：B
【分析】连接OC，利用等边三角形的性质，可证得∠BDC=60°，CD=BD，利用SSS证明△OCD≌△OBD，利用全等三角形的性质可证得∠BDO=∠CDO=30°；过点O作OF⊥BD于点F，可知OD=2OF，要使OD的值最大，则OF的值最大，可得到当点F和点B重合时，此时OF的值最大，可求出OD的长.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；
B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；
C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；
D、易得S1+S3=S2+S4=12S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=12S矩形ABCD，据此可判断D选项.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：连接AP，过点B作BF⊥AC，交AC于点F，
∵在矩形ABCD中，AE=AB=3BC，BC=a，
∴AB=3a，AC=AB2+BC2=2a，
∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BF
即：3a⋅a=2a×BF，
∴BF=3a2；
∵S△ABE=S△APE+S△APB，
∴12AE⋅BF=12AE⋅PM+12AB⋅PN=12AE(PM+PN)，
∴PM+PN=BF=3a2；
故答案为：D．
【分析】连接AP，过点B作BF⊥AC，交AC于点F，根据S△ABE=S△APE+S△APB，可得12AE⋅BF=12AE⋅PM+12AB⋅PN=12AE(PM+PN)，再求出PM+PN=BF=3a2即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AD＝52
∴BD＝52
∴AD＝BD，
∴弧AD=弧BD，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥AB，
∴∠CBA＝∠E，
∵∠CBA＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠E，
∴△ACD∽△DCE，
∴AC∶CD＝CD∶CE，
∴AC•CE＝CD2，
∴当CD最大时，AC•CE有最大值，
故答案为：A.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据勾股定理算出BD的长，可得AD=BD，根据同圆中等弦所对的劣弧相等得弧AD=弧BD，进而根据等弧所对的圆周角相等得∠ACD＝∠DCB，再根据同弧所对的圆周角相等得∠CBA＝∠ADC，根据平行线的性质得∠CBA＝∠E，故∠ADC＝∠E，证明△ACD∽△DCE，从而得到AC•CE＝CD2，再由CD的最大决定AC•CE的最大即可求解．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠MON=45°，AB=2，
∴点O在经过点A，B的圆E上，且∠AEB=90°，
∴AE=BE=OE=AB2=2，即圆E的半径为2，
过E作EG⊥AB于G并延长，与CD交于点F，
∴AG=BG=12AB=1，EG=12AB=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAG=∠ADC=∠AGF=90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴AG=DF=1，AD=FG=1，∠EFD=90°，
∴EF=EG+GF=2，
∴DE=DF2+EF2=5，
当O，E，D三点共线时，OD最大，且最大值为OE+DE=5+2，
故答案为：A.
【分析】由题意可得：点O在经过点A，B的圆E上，且∠AEB=90°，AE=BE=OE=2，过E作EG⊥AB于G并延长，与CD交于点F，有AG=BG=1，EG=12AB=1，根据矩形的性质可得∠DAG=∠ADC=∠AGF=90°，AG=DF=1，AD=FG=1，∠EFD=90°，则EF=EG+GF=2，利用勾股定理可得DE，据此求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：
①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴弧AD=弧BD，即D是弧AB的中点，∴D是定点，故①正确；
②∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2=102=100
∵AC−BC2≥0，且AC和BC都是正值，∴AC2+BC2≥2AC×BC
∴AC×BC≤50，即AC×BC的最大值是50。故②正确；
③∵弧AD=弧BD，∴AD=BD，∠ACD=∠DAB
∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=∠EAC，
∠DAE=∠DAB+∠EAB=∠ACD+∠EAC=∠DEA
∴AD=ED，
∴AD=BD=ED
∴D是ABE的外心，故③正确；
④∵CA+CB2=CA2+CB2+2×CA×CB=100++2×CA×CB≤100+100
∴CA+CB的最大值是102，故④正确。
故答案为：D.
