2024年中考数学热点探究十六 相似图形中的分类讨论练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十六 相似图形中的分类讨论练习附解析，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（ ）
A．0.5或2B．0.5或3.5C．2或2.5D．2或3.5
2．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．1或32D．1或2
3．将一张三角形彩纸ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点F，折痕为DE．已知AB=AC=6，BC=8，若以点C，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则BD的长是（ ）
A．127B．247C．127 或4D．247 或4
4．一个钢筋三脚架三边长分别为30cm，60cm，80cm，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为40cm和90cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种
C．三种D．四种或四种以上
5．如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A．6或2B．3或158C．2或3D．6或158
6．如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．5+2或5B．5+3或6C．5+3或5D．5+2或6
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a>0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为（ ）
A．75或165B．2或165C．85或165D．75或3
8．如图所示，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点分别在CD，AD上滑动.若要△ABE与以点D，点M，点N为顶点的三角形相似，则DM的长为（ ）
A．55B．255C．55或255D．255或355
9．将一张▱ABCD（ADA．22B．5−12
C．22或5−12D．2−1或22或5−12
二、填空题（每空3分，共18分）
10．如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
11．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上，由点B向点D方向移动，当△APB与△CPD相似时，BP的长为 .
12．如图是一张菱形纸片，∠DAB=60°，AB=5，点E在边AD上，且DE=2，点F在AB边上，把△AEF沿直线EF对折，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形对角线上时，则AF= 。
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作△DEF∼△ABC，DE，FE分别与AC边交于点M，N，当△EMN与△BEC相似时，线段CN长度为 ．
14．㉿已知半径为r的⊙O是矩形ABCD的外接圆，点E是弧AB上的一点，分别延长BE，DA交于点F，其中AD=3．如图甲，当点E是弧AB的中点时，AF= （用r的代数式表示）；如图乙，当点E是弧AC的中点时，且S△AEF=10，r的值为 ．
三、解答题（共6题，共75分）
15．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是 2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点都停止运动.设运动时间为t.
（1）当t=3 s时，P，Q两点之间的距离是多少?
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?
16．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm.点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第1秒时，△EFG的面积为S(cm2)
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由.
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q作QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．
（1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式．
（2）t为何值时，QP∥AC？
（3）t为何值时，直线QR经过点P？
（4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P不与点A、B重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A'；连结A'D、A'P、A'A，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 ；
（2）用含t的代数式表示线段CP的长；
（3）当点P在边AC上运动时，求A'D与△ABC的一条直角边平行时t的值；
（4）当△ADA'为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、PE//AC，过点D作DE//AB，DE与PE交于点E.设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 ；(用含t的代数式表示)
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）当直线PE将△ABC的面积分成1：3的两部分时，求t的值；
（4）当点E落在△ABC的角平分线上时，直接写出t的值．
20．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2.点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB−BA运动，到点A停止.在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD−DC运动.当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒(t>0).
（1）用含t的代数式表示线段AP的长.
（2）以PQ为边作矩形PQMN，使点M与点A在PQ所在直线的两侧，且PQ=2MQ.
①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时，求t的值.
②当点M在矩形ABCD内部时，直接写出t的取值范围.
（3）点E在边AB上，且AE=2.在线段PQ上只存在一点F，使∠AFE=90°，直接写出t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=90°-∠C，∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴AC=12BC=2，
∵点D是AC的中点，
∴CD=12AC=1，
∵动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，
∴BE=t，则CE=4-t，
当△CDE∽△CAB时
CDCA=CEBC即12=4−t4，
解之：t=2；
当△CDE∽△CBA，
∴CDCB=CEAC即14=4−t2
解之：t=3.5，
∴t的值为2或3.5.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠B=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC的长，同时求出CD的长；再根据点E的运动方向和速度，可表示出BE，CE的长，再分情况讨论：当△CDE∽△CAB时；当△CDE∽△CBA时，分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=23，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=3.
∵ADAB=DEBC，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，ADAB=DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADBC=12，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=12BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=23，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=12BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ABC沿DE折叠，B和F重叠，
∴BD=DF，
设BD=DF=m，
∵BC=8，
∴CD=8-m，
当△FDC∽△ABC时，
FDAB=DCBC，
∵AB=AC=6，
8−m8=m6
解得：m=247，
即BD=247；
当△DCF∽△ABC，
DCAB=DFAC，
∴8−m6=m6
解得：m=4，
即BD=4；
当△CFD∽△ABC时，同理可得BD=4.
