备考2024年中考数学核心素养专题一0三 定值问题练习附解析

这是一份备考2024年中考数学核心素养专题一0三 定值问题练习附解析，共51页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．如果a，b为定值时，关于x的方程3kx+a2−x+bk4=1，无论k为何值时，它的根总是2，则a+b的值为（ ）
A．18B．15C．12D．10
2．如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中A是正方形，B，C，D，E都是长方形，这五个四边形的周长分别用lA，lB，lC，lD，lE表示，则下列各式的值为定值的是（ ）
A．lAB．lB+lDC．lA+lB+lDD．lA+lC+lE
3．如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为(y−12)cm；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为(x−y+4)cm；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE=BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（ ）
A．是定值42B．是定值8C．有最小值42D．有最大值8
5．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF//HC，连接FH交AD于点G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连接CG，GK，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD//BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图，▱ABCD在第一象限内，点A是一次函数y=x图象上一动点，点B，C的坐标分别是(b，1)，(b+1，2)，若反比例函数y=k1x和y=k2x的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（ ）
A．k2k1B．k2−k1C．k2+k1D．k2−k1
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是定值9；③△DFE的面积最小值为4.5；④DE长度的最小值为3.其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
8．如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：
①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为22．
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
9．如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE=BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（ ）
A．有最大值aB．有最小值22aC．是定值aD．是定值22a
10．已知无论x，y取什么值，多项式(3x2−my+9)−(nx2+5y−3)的值都等于定值12，则m+n等于（ ）．
A．8B．−2C．2D．−8
11．如图，直线y=kx(k>0)与双曲线y=1x交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，连接AC交y轴于点D。下列结论：①OA=OB；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD=12．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别是边AB，AD上任意点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF，DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，下列结论：①△AED≌△DFB；②∠BGE的大小为定值；③CG与BD一定不垂直；④若AF=2DF，则BG=6GF，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②④C．③④D．①③④
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy中，P，Q是函数图象上异于A（1，1）的点，直线PQ与直线y＝x垂直，分别交x轴，y轴于点M，N．现给出以下结论：
①MP＝NQ；
②∠PAQ可能是直角；
③MN2﹣PQ2为定值；
④△MON的面积可能为2．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
14．已知关于x，y的方程组x+2y=k+22x−3y=3k−1，无论k取何值，x+9y的值都是一个定值，则这个定值为 ．
15．若a、b为定值，关于x的一次方程2kx+a3−x−bk6=2无论k为何值时，它的解总是x=1，则(2a+3b)2022的值为 ．
16．已知关于x，y的二元一次方程组3x+y=2kx−2y=k+6有下列说法：①当x与y相等时，解得k=−4；②当x与y互为相反数时，解得k=3；③若4x⋅8y=32，则k=11；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式x+5y+12=0，其中正确的序号是 ．
17．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变，其中正确的序号为 ．
18．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎祥变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 ．
19．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD边上动点（不与A、D重合），连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△EBH，延长EH交CD于点F，连接BF，交AC于点N，连接CH．则下列结论：①∠EBF=45°；②△DEF的周长是定值2；③当点E是AD中点时，CN=23；④点D到EF距离的最大值为2−1，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
三、综合题
20．项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托盘（质量忽略不计），测得物品质量x（kg）与可变电阻y（Ω）的多组对应值，画出函数图象（如图1）.图2是三种测量方案，电源电压恒为8V，定值电阻为30Ω，与可变电阻串联.
【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流I相等，I=UR.可变电阻、定值电阻两端的电压之和为8V，则有I(y+30)=8.
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
（2）三个托盘放置不同物品后，电表A，V0，V1的读数分别为0.1A，6V，4V.请从以下方案中选择一个，求出对应物品的质量是多少kg？
（3）小明家买了某散装大米65kg，为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大米分批称重，用方案一、二、三来进行检验，设大米为a(600），点C是平面内一动点且满足立信角∠ACB=120°，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由.