【分析】根据CD平分∠ACB可推得D为弧AB的中点，可判断①正确，运用完全平方式的性质推导出AC2+BC2≥2AC×BC，可推导出AC×BC的最大值，判断②正误；证明DA，DB，DE相等，可判断③正确，运用完全平方式，结合②中结论可判断④正误。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图1所示，延长AD、BE相交于点M，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠DAE=∠CBE=60°，∴△MAB是等边三角形。
A、过点P作直线l∥AB，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，BA'与直线l相较于点p，此时PA+PB的长度最小，且PA+PA=PA'+PB=A'B，又∠DEA=∠MBA=60°，∠DAE=∠CEB=60°，∴DE∥MB，CE∥MA，∴四边形DECM是平行四边形，所以点P既是CD的中点，又是ME的中点，又∵点E在AB上移动，∴点P在直线l上移动，所以点M到l的距离等于点P到AB的距离，又知AB=4，∴等边三角形ABC的高为23，所以M到l的距离=点P到AB的距离=3，又A和A'关于l对称，∴AA'=23，且∠A'AB=90°，∴A'B=AA'2+AB2=232+42=27，所以PA+PB的最小值为33不正确，A符合题意；
B、因为四边形DECM是平行四边形，∴PE=PM，∴PE+PF=PM+PF，所以当MPE三点在同一直线上时，PM+PF的值最小，因为点F是AB的中点，∴此时最小值为等边△MAB的高。即PM+PF的值最小为23，∴PE+PF的最小值为23正确，所以B不符合题意；
C、如图2所示，分别过点D、C作AB的垂线，垂足分别为点K、T，∵△ADE和△BCE都是等边三角形KE=12AE，TE=12BE，∴KE+TE=12AE+BE=12×AB=12×4=2，∴CD≥2，∵CD+DE+CE=CD+AE+BE，∴CD+DE+CE≥2+4，即△CDE的周长≥6，∴△CDE的周长的最小值为6正确，所以C不符合题意；
D、如图2所示，设AE=2a，则BE=4-2a，∴KE=a，TE=2-a，DK=3a，CT=（2−a）3，∴四边形ABCD的面积为：S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC=12×a×3a+12×（2−a）×（2−a）3+123a+(2−a)3）×2=3a−12+33，∴当a=1时，四边形ABCD的面积最小，最小值为33，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A。
图1 图2
【分析】A、如图1，根据轴对称的性质，可得PA+PB的最小值为A'B的长度，根据勾股定理即可；
B、如图1，根据两点之间，线段最短，可知当M、P、F三点共线时，PE+PF的值最小，此时的最小值就是等边△MAB的高；
C、如图2，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AE+BE=CD+4，所以当CD取最小值时，周长最小，当CD垂直CT时，CD最小，此时CD=KT=2，可求得周长的最小值；
D、设设AE=2a，根据四边形ABCD的面积为=S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC，从而得到四边形ABCD的面积关于a的二次函数关系式，根据二次函数的最小值，求得四边形ABCD的面积的最小值。
根据计算结果，判断正确与错误，选出正确选项即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】如图，延长AC至点E，使 DE⊥AE
在半圆O中， AB 为直径
∴∠ACB=90°
又∵等边 △BCD
∴∠BCD=60°
∴∠ECD=180°−∠ACB−∠BCD=180°−90°−60°=30°
∵设 AC=x ，则 BC=AB2−AC2=16−x2
∴CD=BC=16−x2
在 Rt△CDE 中，
CE=CD⋅cs30°=32⋅16−x2
ED=CD⋅sin30°=12⋅16−x2
又在 Rt△AED 中， AE=AC+CE=x+3216−x2
∴AD2=AE2+ED2
=(x+3216−x2)2+(12⋅16−x2)2
=x2+3x⋅16−x2+34⋅(16−x2)+14⋅(16−x2)
=x2+3⋅16x2−x4+16−x2
=3⋅16x2−x4+16
=3⋅−(x2)2+16x2−82+82+16
=3⋅−(x2−8)2+64+16
当 x2=8 时， AD2 有最大值，最大值 =3×64+16=16+83
则 ADmax=16+83=(2+23)2=2+23
故答案为：C.
【分析】延长AC至点E，作DE⊥AE，设AC=x，利用等边△BCD和AB为直径，用含x的式子分别求出BC、CD、CE、AE的长，由勾股定理得AD2=AE2+ED2=3⋅−(x2−8)2+64+16，利用偶次幂及二次根式的非负性求出AD2的最大值即可.
11．【答案】27
【解析】【解答】解：如图所示：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，过点F作FG⊥AB交AC于点G，
∴PE=PE'，∠GFA=90°，
∴PE+PF=PE'+PF＝E'F，
∴当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
由题意可得：AE'=AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，∠CAB=∠ACB=45°，
∴FG//BC//AD，∠AGF=∠ACB=45°，
∴GF=AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE'=AE=EF=FB，
∴GC=13AC，AE'FG=AEAF=12，
∴AG=23AC，AP'P'G=AE'FG=12，
∴AP'=13AG=13×23AC=29AC，
∴APPC=AP'P'C=29AC79AC=27，
故答案为：27.