故BD=247或4.
故答案为：D.
【分析】先根据折叠性质得到BD=DF，设BD=m，则CD=8-m，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到关于m的方程，解方程即可得BD的长.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将40cm长的作为一边，将90cm长的截成两段，设从90cm的钢筋上载下的两段分别长xcm，ycm，
当40cm长的边对应30cm长的边时，
3040=60x=80y，解得：x=80，y=10623，
此时x+y>90，
所以此截法不可行；
当40cm长的边对应60cm长的边时，
30x=6040=80y，解得：x=20，y=5313，
此时x+y<90，
所以此截法可行；
当40cm长的边对应80cm长的边时，
30x=60y=8040，解得：x=15，y=30，
此时x+y<90，
所以此截法可行，
综上所述，截法有两种，
故答案为：B．
【分析】由相似三角形对应边成比例得，只能将40cm长的作为一边，将90cm长的截成两段，设从90cm的钢筋上载下的两段分别长xcm，ycm（x＞y），分三种情况讨论：①当40cm长的边对应30cm长的边时，②当40cm长的边对应60cm长的边时，③当40cm长的边对应80cm长的边时，利用相似三角形的性质分别求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：①MN为等腰ΔPMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图所示：
则∠PFM=∠PFN=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，BC=AD=3AB=310，∠A=∠C=90°，
∴AB=CD=10，BD=AB2+AD2=10，
∵点P是AD的中点，
∴PD=12AD=3102，
∵∠PDF=∠BDA，
∴ΔPDF∽ΔBDA，
∴PFAB=PDBD，即PF10=310210，
解得：PF=32，
∵CE=2BE，
∴BC=AD=3BE，
∴BE=CD，
∴CE=2CD，
∵ΔPMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，
∵∠PFN=∠C=90°，
∴ΔPNF∽ΔDEC，
∴NFPF=CECD=2，
∴MF=NF=2PF=3，
∴MN=2NF=6；
②MN为等腰ΔPMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示：
由①得：PF=32，MF=3，
设MN=PN=x，则FN=3−x，
在RtΔPNF中，(32)2+(3−x)2=x2，
解得：x=158，即MN=158；
综上所述，MN的长为6或158．
故答案为：D.
【分析】根据题意可知有两种情况：①MN为等腰ΔPMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得：PF=32，MF=3，设MN=PN=x，则FN=3−x，在RtΔPNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②MN为等腰ΔPMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM=∠PFN=90°，由矩形的性质得出AB=CD，BC=AD=3AB=310，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=10，BD=10，证明ΔPDF∽ΔBDA，得出利用相似三角形的性质求出PF=32，证出CE=2CD，由等腰三角形的性质得出MF=NF，∠PNF=∠DEC，证出ΔPNF∽ΔDEC，利用相似三角形的性质求出NF=2PF=3，即可得出答案；
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，BP，BP'是∠ABC的三等分线，
由题意得，AB=BC=2，
∵∠ABC=108°，AB=BC，
∴∠A=∠C=180°−108°2=36°，
BP，BP'是∠ABC的三等分线，
∴∠ABP'=∠P'BP=∠CBP=36°
由三角形外角的性质得 ∠APB=∠ABP=72°，
∴AB=AP=2，
同理CP'=BC=2，
①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线
AB+BC+CP'=6，
时间t=6
②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线
∵∠PBC=∠A，∠C=∠C，
∴△PBC∽△BAC，
∴BCAC=PCBC，
∴22+PC=PC2，
∴PC=5−1，
∴AB+BC+PC=5+3，
时间t=5+3，
∴当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为5+3或6．
故答案为：5+3或6.