27．在正方形 ABCD 中，等腰直角 △AEF ， ∠AFE=90° ，连接 CE ，H为 CE 中点，连接 BH 、 BF 、 HF ，发现 BFBH 和 ∠HBF 为定值.
（1）①BFBH= ▲ ；
②∠HBF= ▲ .
③小明为了证明①②，连接 AC 交 BD 于O，连接 OH ，证明了 OHAF 和 BABO 的关系，请你按他的思路证明①②.
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， BDAD=EAFA=k ， ∠BDA=∠EAF=θ （ 0°0 ，若 y=4x+9x ，则当 x= 时， y 有最小值，最小值为 ；
（2）已知 x>3 ，若 y=x+9x−3 ，则 x 取何值时， y 有最小值，最小值是多少？
（3）用长为 100m 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
32．（发现问题）
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
（解决问题）
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则x ⋅ y＝4，2（x＋y）＝m，
即 y=4x ， y=−x+m2 ，那么满足要求的（x，y）应该是函数 y=4x 与 y=−x+m2 的图象在第 象限内的公共点坐标.
（2）画出函数图象
①画函数 y=4x （x＞0）的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出 y=−x 的图象，则 y=−x+m2 的图象可以看成是由 y=−x 的图象向右平移 ▲ 个单位长度得到.
（3）研究函数图象：平移直线 y=−x ，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 y=4x （x＞0）的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ▲ ，周长m的值为 ▲ ；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围.
（4）（结论运用）面积为10的矩形的周长m的取值范围为 .
33．对于任意正实数， (a−b)2≥0 ， ∴a−2ab+b≥0 ， ∴a+b≥2ab ，只有 a=b 时，等号成立.结论：在 a+b≥2ab (，均为正实数）中，若为定值，则 a+b≥2ab ，只有当 a=b 时，a+b有最小值 2p .根据上述内容，回答下列问题：
（1）初步探究：若 n>0 ，只有当 n= 时，有 n+1n 最小值 ；
（2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证 a+b≥2ab ，并指出等号成立时的条件；
（3）拓展延伸：如图，已知 A(−6，0) ， B(0，−8) ，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：把x=2代入方程可得6k+a2−2+bk4=1，
12k+2a−2−bk=4，
12−bk=6−2a，
∵无论k为何值时，它的根总是2，
∴b=12，a=3，
∴a+b=15.
故答案为：B.
【分析】由题意可得方程的解为x=2，将x=2代入原方程进行化解，由无论k为何值时，它的根总是2可知，化解后k的系数为0，进而求得a，b的值.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设正方形A的边长为a，长方形B的宽为b，长方形C的长为c，宽为d，长方形D的长为e.大长方形的周长为定值，等于2（b+c+d+e）.
故长方形B的长为a+d，宽为b；长方形D的长为e，宽为c-a；长方形E的长为b+a，宽为e-a；
∴IA=4a，IB=2（a+d+b），IC=2（c+d），ID=2（e+c-a），IE=2（b+a+e-a）=2（b+e）.