【分析】先作图求出当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，再利用正方形的性质求出∠DAB=∠B=90°，∠CAB=∠ACB=45°，最后计算求解即可。
12．【答案】2
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC=AB2+BC2=22+22=22
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=12AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴MN=12×22=2.
故答案为：2
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=12AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
13．【答案】62
【解析】【解答】解：如图：以点O为中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△FOC，
∵根据旋转性质可得，△AOF为等腰直角三角形，由勾股定理得AF=AO2+OF2=2AO，AB=FC=8，
AC＋FC≥AF，A，C，F三点共线时，AF取得最大值，
此时AF=CF+AC=8+4=12，
∵AF=2AO=12，
解得AO=62，即线段AO的最大值为62.
故答案为：62．
【分析】以点O为中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△FOC，根据旋转性质可得，△AOF为等腰直角三角形，结合勾股定理可得AF=2AO，AB=FC=8，根据三角形三边关系可得AC＋FC≥AF，A，C，F三点共线时，AF取得最大值，进而求出线段AO的最大值 ．
14．【答案】33
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CG⊥AD于点G，并延长交AB于点H，连接HF交AD于点E，
∵AD平分∠CAB，
易得△AGC≅△AGH，
∴AC=AH，
∵AD平分∠CAB，AE=AE，
易得△ACE≅△AHE，
∴EC=EH，
∴CE+EF的最小值为FH，
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=12，
∴BC=AB2−AC2=122−62=63，AH=AC=6，
∴点H为AB的中点，
又∵ 点F是AC的中点，
∴FH是△ACB的中位线，
∴FH=12BC=33，
∴CE+EF的最小值为33.
故答案为：33.
【分析】过点C作CG⊥AD于点G，并延长交AB于点H，连接HF交AD于点E，先证△AGC≅△AGH，得出AC=AH，再证△ACE≅△AHE，得出EC=EH，进而得到CE+EF的最小值为FH，然后利用勾股定理求出BC的长，再证FH是△ACB的中位线即可求解.
15．【答案】2
【解析】【解答】解：以直线OA为对称轴构造等边三角形△AEF，点E和点F都在y轴上，作过点F和C的直线交x轴于点G.如图：
∵A(4,0)，
∴OA=4.
∵等边三角形AEF，
∴AE=AF=EF，∠AEF=∠AFE=60°.
∴OF=OE=AO3=433.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
∴∠EAF－∠BAF=∠BAC－∠BAF，
即∠EAB=∠FAC.
∴△AEB≌△AFC(SAS).
∴∠AEB=∠AFC=60°.
∴∠OFC=120°，为定值.
∴点C在直线FG上运动.
故当OC⊥FG时，OC的值最小.
∵∠OFG=180°－∠OFC=60°.
∴∠OGF=30°.
∴OG=3OF=4.
∴OC=12OG=2
故答案为：2.
【分析】以OA为对称轴作等边△AEF，由“SAS"可证△AEB≌△AFC，可得∠AEB=∠AFC=60°.则点C在FG上移动，当OC⊥FG时， OC有最小值. 由直角三角形的性质可求∠OGF=30°，OG=3OF=4，即可求得OC的最小值.
16．【答案】722
【解析】【解答】解：将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△FCD，如图，
∴ AB=CF=4， AD=FD， ∠ADF=90°，
∴ △ADF是等腰直角三角形，
∴ AD=22AF，
∵ AF≤AC+CF， 即 AF≤7，
∴ AD≤ 722，
∴ AD的最大值是722.
故答案为：722.
【分析】将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△FCD，推出△ADF是等腰直角三角形，进而得到AD=22AF，再根据三角形的三边关系求得AF的最大值，AD的最大值即可求得.
17．【答案】解：过点D作DH⊥AC于点H，
设AH=a.
∵DH⊥AC，BC⊥AC，
∴DH//BC，
∴AHHC=ADDB=12，∴CH=2a.
由勾股定理，得DH=CD2−CH2=16−4a2，
∴(S△ACD)2=(12×3a×16−4a2)2=−9a4+36a2=−9(a2−2)2+36，
∴(S△ACD)2的最大值为36，
∴S△ACD的最大值为6
【解析】【分析】过点D作DH⊥AC于点H，设AH=a，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DH∥BC，由平行线分线段成比例建立方程可得CH=2a，在Rt△CDH中，利用勾股定理表示出DH，进而根据三角形面积计算公式表示出（S△ACD）2，将所得函数解析式配成顶点式，求出最值，从而根据算术平方根即可得出答案.