【分析】根据图可知AB=BC=2，再根据BP，BP'是∠ABC的三等分线，可以写出各个角的度数，分①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线，②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线，分别求出对应的时间，即可得出答案．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得分两种情况：
①如图1，∠D'AB'=90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，
∴∠H=∠AGB'=∠BGB'=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，AD=BC=3，
∵tan∠ABD=ADAB=B'GBG，即B'GBG=34，
设B'G=3x，BG=4x，
∴BB'=a=5x，
由平移得：DD'=BB'=5x，
∴D'H=3+3x，AH=BG=4x，
∴AG=AB−BG=4−4x，
∵∠D'AB'=∠HAD'+∠BAB'=90°，
∠AD'H+∠HAD'=90°，
∴∠AD'H=∠GAB'，
∵∠H=∠AGB'=90°，
∴△D'HA∽△AGB'，
∴D'HAG=AHB'G，即3+3x4−4x=4x3x，
∴x=725，
∴a=5×725=75；
②如图2，∠AB'D'=90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，
∴∠AMB'=90°，
由平移得：B'C'=BC=3，
同理设B'M=3m，BM=4m，则BB'=a=5m，
∴AM=4−4m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'=90°，∠MAB'+∠AB'M=90°，
∴∠D'B'C'=∠MAB'，
∵∠C'=∠AMB'=90°，
∴△D'C'B'∽△B'MA，
∴C'D'MB'=B'C'AM，即43m=34−4m，
∴m=1625，
∴a=5m=5×1625=165；
综上，a的值是75或165．
故答案为：A
【分析】根据题意分类讨论：①∠D'AB'=90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，进而根据矩形的性质得到∠BAD=∠C=90°，AD=BC=3，再运用锐角三角函数的定义即可设B'G=3x，BG=4x，进而根据平移的性质得到DD'=BB'=5x，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解；②∠AB'D'=90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，根据平移的性质得到B'C'=BC=3，同理设B'M=3m，BM=4m，则BB'=a=5m，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BE=CE，
∴AB=BC=2BE，∠B=∠D=90°，
若要△ABE与以点D，点M，点N为顶点的三角形相似，
∴①当DM=2DN时，
在直角三角形MDN中，DM2+DN2=MN2，
即（2DN）2+DN2=12，
解得：DN=55，
∴DM=255，
故当DM=255时，△ABE与△DMN相似；
②当DN=2DM时，
在直角三角形MDN中，DM2+DN2=MN2，
即DM2+(2DM)2=12，
解得：DM=55，
综上所述，当DM=255或DM=55时，△ABE与以点D，点M，点N为顶点的三角形相似.
故答案为：C.
【分析】先四边形ABCD是正方形，BE=CE，得到AB=2BE，再分两种情况讨论，①当DM=2DN时，②当DN=2DM时，利用勾股定理建立方程求解即可得到DM的长.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴ADAB=FGBG，
∴ab=b−a2a−b，
设m=abt＞0，
∴m=1−m2m−1，
解得：m=22；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴ADAB=BGFG，
∴ab=2a−bb−a，
设n=abn＞0，
∴n=2n−11−n，
解得：n=5−12
综上所述： ▱ABCD的相邻两边AD与AB的比值是22或5−12.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
10．【答案】3或32
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴当△ACB与△ADC相似时，ABAC＝ACAD或ABCA＝ACCD
∴AB6＝62或AB6＝62
∴AB＝3或AB＝32
故答案为：3或32
【分析】∠ACB＝∠ADC＝90°，那么当△ACB与△ADC相似时，可能存在可种情形，即△ABC中的AC边可能与△ACD中的AD对应或与CD对应，需要分别列方程求出AB.
11．【答案】425cm或2cm或12cm
【解析】【解答】解：①当△APB∽△CPD时，则ABCD=PBPD，即AB⋅PD=CD⋅PB，
∴6(14−BP)=4BP，
解得：BP=425；
②当△APB∽△PCD时，则ABPD=PBCD，即AB⋅CD=PD⋅PB，
∴6×4=(14−BP)BP，
即BP2−14BP+24=0，
解得：BP=2或BP=12；
综上所述，BP的长为425cm或2cm或12cm．
故答案为：425或2或12
【分析】根据题意分类讨论：①当△APB∽△CPD时，②当△APB∽△PCD时，进而根据相似三角形的性质即可列出一元一次方程和一元二次方程，从而即可求解。
12．【答案】12−362或3
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况讨论：
①当点A´落在菱形的对角线BD上时，如图：
在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=AB=5，
∴∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=5，
由折叠的性质可得：∠FA´E=60°，FA´=FA，A´E=AE，
∴∠DA´E+∠BA´F=120°，
∵∠DEA´+∠DA´E=120°，
∴∠DEA=∠BA´F，
∴△DEA∽△BA´F，
∴DEA'B=A'EA'F=A'DBF，
设A´F=AF=x，
∵DE=2，
∴AE=A´E=5-2=3，
∴2A'B=3x，3x=A'D5−x，
∴A´B=23x，
∴3x=5−23x5−x，解得：x=6＋6(舍去）或x=6-6，
∴AF=6-6；
②当点A´落在菱形的对角线BD上时，如图：
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
由折叠的性质可得：∠A´EF=∠AEF，A´E=AE，
∴∠A´AE=∠EA´A=30°，
∴∠AEA´=120°，
∴∠AEF=60°，
∴∠AFE=180°-60°-60°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE=5-2=3，
综上可得，AF的长为6-6或3.