A、IA=4a，a不是定值，∴IA不是定值，A选项不符合题意；
B、IB+ID=2（a+d+b）+2（e+c-a）=2（b+c+d+e），正好是大长方形周长，是定值，B选项符合题意；
C、由选项A和B可知，IA+IB+ID不是定值，C选项不符合题意；
D、IA+IC+IE=4a+2（c+d）+2（b+e）=4a+2（b+c+d+e），所以也不是定值，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设出部分长方形的长和宽，正方形的边长，然后分别表示出正方形和5个长方形的周长，分别判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵大长方形长为y，小长方形宽为4，
∴小长方形的较长边为：y−3×y=y−12，则①正确，
②∵大长方形宽为x，小长方形的较长边为y−12，小长方形宽为4，
∴阴影A部分较短边为：x−2×4=x−8，
阴影B部分较短边为：x−y−12=x−y+12，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为：x−8+x−y+12=2x+4−y，则②错误，
③∵阴影A的较短边为：x−8，阴影A的较长边为：y−12，
阴影B的较短边为：x−y+12，阴影B的较长边为：12，
∴阴影A周长为：2x+y−20，阴影B周长为：2x−y+24，
∴阴影A和阴影B的周长和为：2x+y−20+2x−y+24=22x+4，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，则③正确，
④阴影A面积为：y−12x−8=xy−12x−8y+96，
阴影B面积为：12x−y+12=12x−12y+144，
∴阴影A和阴影B的面积和为：xy−12x−8y+96+12x−12y+144=xy−20y+240，
∴当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为：xy−20y+240=240，则④正确，
综上所述，正确的有：①③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据一直信息求出阴影A，阴影B的长与宽，利用已知条件逐项判断即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示：连接BP，过点E作EF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠EBF=45°，
∵EF⊥BC，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为8，
∴BE=BC=8，
∴BF=EF=22BE=42，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，S△BPE+S△BPC=S△BEC，
∴12BE·PM+12BC·PN=12BC·EF，
∴PM+PN=EF=42，
即点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值42，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质求出∠EBF=45°，再求出△BEF是等腰直角三角形，最后利用三角形的面积公式等计算求解即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG.
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC，故②正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°.
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
设∠AGM=∠1，∠MGK=∠2，
∴∠AGK=∠1+∠2.
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=∠1+∠2.
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+∠1=∠2+∠1+∠2，
∴∠2=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可知∠EAD=∠D，∠B=∠D，则∠EAD=∠B，然后根据平行线的判定定理可判断①；根据平行线的旋转可得∠AGK=∠CKG，由已知条件可知∠CKG=∠CGK，则∠AGK=∠CGK，据此判断②；由题意可得90°-∠FGA-∠DGH=16°，由对顶角的性质可得∠FGA=∠DGH，代入求解即可判断③；设∠AGM=∠1，∠MGK=∠2，则∠AGK=∠1+∠2，由角平分线的概念可得∠CGK=∠AGK=∠1+∠2，∠FGM=∠CGM，则∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，代入求解即可判断④.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A在一次函数y=x的图象上，
∴可设A（a，a）.
∵四边形ABCD为平行四边形，B（b，1），C（b+1，2），
∴点B向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到点C，
∴D（a+1，a+1）.
∵点A、D分别在y=k1x、y=k2x的图象上，
∴a2=k1，(a+1)2=k2，
∴k1=a，k2=a+1，
∴k2-k1=1，为定值.
故答案为：D.
【分析】由题意可设A（a，a），根据平行四边形的性质以及点的平移规律可得D（a+1，a+1），由点A、D分别在y=k1x、y=k2x的图象上可得a2=k1，(a+1)2=k2，然后表示出k1，k2，据此判断.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：连接CF，如图：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵F是AB边上的中点，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠ACF=∠BCF=45°，
∴∠AFC=90°，
∴∠A=∠BCF，
在△ADF和△CEF中
AD=CE∠A=∠BCFAF=CF
∴△ADF≅△CEFSAS，
∴DE=EF，∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，则①正确；
∵△ADF≅△CEF，
∴四边形CDFE的面积为：S△ACF=12△ABC=12×12×6×6=9，则②正确；
△DFE的面积最小值为：12△ABC=4.5，则③正确；
当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小此时DF=12BC=3，
∴DE=DF2+DE2=32，则④错误；
综上所述，正确的为：①②③，
故答案为：A.