18．【答案】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°， ∴∠BEP＝∠CPQ， 又∠B＝∠C＝90°， ∴△BPE∽△CQP， ∴BEPC=BPCQ 设CQ＝y，BP＝x（0＜x＜12），则CP＝12﹣x， ∵AE＝ 14 AB， ∴BE＝9 ∴912−x=xy ， 化简得y＝﹣ 19 （x2﹣12x）＝﹣ 19 （x﹣6）2+4， ∴当x＝6时，y有最大值为4．即当BP＝6时，CQ的最大值．
【解析】【分析】先设CQ＝y，BP＝x（0＜x＜12），则CP＝12﹣x，并利用已知条件求出AE、BE的长，然后证出△BPE∽△CQP，利用相似三角形的性质得BEPC=BPCQ，据此比例式可得出y与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出结果。
19．【答案】解：连接AD交EF于点P，连接PC，AO、OC，
∵直径MN⊥CD，
∴CF=DF=12CD=3，
∴PC=PD，
∴PA+PC=PA+PD=AD，即PC+PA的最小值为AD；
在Rt△OFC中，由勾股定理得OF=4，
∵直径MN⊥AB，
∴AE=12AB=4，
在Rt△AOE中，由勾股定理得EO=3，
∴EF=EO+OF=7，
过点D作DG⊥AB于点G，
易得四边形EFDG是矩形，
∴DF=EG=3，EF=DG=7，
∴AG=AE+EG=7，
在Rt△ADG中，由勾股定理得AD=72，即PA+PC的最小值为72.
【解析】【分析】连接AD交EF于点P，连接PC，AO、OC，由垂径定理得CF=DF=12CD=3，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PC=PD，PA+PC=PA+PD=AD，即PC+PA的最小值为AD；在Rt△OFC中，由勾股定理算出OF，由垂径定理得AE=12AB=4，在Rt△AOE中，由勾股定理算出EO，由线段的和差算出EF的长，过点D作DG⊥AB于点G，易得四边形EFDG是矩形，由矩形的对边相等得DF=EG=3，EF=DG=7，进而在Rt△ADG中，由勾股定理算出AD即可得出答案.
20．【答案】（1）解：∵AD为高，
∴AD⊥BC，
∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF//PQ，∠FEQ=∠EQP=90°，
∴四边形EQDH为矩形，
∴HD=EQ，
∵BC=10，AD=8，
∴AH=AD−HD=8−EQ，
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AHAD，
∴EF10=8−EQ8，
∵EF=2EQ，
∴2EQ10=8−EQ8
∴EQ=4013，
∴矩形EFPQ的面积=EF⋅EQ=2EQ2=2×(4013)2=3200169；
（2）解：由题意和(1)知：BC=10，AD=8，EQ=x，AH=8−x，且△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AHAD，即EF10=8−x8，
∴EF=108(8−x)=−54x+10，
设矩形EFPQ的面积为S，
S=x⋅(−54x+10)，
∴5x2−40x+4S=0，
∴Δ=(−40)2−4×5×4S≥0，
∴S≤20，
∴矩形EFPQ的面积最大值为20．
【解析】【分析】（1）先证出△AEF∽△ABC，可得EFBC=AHAD，再结合EF=2EQ，可得2EQ10=8−EQ8，最后求出EQ的长即可；
（2）设矩形EFPQ的面积为S，求出S=x⋅(−54x+10)，再利用配方法求解即可.
21．【答案】解：任务1：他的说法对，理由如下：
如图：过点B作BH⊥DC于点H，
∴∠BHC=90°．
∵四边形EFGD是长方形，
∴∠DGC=90°．
∴∠BHC=∠DGC，
在△BCH与△DCG中，∠BHC=∠DGC∠BCH=∠DCGBC=DC，
∴△BCH≌△DCG(AAS)，
∴BH=DG．
∴最高点B到地面的距离就是线段DG长；
任务2：∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，
∴设BF=CG=x，则BC=2x+0.8．
又△ABC的高为1.2米，
∴三角形ABC的面积S=12×(2x+0.8)+1.2=1.2x+0.48．
任务3：由题意，当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
又长方形的面积为：0.8×1.5=1.2（平方米），
∴1.2×85+(1.2x+0.48)×100≤180．解得x≤0.25，
故CG长度的最大值为0.25米．
【解析】【分析】任务1：根据题意过点B作BH⊥DC于点H，用AAS证明△BCH≌△DCG，即可求解；
任务2：根据题意设BF=CG=x，则BC=2x+0.8，△ABC的高为1.2米，即可求解；
任务3：根据题意列式即可求解.