故答案为：6-6或3.
【分析】由题意可分两种情况讨论：①当点A´落在菱形的对角线BD上时，根据菱形的性质可证△DEA∽△BA´F，于是可得比例式DEA'B=A'EA'F=A'DBF可求解；②当点A´落在菱形的对角线BD上时，根据菱形的性质和折叠的性质可求解.
13．【答案】258或74
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10.
∵CE是斜边AB上的中线，
∴AE=CE=BE=5.
∵△DEF∼△ABC，
∴∠DEF=∠B.
当△EMN与△BEC相似时，
①△EMN∽△BEC，如图：
∴EMBE=ENBC=MNEC，∠BEC=∠EMN，
即EM5=EN6=MN5，
∴EM=MN.
∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠EMN=∠A+∠AEM，
∴∠ACE=∠AEM，
∴△ACE∽△AEM.
∴AEAM=ACAE=CEEM
∴EM=AM=AE2AC=528=258
∴AN=2AM=254，
∴NC=AC−AN=8−254=74.
②△EMN∽△BCE，如图：
∴EMBC=ENBE=MNEC，∠BEC=∠ENM，
∴EM6=EN5=MN5，
∴EN=MN.
∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠ENM=∠CEN+∠ACE，
∴∠A=∠CEN，
∴△ACE∽△ECN.
∴AEEN=ACEC=CECN
∴CN=CE2AC=528=258.
故答案为：74或258.
【分析】根据题意可得AE=BE=CE=5，∠DEF=∠B.根据△EMN与△BEC相似，分△EMN∽△BEC和△EMN∽△BCE两种情况进行讨论：在△EMN∽△BEC下可证得△ACE∽△AEM，从而求得AM长，且AM=ME=MN，从而可求得CN长；在△EMN∽△BCE下可证得△ACE∽△ECN，从而直接求得CN长.
14．【答案】2r−3；342
【解析】【解答】解：（1）连接OE交AB于G，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=3，FA⊥AB，∠ABC=90°，
∵点E是弧AB的中点，
∴OB⊥AB，AG=BG，
∴OG∥DF，
∴EG=12AF，
∵AO=CO，
∴OG=12BC=32，
∴EG=OE−OG=r−32，
∴AF=2EG=2r−3，
故答案为：2r−3.
（2）连接CE，BD，过点A作AM⊥BF于点M，如图：
∵点E是弧AC的中点，AC为直径，
∴∠FBA=∠ACE=45°，
∵∠FAB=90°，
∴∠F=∠ABF=45°，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∴AM=12BF，BA=AF，
∵S△AEF=10 ，
∴EF·BF=40，
易知：△FAE~△FBD
∴FAFE=FBFD
∴AFAF+3=40，
∴AF=5，
∴CD=BA=AF=5，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=34，
∴r=342，
故答案为：342.
【分析】（1）连接OE交AB于G，根据垂径定理可得OE⊥AB，AG=BG，进而得到EG和OG分别是△ABF和△ABC的中位线，最后根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可求出AF；
（2）连接CE，过点A作AM⊥BF于点M，根据已知条件和圆周角定理的推论可得△AFB是等腰直角三角形，可得AM=12BF，BA=AF，连接BD，易证△FAE~△FBD，然后根据相似三角形的性质可得关于AD的一元二次方程，解方程即可求出AF，即为CD，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】（1）解：由题意，得AP=4t cm，CQ=2t cm，
则CP=(20-4t) cm.
当t=3 s时，
CP=20-4t=8(cm)，CQ=2t=6(cm)，
由勾股定理，得PQ=CP2+CQ2=10(cm).