【分析】连接CF，根据等腰直角三角形的性质得到∠A=45°，求得∠A=∠BCF，根据全等三角形的性质得到：DF=EF，∠AFD=∠CFE，进而得到∠DFE=90°，于是得到△DEF是等腰直角三角形，据此可判断①；根据全等三角形的性质得到四边形CDFE的面积为S△ACF=12△ABC=12×12×6×6=9，据此可判断②；△DFE的面积最小值为4.5，即可判断③；当DE最小时，DF也最小， 即当DF⊥AC时， DE最小此时DF=12BC=3，进而根据勾股定理得：DE=DF2+DE2=32，据此可判断④.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：
①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形； 【正确】
证明如下：
∵ 四边形ABCD为正方形
∴ ∠C=90°，BC=DC
∵GE⊥CD，GF⊥BC
∴ 四边形GFCE为矩形
∴ GE∥BC
∵G为BD的中点
∴ GE为三角形BCD的中位线
∴ EC=12DC=GE=12BC
∴四边形CEGF是正方形
②若G为BD上任意一点，则AG=EF； 【正确】
证明如下：
连接GC
由（1）知：四边形GFCE为矩形
∴ GC=EF
∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AD=DC，∠ADG=∠CDG=45°
∵ GD为公共边
∴△ADG≅△CDG（SAS）
∴ AG=GC
∴ AG=EF
③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4； 【正确】
证明如下：由（1）知：四边形GFCE为矩形
∴ FG=CE
过G作HG垂直AB于H
∵ 四边形ABCD为正方形
∴ ∠HBG∠FBG=45°，
∵GF⊥BC
∴ HG=FG=BF=HB
∴ GE+GF=GE+HG=4
④点G在运动过程中，线段EF的最小值为22． 【正确】
证明如下：由（1）知：四边形GFCE为矩形
∴ GC=EF
线段EF的最小值是点C到BD的距离，即正方形对角线的一半
∵ 正方形ABCD的边长为4，
∴ BD=42
∴ 线段EF的最小值为22．
综上所述：①②③④都正确；
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形的性质和判定，矩形的性质与判定，线段和的最小值。熟悉图形的性质和判定方法是关键。
9．【答案】D
【解析】【解答】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线BD平分∠ABC，
∴∠EBG=45°，
∵EG⊥BC，
∴∠EGB=90°，
∴∠GEB=∠GBE=45°，
∴GE=22BE，
∵BE=BC，
∴GE=22BE=22BC，
∴△BEC的面积S=12×BC×GE=12×BC×22BC=24BC2，
∵△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，
∴S=S△BPE+S△BPC=12×BE×PM+12×BC×PN，
∵BE=BC，
∴S=12×BE×PM+12×BC×PN=12×BC×(PM+PN)，
∴12×BC×(PM+PN)=24BC2，
∴PM+PN=22BC，
∴BC=a，
∴PM+PN=22a，
故答案为：D．
【分析】先求出∠GEB=∠GBE=45°，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：(3x2−my+9)−(nx2+5y−3)
=3x2−my+9−nx2−5y+3
=(3−n)x2−(m+5)y+12，
∵无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，
∴3－n=0，m+5=0，
解得：n=3，m=－5，
∴m+n=（－5）+3=－2，
故答案为：B．
【分析】利用去括号、合并同类项将原式化简，由无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，可得x2项系数为0，y项系数为0，据此解答即可.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥x于点E，
因为 A、B两点在双曲线y=1x的图象上，BC⊥x轴于点C，AE⊥x轴于点E，
所以设Ax1，1x1，Bx2，1x2，则E（x1，0），C（x2，0），
因为A、B两点在直线y=kx（k>0）的图象上，
所以1x1=kx1，1x2=kx2，
所以kx12=kx22，
所以x12=x22，则x1=x2，
所以1x1=1x2，
所以x12+（1x1）2=x22+（1x2）2，即OA2=OB2，
因为OA>0，OB>0，
所以OA=OB，故结论 ① 对的；