22．【答案】（1）-2；大；7
（2）解：由题意知，M−N=(2x2−3y2−x−1)−(x2−3y2+x−4)
=x2−2x+3
=(x−1)2+2，
∵(x−1)2≥0，
∴(x−1)2+2>0，
∴M−N>0，即M>N；
（3）解：∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，GF=HE=x，
∴△AHG∽△ABC，
如图，记AD交HG于点K，则四边形DEHK是矩形，
∴KD=EH=x，
∴HGBC=AKAD，即HGa=b−xb，
解得，HG=a−abx，
∴S=EH⋅HG=x(a−abx)=−abx2+ax=−ab(x−b2)2+14ab，
∵(x−b2)2≥0，
∴−ab(x−b2)2≤0，
∴−ab(x−b2)2+14ab≤14ab，即S≤14ab，
∴当x=b2时，矩形的面积最大，最大面积是14ab，
∵S△ABC=12ab，
∴14ab=12S△ABC，即S=12S△ABC．
【解析】【解答】（1）−x2−4x+3=−x2+4x+4−4+3=−x+22+7，
∴当x=-2时，多项式有最大值是7，
故答案为：-2；大；7.
【分析】（1）利用配方法将多项式−x2−4x+3变形为−x2−4x+3=−x2+4x+4−4+3=−x+22+7，再求解即可；
（2）利用整式的减法可得M−N=(2x2−3y2−x−1)−(x2−3y2+x−4)=(x−1)2+2，再分析求解即可；
（3）先证出△AHG∽△ABC，再求出HG=a−abx，再利用矩形的面积公式可得S=EH⋅HG=x(a−abx)=−abx2+ax=−ab(x−b2)2+14ab，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
23．【答案】解：任务一，∵AB=4，点C为斜边AB的中点，
∴OC=2，
∵OC≥CD，
∴CD≤2，
∴CD的最大值为2；
任务二，如图1，AB最小=12，
理由如下：
取AB的中点O，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2OC，
∵OC⩾CD，
∴当OC=CD=6时，
AB最小=2×6=12；
任务三，如图2，解：作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，
∴∠ABF=90°，设⊙O的半径是R，
∵AB⌢=AB⌢，
∴∠F=∠ACB=60°
∴AB=AF⋅sinF=2R⋅32=3R，
BF=AF⋅csF=12AF=R，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OE=12BF=12R，
∵OC+OE⩾CE，CE⩾CD，
∴R+12R⩾6，
∴R⩾4，
∴AB=3R⩾43，
∴AB的最小值是43；
任务四，如图2，
作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，
∴∠ABF=90°，设⊙O的半径是R，
∵AB⌢=AB⌢，
∴∠F=∠ACB=α，
∴AB=AF⋅sinF=2R⋅sinα， BF=AF⋅csF=2R⋅csα，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB，
∴OE=12BF=R⋅csα，
∵ OC+OE≥CE， CE≥CD，
∴R+R⋅csα≥m，
∴R⩾m1+csα，
∴AB=2R⋅sinα⩾2m⋅sinα1+csα，
∴AB的最小值是2m⋅sinα1+csα；
任务五，如图3，
作EG⊥AB于G，延长EF交BC于H，
则FH⊥BC，
设∠NFH=∠EFO=β，
∴∠MEF=∠EFO+∠O=40°+β，
∴∠MEG=90°−(40°+β)=50°−β，
在BH的延长线上截取HL=GM，连接FL
∵EG=FH=4，
∠EGM=∠FHL=90°，
∴△EGM≅△FHL(SAS)，
∴∠HFL=∠GEM=50°−β，
∴∠NFL=∠HFL+∠NFH=(50°−β)+β=50°，
由任务四可知，
NL最小=2m⋅sianα1+csα=8sin50°1+cs50°，
∵BM+BN=(BG−GM)+(BH−NH)=9−NL，
∴(BM+BN)最大=9−8sin50°1+cs50°.