即当t=3 s时，P，Q两点之间的距离为10 cm.
（2）解：Rt△CPQ的面积S=12CP·CQ=12×(20-4t)×2t=20t-4t2(0即S关于t的函数解析式为S=20t-4t2(0（3）解：分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，
CP∶CA=CQ∶CB，
即(20-4t)∶20=2t∶15，解得t=3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，
CP∶CB=CQ∶CA，
即(20-4t)∶15=2t∶20，解得t=4011.
∵0<3<4011<5，故都符合题意.
综上，当t为3 s或4011 s时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.
【解析】【分析 】（1）先用含t的代数式分别表示出CP，CQ的长，把t=3代入可得CP=20-4t=8(cm)，CQ=2t=6(cm)，再利用勾股定理即可解答；
（2） 根据三角形的面积计算公式即可表示出S关于t的函数解析式；
（3）分两种情空讨论：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，利用相似三角形的性质即可求解；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，利用相似三角形的性质即可求解.
16．【答案】（1）解：当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，
∴S=S梯形GCBE−S△EBF−S△FCG
=12×(EB+CG)⋅BC−12EB⋅BF−12FC⋅CG
=12×(10+2)×8−12×10×4−12×4×2
=24(cm2).
（2）解：①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
图1
此时AE=2t，EB=12−2t，BF=4t，FC=8−4t，CG=2t，
S=S梯形GCBE−S△EBF−S△FCG
=12×(EB+CG)⋅BC−12EB⋅BF−12FC⋅CG
=12×8×(12−2t+2t)−12×4t(12−2t)−12×2t(8−4t)
=8t2−32t+48(0≤t≤2)；
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，
图2
当2此时CF=4t−8，CG=2t，FG=CG−CF=2t−(4t−8)=8−2t，
S=12FG⋅BC=12(8−2t)⋅8=−8t+32.
即S=−8t+32(2（3）解：当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，
①若EBFC=BFCG，即12−2t8−4t=4t2t，解得t=23.
所以当t=23时，△EBF∼△FCG；
②若EBGC=BFCF即12−2t2t=4t8−4t，解得t=32.
所以当t=32时，△EBF∼△GCF.
综上所述，当t=23或t=32时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似.
【解析】【分析】(1)当t=1时，根据E、G的速度，以及点F的速度，即可求出各线段的长度，最后再用割补法求出△EFG的面积.
（2）由于点F的速度，比点G的速度快，所以会产生多情情况，第一种是点F再BC上时，方法与题(1)类似；第二种是点F在CD上时，直接用三角形的面积公式求解即可.
(3)通过观察△BEF和△CFG都有一个内角时90°，只需保证两组对边成比例，所以本题可分为两种情况，第一种是EBFC=BFCG，第二种是EBGC=BFCF，分别建立等量关系求出结论即可.
17．【答案】（1）解：过C作CD⊥AB于D点，如图所示：
∵AB=10，AQ=2+2t，
∴QB=AB﹣AQ=10﹣（2+2t）=8﹣2t，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
根据勾股定理得：BC=6，
∵12AC×BC12AB×CD，即12×6×8=12×10×CD，
∴CD=245，
则S△BCQ=12QBCD=125（8﹣2t）=﹣245t+965（0≤t≤4）；
（2）解：当PQ∥AC时，可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A，
∴△BPQ∽△BCA，又BQ=8﹣2t，BP=6t﹣10，
∴BQBA=BPBC，即8−2t10=6t−106，
整理得：6（8﹣2t）=10（6t﹣10），
解得：t=3718，
则t=3718时，QP∥AC；
（3）解：①当Q、P均在AB上时，AP=6t，AQ=2+2t，
可得：AP=AQ，即6t=2+2t，
解得：t=0.5s；
②当P在BC上时，P与R重合，如图所示：
∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BAC，