根据上述证明得出，在△AOE，△BOC中，
OE=OC∠AOE=∠BOCOA=OB，
所以△AOE≅△BOC（SAS），BC=AE，
所以△AOC≅△BOC，
所以S△ABC=S△BOC+S△AOC=S△AOE+S△AOC=S△ACE，
所以S△ACE=12×2x1×1x1=1，即S△ABC=S△ACE=1，
所以 △ABC的面积为定值 ，故结论 ② 对的；
由上述证明得出，OA=OB，即 O是AB的中点，
因为BC⊥x与点C，
所以BC//y轴，即BC//OD，
所以ADAC=AOAB=12，
所以点D是AC的中点，故结论 ③ 对的；
因为AE⊥x于点E，
所以AE//OD，且D是AC的中点，
所以CDCA=COCE=12，
所以OD=12AE=12x1，且OE=x1，
所以S△AOD=12×OD×OE=12×12x1×x1=14，故结论 ④ 错的；
综上所述，正确的有 ①、②、③，共3个。
故选：C。
【分析】过点A作AE⊥x于点E，利用反比例函数图象上点坐标的特征，反比例函数与正比例函数图象交点的特征可得点A、B点坐标的关系，再利用“SAS”证出△AOE≅△BOC，可得BC=AE，再利用三角形的面积公式及等量代换求解，再利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形.
∴AD=AB，
又AB=BD，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=∠ADB=60°，
在△AED与△DFB中，AD=BD∠A=∠BDFAE=DF，
∴△AED≌△DFB(SAS)，
∴DE=BF，
∴①符合题意；
②由①得△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=60°，
∴②符合题意；
③当点E，F分别是AB、AD中点时，
由（1）知，△ABD为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC和△GBC中，DG=BGDC=BCGC=GC，
∴△GDC≌△GBC(SSS)，
∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，
∴③不符合题意；
④过点F作FP∥AE交DE于P点，如图，
∴△DPF∽△DEA，
∵AF=2DF，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=FP：2AE=1：6，
∵FP∥AE，
∴PF∥BE，
∴△FPG∽△BEG，
∴FG：BG=FP：BE=1：6，
即BG=6GF，故本选项符合题意：
∴正确的结论是①②④.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质并结合已知易得△ABD是等边三角形，则∠A=∠ADB=60°，从而利用SAS判断出△AED≌△DFB，得DE=BF，∠ADE=∠DBF，进而根据三角形外角性质及等量代换得∠BGE=60°，据此可判断①与②；当点E，F分别是AB、AD中点时，由等边三角形的性质得∠BDE=∠DBG=30°，由等角对等边得DG=BG，从而用SSS判断出△GDC≌△GBC，得∠DCG=∠BCG，根据等边三角形的三线合一得CH⊥BD，即CG⊥BD，据此可判断③；过点F作FP∥AE交DE于P点，推出△DPF∽△DEA，由相似三角形对应边成比例及菱形的性质可推出BE=2AE，再证出△FPG∽△BEG，由相似三角形对应边成比例即可得出BG=6GF，据此可判断④.
13．【答案】①③
【解析】【解答】解：过点P和Q分别作PD⊥x轴交于D，QC⊥y轴交于C，如下图：
∵直线PQ垂直直线y=x
∴OM=ON，BM=BN，设点M为（a，0），则点N为（0，a）；
∵点P和Q都在函数y=1x上
∴P和Q的横坐标和纵坐标刚好相反，即设点P为（m，n)，则点Q为（n，m）；
∴MP=a−m2+n2=NQ ，①正确；
当∠PAQ=90°时，
∵BM=BN，MP=NQ
∴BQ=BP
∴∠QAB=∠PAB=45°
∵∠BOM=45°
∴AP||x轴
∵点A和P都在函数y=1x上
∴AP不可能平行x轴
∴∠PAQ不可能为直角，②错误；
∵点M为（a，0），点N为（0，a）
∴MN2=2a2
∵点P为（m，n)，点Q为（n，m）
∴PQ2=m−n2+n−m2=2m−n2
∵直线PQ垂直直线y=x，且过点M和N
∴直线PQ的解析式为y=-x+a
∵点P和Q在直线y=-x+a上
∴m+n=a
∴MN2﹣PQ2 =2m+n2−2m−n2=4mn
∵点P和Q在函数y=1x上
∴mn=1
∴MN2﹣PQ2 =4，是固定值，③正确；
当△MON的面积为2时，可得12a2=2，解得a=2；
∴此时点B的坐标为（1，1）与点A重合，不符合题意，④错误；
∴正确的是①③
故答案为：①③.