【解析】【分析】任务一：OC≥CD，当CD=OC时最大，据此可得答案；
任务二，OC≥CD，AB=2OC，可得AB≥2CD，AB的最大值是2CD，据此可得答案；
任务三，作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，∠ABF=90°，设⊙O的半径是R，构造以直径AF为斜边的直角三角形，∠F=60°，求出AB=3R，OC+OE≥CE，CE≥CD，再求出R的取值范围即可；
任务四，作△ABC的外接圆⊙O，作直径AF，连接BF，类比任务三，AB=2Rsina，BF=2Rcsa，OC+OE≥CE，CE≥CD，再求出R的取值范围即可.
任务五，如图3，作EG上AB于G，延长EF交BC于H，在BH的延长线上截取HL=GM，构造△EGM ≌△FHL，BM+BN转化为9-NL，利用任务四的结论，求出∠NFL=50°，可求NL的最小值，得出BM+BN的最大值.
24．【答案】（1）3；3
（2）a+b+c+d≤2e （归纳结论）
（3）a1+a2+…+an≤ n m （问题解决）
（4）3 3 （拓展延伸）
（5）60
【解析】【解答】解：（1）探究2：∵AB⊥BC，AC⊥CD，
∴BC2+AB2=AC2，AC2+CD2=AD2．
∴a2+b2+c2=d2．
∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc．
将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc，
∴2d2≥2ab+2ac+2bc．
∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2．
∴3d2≥（a+b+c）2．
∵a，b，c，d均大于0，
∴a+b+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c≤ 3 d．
故答案为：3， 3
（2）探究3：∵AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，AE=e，
∴BC2+AB2=AC2，AC2+CD2=AD2，AD2+DE2=AE2，
∴a2+b2+c2+d2=e2，
∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0，（a-d）2≥0，（b-d）2≥0，（c-d）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，a2+d2≥2ad，b2+d2≥2bd，c2+d2≥2cd，
将上面三式相加得，3a2+3b2+3c2+d2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd，
∴3e2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd，
∴2e2+a2+b2+c2+d2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd+a2+b2+c2+d2
∴4e2≥（a+b+c+d）2，
∴a+b+c+d≤2e，
故答案为：a+b+c+d≤2e．
（3）【归纳结论】当a1＞0，a2＞0，…，an＞0，m＞0时，若a12+a22+…+an2=m2，则a1+a2+…+an与m之间的数量关系是a1+a2+…+an≤ n m．
（4）【问题解决】小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），由探究2可知，电梯的长、宽、高和≤3 3 （米），
∴电梯的长、宽、高和的最大值是3 3 米．
故答案为：3 3 ．
（5）【拓展延伸】由题意a2+b2+c2+d2=900=e2，
∴e=30（米），
由探究3可知，a+b+c+d≤2e，
∴a+b+c+d≤60，
∴水池的最大周长为60米，
故答案为：60．
【分析】（1）先求出BC2+AB2=AC2，AC2+CD2=AD2，再求出3d2≥（a+b+c）2，最后求解即可；
（2）根据题意求出a2+b2+c2+d2=e2，再求出4e2≥（a+b+c+d）2，最后证明求解即可；
（3）根据题意求出a1+a2+…+an≤ n m即可作答；
（4）先求出电梯的长、宽、高和的最大值是3 3 米，再求解即可；
（5）根据题意求出e=30，再求出a+b+c+d≤60，最后求解即可。
25．【答案】解：[问题解决]26；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC
∵OCOP=46=23，OPOB=69=23，
∴OCOP=OPOB，
∵∠POC=∠BOP，
∴△POC∽△BOP
∴PCPB=OCOP=23，PC=23PB，
∴AP+23BP=AP+PC≥AC，
过点C作CD⊥OA于D，
CD=OC⋅sin∠AOC=4×sin60°=4×32=23，
OD=12OC=12×4=2，AD=OA−OD=10−2=8，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=82+(23)2=219，
∴AP+23BP最小值为219；
[能力提升]183+12
【解析】【解答】解：[问题解决]如图，在Rt△BOC中，CB=OC2+OB2=12+52=26，
∴12AP+BP的最小值为26，
故答案为：26；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，
∴CEBE=26=13，CFBF=412=13，
∵BD=3DC，
∴CEBE=CFBF=CDBD=13，
连接DE，DF，
由S△DECS△DBE=ECBE=DCBD，S△CDFS△BDF=CFBF=DCBD，
∴点E，F到BD，CD的距离相等，
∴DE，DF是△BDC的内，外角平分线，
∴∠EDF=90°，
∵点D是平面内任意一点，
∴点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，
∵EF=BF−BE=12−6=6，EO=3，
∴BO=BE+EO=6+3=9
在Rt△BOG中，∠OBG=180°−∠ABC=180°−120°=60°，
∴OG=BO⋅sin∠OBG=9×sin60°=9×32=932，
∴DG=OG+OD=932+3，
∴S△ABD=12AB⋅DG=12×8×(932+3)=183+12，
∴△ABD面积的最大值为183+12，
故答案为：183+12.