∴BPAB=BQBC，又BP=6t﹣10，AB=10，BQ=8﹣2t，BC=6，
∴6t−1010=8−2t6，即6（6t﹣10）=10（8﹣2t），
解得：t=2.5s；
③当P在AC上不存在QR经过点P，
综上，当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P；
（4）解：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，如图所示：
∵AP=6t，AQ=2+2t，
∴PQ=AQ﹣AP=2+2t﹣6t=2﹣4t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=PQ=2﹣4t，
∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APN∽△ACB，
∴PNBC=APAC，即2−4t6=6t8，
解得：t=417，
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，如图所示：
由题意得：BP=10﹣6t，PN=PQ=4t﹣2，
∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BPN∽△BCA，
∴BPBC=PNAC，即10−6t6=4t−28，
整理得：8（10﹣6t）=6（4t﹣2），
解得：t=2318，
∵t=0.5时点P与点Q重合，
∴417【解析】【分析】（1） 过C作CD⊥AB于D点， 由AB及AQ的长，利用AB-AQ表示出QB的长，直角三角形ABC的面积有两种求法，两直角边乘积的一半，或斜边乘以斜边上的高的一半，两种求法表示的面积相等可得出CD的长，三角形BQC以QB为底边，CD为高利用三角形的面积公式即可求出：
（2）当PQ∥AC时， 可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A，进而得到△BPQ∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值；
（3）①当Q、P均在AB上时可得AP=6t，AQ=2+2t，根据AP=AQ列出关于t的方程，解方程得到t的值；②当P在BC上时， P与R重合， 如图所示，通过推导得出△BPO∽△ABC，由相似得比例，列出关于t的方程，解方程得到t的值；③当P在AC上不存在QR经过点P，综上，得到所有满足题意的t的值；
（4）①当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，由 AP=6t，AQ=2+2t， 可得PQ=AQ﹣AP=2+2t﹣6t=2﹣4t，解方程得到t的值；②当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，由 ∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B， 可得△BPN∽△BCA，进而可得BPBC=PNAC，即10−6t6=4t−28，解方程得到t的值.
18．【答案】（1）5
（2）分两种情况：
①当0＜t≤4时，点P在线段AC上运动，CP=AC-AP=8-2t；
②当4＜t＜7时，点P在BC上运动，CP=2t-8；
综上所述，CP=8−2t(0＜t≤4)2t−8(2t−8).
（3）解：∵点A'是点A关于直线PD的对称点，
∴AD=A'D，
∴点A'的运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，
分两种情况：
①当A'D∥BC时，如图1，延长DP交AA'于点E，AC交A'D于点F，
则∠DFE=∠ACB=90°，
∴∠AFA'=∠DFP=90°，
∵A'D∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴AFAC=DFBC=ADAB，
即AF8=DF6=510，
解得：AF=4，DF=3，
∴A'F=A'D−DF=AD−DF=5−3=2，
∵点A'是点A关于直线PD的对称点，
∴DE⊥AA'，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEP=∠DFE，
∵∠APE=∠DPF，
∴∠A'AF=∠EDF，
∵∠AFA'=∠DFP，
∴△AFA'∽△DFP，
∴AFDF=A'FPF，
即43=2PF，
解得：PF=32，
∴AP=AF−PF=4−32=52，
∴t=522=54(s)；
②当A'D∥AC时，如图2，设AA'交DP于点E，
则∠PAE=∠DA'E，
∵点A'是点A关于直线PD的对称点，
∴AE=A'E，
在△APE和△A'DE中，
∠PAE=∠DA'EAE=A'E∠AEP=∠A'ED，
∴△APE≌△A'DE(ASA)，
∴AP=A'D，
∴AP=AD=5，
∴此时，t=52(s)，
综上所述，A'D与△ABC的一条直角边平行时t的值为54或52；
（4）0【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵点D为边AB的中点，