【分析】①根据一次函数y=x和反比例函数y=1x的性质，设点的坐标，根据两点间的距离可以直接解题；
②根据平行线的判定，可得AP||x轴；
根据函数y=1x的性质，可知图像上任意两点构成的直线不可能与x轴平行判断即可；
③根据两点间的距离公式，可直接列代数式表示MN2﹣PQ2的值； 根据函数y=1x的性质，可得mn的值，即可解题；
④根据三角形的面积公式，可得a的值；
根据等腰直角三角形的性质，判断点B的坐标即可解题.
14．【答案】7
【解析】【解答】解：x+2y=k+2①2x−3y=3k−1②，
将①×3-②式得，
x+9y=7；
故答案为：7.
【分析】直接将①×3-②式即可得出答案.
15．【答案】1
【解析】【解答】解：将x=1代入方程2kx+a3−x−bk6=2，
∴2k+a3−1−bk6=2，
∴4k+2a−1+bk=12，
∴4k+bk=13−2a，
∴k(4+b)=13−2a，
由题意可知：b+4=0，13−2a=0，
∴a=132，b=−4，
∴2a+3b=13−12=1，
(2a+3b)2022=12022=1
故答案为1
【分析】将x=1代入方程可得k(4+b)=13−2a，结合原方程的解与k值无关，可求出a、b的值，再将其代入计算即可.
16．【答案】①②③④
【解析】【解答】 ①当x与y相等时， 原方程组变形为：2x=k−x=k+6，解这个方程组得：k=-4，所以①正确；
②当x与y互为相反数时， 原方程组变形为：x=k3x=k+6，解这个方程组得：k=3，所以 ② 正确；
③若4x⋅8y=32 ，则22x.23y=25所以2x+3y=5，解方程组2x+3y=53x+y=2k得：7x=6k-5，解方程组3x+y=2kx−2y=k+6得：7x=5k+6，所以6k-5=5k+6，解得：k=11，所以 ③ 正确；
④ 原方程组3x+y=2kx−2y=k+6变形为：3x+y=2k2x−4y=2k+12，消去k，得x+5y+12=0，所以④正确。
故第1空答案为： ①②③④
【分析】利用消元法分别解方程组，求得满足条件的k的值，即可求得答案。
17．【答案】①②③
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
OP=OPPE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE=定值，故(2)正确，
∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故(4)错误，
故答案为：①②③
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．根据角平分线的性质可得PE=PF，证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，进而得出EM=NF，PM=PN，逐项分析判断，即可求解．
18．【答案】135°
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°，
由∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠DAB=12∠CAB，∠ABF=12∠CBA
∴∠DAB+∠ABF=12(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠AFB=180°−(∠DAB+ABF)=180°−45°=135°，
故无论怎么变动Rt△ABC，只要∠C＝90°，∠AFB的度数是定值，始终为135°
故答案为：135°
【分析】根据角平分线的定义可得∠DAB=12∠CAB，∠ABF=12∠CBA，再利用角的运算和三角形的内角和可得∠AFB=180°−(∠DAB+ABF)=180°−45°=135°。
19．【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，
∴BC=AB=CD=AD=1，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°
由折叠性质可知：∠EHB=∠EAB=90°，BH=AB，AE=EH，∠EBA=∠EBH，