【分析】（1） [问题解决] 在OA上取一点C，使OC=1，则OCOP=12=OPOA，又∠COP=∠POA，得△COP ∽△POA，则CPAP=OPOA=12，得CP=12AP，故12AP+BP=CP+BP，又CP+BP≥CB
从而利用勾股定理算出答案；
（2） [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC ，利用两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POC∽△BOP，根据相似三角形对应边成比例得 PC=23PB， 故可得AP+23BP=AP+PC≥AC， 过点C作CD⊥OA于D， 由正弦函数定义求的CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可得出答案；
（3） [能力提升] 在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，易得CEBE=CFBF=CDBD=13；连接DE，DF，根据同高三角形面积之比等于底之比可得点E，F到BD，CD的距离相等，根据角平分线定理得DE，DF是△BDC的内，外角平分线，则可得∠EDF=90°，根据圆周角定理得点D在以EF为直径的圆O上，过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，在Rt△BOG中，由正弦函数的定义求出OG，最后根据三角形面积计算公式算出△ABD的面积即可.
26．【答案】解：问题解决（i）证明 AB=AB' ， AC=AC' ， ∠BAB'=∠CAC'
∴ABAC=AB'AC'
∴△ABB'∽△ACC' ，
∴BB'CC'=ABAC 。
（ii） ∠B=∠B' ， AD=AD' ；
深入研究（2）（i） 42
（ii）
（3） 52
【解析】【解答】（1） （ii） 证明：∵△ABC≌△AB'C'，
∴AB=AB'，∠B=∠B'，
∵∠ADB=∠AD'B'=90°，
∴△ABD≌△AB'D'（AAS），
∴AD=AD'，
∵AD'是圆A的半径，AD'⊥B'C'，
∴B'C'是圆A的切线；
故答案为：∠B=∠B'，AD=AD'；
（2）（i）如图，连接BM、MB'，过点M作MH⊥CC'于点H，
∵AB=AM=5，∠A=90°，
∴BM=2AB=10，
∵MC=MC'=5，tanC'=12=MHC'H，
∴MH=1，HC'=CH=2，
∴CC'=2CH=4，
由旋转的性质得MB=MB'，∠BMB'=∠CMC'，
∴△BMB'∽△MCC'，
∴BB'CC'=BMCM，
∴BB'4=105
，∴BB'=42；
故答案为：42；
（ii）如图，BB'即为所求，
（3）如图，连接MB、MB'，
∵△MBB'∽△MCC'，
∴∠MB'B=∠MC'C，
∵∠MB'B+∠PB'M=180°，
∴∠MC'C+∠PBM=180°，
∴∠BMC'+∠CPB=180°，
∵A'M=A'B，∠A'=90°，
∴∠A'MB=45°，
∴∠BMC'=135°，
∴∠CPB'=45°，
∵BC=AC2+AB2=52+252=5=定值，
∴点P的运动轨迹是圆，假设圆心为点O，连接OB、OC、OP，
∴∠BOC=2∠CPB=90°，
∴OB=OC=OP=522，
∵PB≤OB+OP=52，
∴BP的最大值为52.
【分析】（1） （i） 利用两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ABB'∽△ACC'，根据相似三角形对应边成比例即可得出 BB'CC'=ABAC ；
（ii） 由旋转的性质得AB=AB'，∠B=∠B'，从而利用AAS判断出△ABD≌△AB'D'，得AD=AD'，从而根据切线的判定定理得出结论；
（2）（i）连接BM、MB'，过M作MH⊥CC'于H，由解直角三角形求出CC'，证出△BMB'∽△MCC'，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BB'；
（ii）连接BM，以点M为圆心，点M到BC的距离为半径，作圆M，然后过点B作圆M的切线BB'，以点M为圆心，BM长为半径画弧交BB'于点B'，再以点M为圆心，MC半径画弧交BB'靠点B端于点C'，作射线C'M，在C'M上截取C'A'=AC，再连接A'B'即可；
（3）连接MB、MB'，证明∠CPB=45°，由勾股定理算出BC=5，点P的运动轨迹是圆，假设圆心为点O，连接OB、OC、OP，求出OB、OP，可得结论.