∴AD=12AB=12×10=5，
故答案为：5；
（3）解：∵点A'是点A关于直线PD的对称点，
∴AD=A'D，
∴点A'的运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，
分两种情况：
①当A'D∥BC时，如图1，延长DP交AA'于点E，AC交A'D于点F，
则∠DFE=∠ACB=90°，
∴∠AFA'=∠DFP=90°，
∵A'D∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴AFAC=DFBC=ADAB，
即AF8=DF6=510，
解得：AF=4，DF=3，
∴A'F=A'D−DF=AD−DF=5−3=2，
∵点A'是点A关于直线PD的对称点，
∴DE⊥AA'，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEP=∠DFE，
∵∠APE=∠DPF，
∴∠A'AF=∠EDF，
∵∠AFA'=∠DFP，
∴△AFA'∽△DFP，
∴AFDF=A'FPF，
即43=2PF，
解得：PF=32，
∴AP=AF−PF=4−32=52，
∴t=522=54(s)；
②当A'D∥AC时，如图2，设AA'交DP于点E，
则∠PAE=∠DA'E，
∵点A'是点A关于直线PD的对称点，
∴AE=A'E，
在△APE和△A'DE中，
∠PAE=∠DA'EAE=A'E∠AEP=∠A'ED，
∴△APE≌△A'DE(ASA)，
∴AP=A'D，
∴AP=AD=5，
∴此时，t=52(s)，
（4）当∠ADA'=90°时，如图3，延长DP交AA'于点E，连接A'B交AC于点F，
∵AD=A'D，
∴△ADA'是等腰直角三角形，
∴AA'=2AD=52，
∵点A'是点A关于直线PD的对称点，
∴DE⊥AA'，AE=12AA'=522，
设CF=x，则AF=8−x，
∵以D为圆心，AD长为半径的圆，点D为边AB的中点，
∴AB为圆的直径，
∴∠AA'F=∠BCF=90°，
∵∠A'AC=∠A'BC，
∴△AA'F∽△BCF，
∴AA'BC=AFBF，
即526=8−xBF，
∴BF=48−6x52，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC2+CF2=BF2，
即62+x2=(48−6x52)2，
整理得：7x2+288x−252=0，
解得：x1=67，x2=−42（不合题意，舍去），
∴BF=48−6×6752=3027，
∵∠AEP=∠BCF=90°，∠EAP=∠CBF，
∴△EAP∽△CBF，
∴AEBC=APBF，
即5226=AP3027，
解得：AP=257，
∴此时，t=2572=2514(s)，
∴当△ADA'为锐角三角形时，t的取值范围为0【分析】（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用中点的性质求出AD的长即可；
（2）分类讨论：①当0＜t≤4时，②当4＜t＜7时， 再利用线段的和差分别求出CP的长即可；
（3）分类讨论：①当A'D∥BC时，②当A'D∥AC时， 再利用相似三角形的判定方法和性质分别列出比例式求出线段的长，最后利用“时间=路程÷速度”列出算式求解即可；
（4）设CF=x，则AF=8−x，再证出△AA'F∽△BCF可得AA'BC=AFBF，再将数据代入求出BF=48−6x52，再利用勾股定理求出x的值，再求出BF=48−6×6752=3027，再证出△EAP∽△CBF可得AEBC=APBF，再将数据代入求出AP=257，最后求出t=2572=2514(s)，从而可得t的取值范围为019．【答案】（1）4t
（2）解：如图，当点E落在BC上时，
∵DE//AB，PE//AD，
∴四边形APED是平行四边形，
∴DE=AP=5t，AD=PE=4t，
∴DEAB=CDAC，
∴5t10=8−4t8，
解得t=1，
∴当点E落在BC边上时，t的值为1．
（3）解：如图，设直线PE与边BC. 交于点N，
则PN//AC，
∴△BPN∽△BAC，
∴S△BPNS△BAC=(BPAB)2，
当直线PE将△ABC的面积分成1：3的两部分时，有以下两种情况：
①△PNB的面积：四边形APNC的面积=1：3，
则S△BPNS△BAC=14=(BPAB)2，
∴BP：AB=1：2，即(10−5t)：10=1：2，
解得t=1；
②△PNB的面积：四边形APNC的面积=3：1，
则S△BPNS△BAC=34=(BPAB)2，
∴BP：AB=3：2，即(10−5t)：10=3：2，
解得t=2−3，
综上，t的值为1或2−3．
（4）811或1013
【解析】【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵PD⊥AC，
∴csA=ADAP=ACAB，
∴AD5t=810，
解得：AD=4t，
故答案为：4t；
（4）分类讨论如下：
①如图所示：当点E在∠CAB的平分线上时，
则∠DAE=∠PAE=∠AED，
∴AD=DE，不符合题意；