∴BH=BC，∠FHB=90°=∠BCF，
又∵BF=BF，
∴Rt△BHF≅Rt△BCF(HL)，
∴∠HBF=∠CBF，HF=CF，
∴∠ABC=∠CBF+∠FBH+∠HBE+∠EBA=2(∠FBH+∠HBE)，
∵∠EBF=∠FBH+∠HBE，
∴∠ABC=2∠EBF，
∴∠EBF=12∠ABC=45°，故①符合题意；
∵AE=EH，CF=HF，
∴EF=EH+HF=AE+CF
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD．
∴△DEF的周长=2AD=2，故②符合题意；
如图：连接DB交EF于K，过D作DG⊥EF，
∴DG≤DK，BH≤BK，
∴DG+BH≤DK+BK=BD，
∵BD=AB2+AD2=12+12=2，BH=AB=1，
∴DG+1≤2，
∴DG≤2−1，
故当K、G、H三点重合，即B、D、H在同一直线上时，点D到EF距离DG最大，最大值为2−1，故④符合题意；
设CF=HF=x，则DF=1−x
∵当点E是AD中点时，
∴AE=DE=12AD=12，
∴EF=12+x
∵在Rt△DEF中， EF2=DF2+DE2，
∴(12+x)2=(12)2+(1−x)2，
∴x=13，即FC=13，
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴△FCN∼△BAN，
∴CFAB=CNAN，
∵AC=AB2+BC2=2，
∴131=CN2−CN，
解得：CN=24，故③不符合题意，
故答案为：①②④．
【分析】利用正方形的性质，勾股定理，全等三角形和相似三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
20．【答案】（1）解：根据图象得：y是x的一次函数，设y=kx+b，
将(0，60)，(30，0)代入，得60=b0=30k+b，解得k=−2b=60
∴所求函数表达式为y=−2x+60
自变量x的取值范围是0≤x≤30.
（2）解：选择方案一：由题意得0.1×(y+30)=8，则y=50，
将y=50代入y=−2x+60，得x=5，即物品的质量是5kg；
选择方案二：由题意得I=630=0.2，则y=8−60.2=10，
将y=10代入y=−2x+60，得x=25，即物品的质量是25 kg；
选择方案三：由题意得电阻之比等于电压之比，即y30=48−4，∴y=30，
将y=30代入y=−2x+60，得x=15，即物品的质量是15 kg.
（3）
【解析】【解答】解：（3）填表方案不唯一，如：
方案一：取大米20kg，将x=20代入y=−2x+60中，得y=20，
∴I×(20+30)=8
∴I=0.16
方案二：取大米20kg， 将x=20代入y=−2x+60中，得y=20，
∵I=630=0.2
∴y=8−U00.2=20
∴U0=4
方案二：取大米(a−40)kg， 将x=a−40代入y=−2x+60中，得y=−2(a−40)+60=140−2a
由题意得电阻之比等于电压之比，即140−2a30=V18−V1，
解得a=70−15V18−V1
∵60910；
【分析】（1）由题意知：A（0，66）进而将A（0，66）代入函数关系式为y=ax2+bx+ca≠0，即可求出c的值；
（2）结合题干得到：运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离之间的函数关系式为：y=−150x2+910x+66，由题意得：点K的横坐标为：75，即令x=75，即可求解；
（3）结合题干得到：运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离之间的函数关系式为：y=−150x2+bx+66，令x=75，则可得到y的值为y=75b−932，根据"运动员落地点要超过点K"，据此可列不等式75b−932>21，解不等式即可求出b的取值范围；
（4）根据题干设函数表达式为：y=ax−252+76，把A（0，66）代入函数关系式得到a的值，进而得到函数解析式为y=−2125x−252+76，令x=75，求出y的值和基准点K的高度作比较即可.