27．【答案】（1）1；4 2
（2）解：设BD＝a，则CD＝BC－BD＝5－a，
在 Rt△ABD 中，根据勾股定理得，AB＝ AD2+BD2 ＝ 32+a2 ，
在 Rt△ACD 中，根据勾股定理得，AC＝ AD2+CD2 ＝ 32+(5−a)2 ，
∴△ABC 的周长为：AB+AC+BC＝ 32+a2 + 32+(5−a)2 +5，
要 △ABC 的周长最小，则有 (32+a2+32+(5−a)2) 最小，
同（1）的方法得， (32+a2+32+(5−a)2)最小 ＝ 52+(3+3)2 ＝ 61 ，
∴△ABC 的周长最小为 61+5 .
【解析】【解答】解：（1）∵y＝ 1+x2+9+(4−x)2 ＝ 12+x2+32+(4−x)2 ，
∴如图，取BC＝4，AB＝1，CD＝3，AB⊥BC于B，CD⊥CB于C，
设BP＝x，则CP＝BC－BP＝4－x，
∴AP+DP＝ 12+x2+32+(4−x)2 ＝y，
要y最小，则AP+DP最小，
作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P，根据两点之间线段最短，此时 AP+DP最小等于A'D，
∵∠A'BP＝∠DCP＝90°，∠A'PB＝∠DPC，
∴△A'BP ∽ △DCP ，
∴A'BCD=BPCP ，
∴13=x4−x ，
∴x＝1，
过点A'作A'H∥BC交DC的延长线于H，则四边形BA'HC是矩形，
∴CH＝A'B＝AB＝1，A'H＝BC＝4，∠H＝90°，
∴DH＝CD+CH＝4，
在 Rt△A'HD 中，根据勾股定理得，A'D＝ A'H2+DH2 ＝ 42 ，
∴AP+DP最小值为 42 ，
∴当x＝1时，y最小，最小值为 42 ；
故答案为：1，42 ；
【分析】（1）仿照材料，构造出图形，仿照材料的方法计算即可得出结论；
（2）先利用勾股定理求出AB，AC，进而得出AC+AB最小时， △ABC 的周长最小，同（1）的方法求出AB+AC的最小值，即可得出结论.如何确定拍照打卡板
素材一
设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFG和等腰三角形ABC组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到BC的距离为1.2米，FG=0.8米，DG=1.5米．
素材二
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一
推理最大高度
小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二
探究等腰三角形ABC面积
假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务三
确定拍照打卡板
小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值．
素材一
如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，若保证∠ACB始终为直角，则点A、B、C在以AB为直径的圆上.
素材二
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，取AB的中点O，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知OC=12AB，可得OC≥CD.
素材三
如图，矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF//AB，点E到墙AB的距离为4米，到地面BC的距离为5米.点O为室内光源，OM、ON为光线，∠MON=40°，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小.若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高.
任务一
若素材一中的AB=4，求CD的最大值.

任务二
若素材二中的CD=6，求AB的最小值.

任务三
若任务二中的∠ACB=90°改成∠ACB=60°，其余条件不变，请直接写出AB的最小值.
任务四
若任务二中的∠ACB=90°，CD=6改成∠ACB=α，CD=m，请直接出AB的最小值.

任务五
当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值

初步探索
素材1：
如图①，连接对应点BB'，CC'，则BB'CC'=ABAC.
素材2：
如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B'C'与⊙A相切.
问题解决
（1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论.
（ⅱ）如图2，过点A作AD'⊥B'C'，垂足为D'.证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
深入研究
（2）在Rt△ABC满足∠A=90°，AB=5，AC=25M是AC的中点，△ABC绕点M逆时针旋转得△A'B'C'.
（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为▲ .
（ⅱ）若一时边B'C'所在直线恰好经过点B，于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线.（只保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，求BP的最大值为▲ .
数学活动课上，老师提出如下问题：
如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少.
小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：
小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝ 22+x2+42+(8−x)2 .但没有办法继续求解.
小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长.
由△A′BP∽△DCP，得 BP8−BP ＝ A'BCD ＝ 24
所以BP＝ 83 .
过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝ A'H2+DH2 ＝ 82+62 ＝10.
所以当BP＝ 83 时，AP+DP有最小值，最小值为10.