②如图所示：当点E在∠ACB的平分线上，过点E作EF⊥AC于点F，
则∠ACE=∠BCE=45°，∠DEF=∠ADP=90°，
∵AP//DE，
∴∠A=∠EDF，
由（1）知，AP=DE，
∴△ADP≌△DEF(AAS)，
∴AP=DE=5t，AD=DF=4t，DP=EF=3t，
∵∠ECF=45°，∠EFC=90°，
∴∠FEC=∠ECF=45°，
∴EF=FC=3t，
∴4t+4t+3t=8，
解得t=811，符合题意；
③如图所示：当点E在∠ABC的平分线上，过点作MK⊥AB于点K，过点E作EH⊥AB于点H，
则∠ABM=∠CBM，∠MKB=∠MKA=∠C=90°，
∵BM=BM，
∴△BMK≌△BMC(AAS)，
∴BK=BC=6，MK=MC，
∴AK=4，
∵∠A=∠A，
∴△AMK∽△ABC，
∴MK：BC=AM：AB=AK：AC，
设MK=m，则MC=m，AM=8−m，
∴m：6=(8−m)：10=4：8，
解得m=3，
∴MK=3，
由题意可得：△EHB∽△MKB，△EPH∽△PAD，
∴DHBD=MKBK=12，EH：PH：PE=DP：AD：AP=3：4：5，
∴EH=125t，PH=165t，BH=245t，
∴5t+165t+245t=10，
解得t=1013．
综上所述：当点E落在△ABC的角平分线上时，t的值为811或1013．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB=10，再根据锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据平行四边形的判定方法求出四边形APED是平行四边形，再列方程计算求解即可；
（3）根据题意先求出△BPN∽△BAC， 再分类讨论，根据相似三角形的性质计算求解即可；
（4）分类讨论，利用相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，列方程等计算求解即可。
20．【答案】（1）解：当0当3（2）解：①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时，如图①，
∵四边形ABCD、PQMN都是是矩形，
∴∠D=∠A=90°，∠MQP=90°，
∴∠DQM+∠DMQ=90°，∠DQM+∠AQP=90°，
∴∠DMQ=∠AQP，
∴△DMQ∽△AQP，
∴DQAP=MQQP=12，
即2−t2t=12，解得t=1；
②0（3）解：0【解析】【解答】解：（2）解：②如图②，此时0当点Q、M都在DC边上，点P、N都在AB边上时，DQ=t−2，AP=12−2t，
此时四边形ADQP是矩形，DQ=AP，
即t−2=12−2t，
解得t=143，
如图③，此时143综上，当点M在矩形ABCD内部时，t的取值范围为0（3）解：如图④，当点P在点E的左侧时，以AE为直径的圆与PQ只有一个交点，此交点即为点F，此时∠AFE=90°，
当AP=AE时，2t=2，解得t=1，
此时t的取值范围为：0如图⑤，当以AE为直径的圆与PQ相切时，
AQ=t，AP=2t，PQ=AQ2+AP2=t2+(2t)2=5t，
PE=AP−AE=2t−2，
∵以AE为直径的圆与AD相切，
∴FQ=AQ=t，
∴PF=PQ−FQ=(5−1)t，
∵∠FAP=∠EFP，∠APF=∠FPE，
∴△APF∽△FPE，
∴APFP=FPEP，
∴FP2=AP⋅EP，
[(5−1)t]2=2t×(2t−2)，
解得t=1+52或t=0(舍去)，
此时t=1+52；
如图⑥，当点P第二次在点E的左侧时，
12−2t=2，解得t=5，
此时5综上，t的取值范围为0【分析】（1）根据路程=速度×时间，分当0＜t≤3与3＜t≤6两种情况考虑即可；
（2） ①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时， 由同角的余角相等得∠DMQ=∠AQP，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△DMQ∽△AQP，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t的值；
②如图②，此时0＜t＜1，当点Q、M都在DC边上，点P、N都在AB边上时，QD=t-2，AP=12-2t，此时四边形ADQP是矩形，DQ=AP，据此建立方程，求解可得t的值，如图③，此时143＜t＜6，综上即可得出答案；
（3）如图④，当点P在点E的左侧时，以AE为直径的圆与PQ只有一个交点，此交点即为点F，此时∠AFE=90°，当AP=AE时，2t=2，解得t=1，从而得出t的取值范围；如图⑤，当以AE为直径的圆与PQ相切时，AQ=t，AP=2t，用勾股定理表示出PQ，进而表示出PE，以AE为直径的圆与AD相切，FQ=AQ=t，判断出△APF∽△FPE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t的值；如图⑥，当点P第二次在点E的左侧时，可得12-2t=2，求解得出t的值，综上即可得出答案.