30．【答案】解：[发现]（﹣1，1）；[应用]①（﹣1，﹣2）；②当x＝0时，y＝（k+2）x+k＝k，则A（0，k），
∵△OAP的面积为3，
∴12|k|×1＝3，解得k＝±6，
∴k的值为6或﹣6．
【解析】【解答】解：[发现]（x+1）k＝y﹣1，
∵k有无数个值，
∴x+1＝0，y﹣1＝0，
解得x＝﹣1，y＝1，
∴无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是（﹣1，1）；
[应用]①（x+1）k＝y﹣2x，
当k有无数个值时，x+1＝0，y﹣2x＝0，解得x＝﹣1，y＝﹣2，
∴一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P，点P的坐标是（﹣1，﹣2）；
故答案为（﹣1，1）；（﹣1，﹣2）．
【分析】【发现】利用k有无数个值得到x+1＝0，y﹣1＝0，然后解方程求出x、y即可得到固定点的坐标；
【应用】①解析式变形得到（x+1）k＝y﹣2x，利用k有无数个值得到x+1＝0，y﹣2x＝0，解方程组即可得到P点坐标；
②先利用一次函数解析式表示出A（0，k），再根据三角形面积公式得到12|k|×1＝3，然后解绝对值方程即可。
31．【答案】（1）32；12
（2）解： ∵x>3
∴x−3>0
由 a+b≥2ab 得 y=x+9x−3=x−3+9x−3+3≥2(x−3)⋅9x−3+3=2×9+3=9
当且仅当 x−3=9x−3 ，即 x=6 时， y 有最小值，最小值为9
答： x=6 时， y 有最小值，最小值是9
（3）解：设这个长方形花园的长为 xm ，则宽为 100−2x2m
则所围的长方形花园面积为 S=x⋅100−2x2=x⋅(50−x)
由题意得： x>0，50−x>0 ，即 00) ，
∵S矩形OCPD=xy=48 ， C(x，0) ， D(0，y) ，
∴S四边形ABCD=12(x+6)(y+8)
=12(xy+48+8x+6y)
=12(96+8x+6y)≥12(96+248xy)=12×(96+96)=96 ，
∴ 四边形面积的最小值为96，
此时 8x=6yxy=48 ，
解得 x=6y=8 或 x=−6y=−8，
∵x>0 ， y>0 ，
∴x=−6y=−8 舍去，
∴x=6y=8，
∴点坐标为 (6，8) .
【解析】【解答】（1）∵n>0 ，
∴n+1n≥2n×1n≥2 ，
当 n=1n 时，取得最小值，
∴n2=1 ，
解得n=1或n= -1（不符合题意，舍去）
∴当n=1时， n+1n 的最小值为2，
故答案为：1；2；
【分析】（1）利用配方法可得到n+1n≥2n×1n≥2，由此可得到n的值，同时可求出代数式的最小值.
（2）利用已知条件可表示出大正方形，小正方形，矩形的面积，可得到(a+b)2 -4ab= (a−b)2 ， 再根据（a-b）2≥0，由此可推出 (a+b)2≥4ab ，即可求出a=b时a+b≥2ab成立.
（3）设点P（x，y）且点P在第一象限，可表示出矩形OCPD的面积及四边形ABCD的面积；据此可建立关于x，y的方程组，解方程求出符合题意的x，y的值，即可得到点P的坐标.第1次（方案一）
第2次（方案二）
第3次（方案三）
大米（kg）
​​​​​​​
​​​​​​​
​​​​​​​
读数
I＝ A
V0＝​​​​​​​ V
V1≥​​​​​​​ V
第1次（方案一）
第2次（方案二）
第3次（方案三）
大米（kg）
20
20
a－40
读数
I＝ 0.16 A
V0＝ 4 V
V1≥ 2 V
第1次（方案一）
第2次（方案二）
第3次（方案三）
大米（kg）
20
20
a－40
读数
I＝ 0.16 A
V0＝ 4 V
V1≥ 2 V