2024年广东省阳江市阳春市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年广东省阳江市阳春市中考二模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年广东省阳江市阳春市中考二模数学试题原卷版docx、2024年广东省阳江市阳春市中考二模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的姓名、准考证号、座位号．
3．严格按照题号在相应的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效；不能答在试题上．
4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
2. 如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简答组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3. 经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时多名党员，发展成为今天已经拥有超过万党员的世界第一大政党．万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】万，
故选：C．
4. 某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用一班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
【详解】解：∵九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九（1）班有2名，
∴P==；
故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重（单位：）如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 42，36B. 42，42C. 40，40D. 42，40
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数是出现次数最多的数据，以及中位数是将数据排序后，位于中间位置的数据为中位数进行求解即可．
【详解】解：出现次数最多的数据为42，
∴众数为42，
排序后，位于中间位置的数据为40，
∴中位数为40；
故选D．
【点睛】本题考查求众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的确定方法是解题的关键．
6. 如图，，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两直线平行，同位角相等，三角形外角性质计算即可．
【详解】解：∵，

∴，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
7. 某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ）
A. 4B. 5C. 10D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义直接求解即可．
【详解】解：由题意，设，
∴，
∴；
∴当时，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，理解反比例函数的定义是解题关键．
8. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
【详解】设合伙人数为人，依题意，得：．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.
9. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．
【详解】解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于，
∴
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3．
【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又∵，，
∴，
∴
即
解得：或，
∵，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 比较大小：______2．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查实数的大小比较．根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 分解因式： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】直接提公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到•DE×5+•CD×3=×3×4，最后解方程即可．
【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴•DE×5+•CD×3=×3×4，，
即5CD+3CD=12，
∴CD=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．
14. 如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，由平行四边形的性质得，，，再证，则，过点作于点，则，然后由含角的直角三角形的性质得，则，，即可解决问题．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
则，
，
，
，，
．
故答案为：．
15. 如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________．

【答案】6
【解析】
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2）；数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组；
（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示解集，即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示解集如图所示，
17. 体育老师随机抽取了部分同学参加体能测试，并按测试成绩分成四个等级，已知有的同学获得等级．根据测试成绩，体育绘制了如下条形统计图（不完整）
（1）请将条形统计图补充完整，并在图中标注相应数据；
（2）体育老师从两个等级的同学中随机选择2名同学进行体训，求事件“2名同学中至少有一名同学是等级”发生的概率．（树状图或列表法）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）先由等级人数及所占比例得出总人数，求出等级人数，补全统计图即可；
（2）画出树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：被调查的学生人数为：（人），
等级人数为：（人），
补全图形如下：
；
【小问2详解】
解：画出树状图如下：
，
由图可得，共有种等可能出现的结果，其中名同学中至少有名同学是等级的有种结果，
事件“2名同学中至少有一名同学是等级”发生的概率为．
18. 为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
【答案】的长和的长分别约为米和米．
【解析】
【分析】根据题意作辅助线得到矩形，在直角三角形中利用正切得到和的长度，再根据线段的和差关系即可得到的长度．
【详解】解：过作于于，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴在中，，
∵米，，
∴（米），
∵，
∴在中，，
∵四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：的长和的长分别约为米和米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
【答案】（1）35元/盒；（2）20%．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得：，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：年增长率为20%．
考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题．
20. 类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动．
（1）【小组合作：讨论交流】
同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．”
同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是 ，所以图像与轴不相交．”
同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第 象限．”
……
（2）【独立操作：探究性质】
在平面直角坐标系中，画出的图像．

结合图像，描述函数图像与性质：
①函数的图像是两条曲线；
②该函数图像关于______________对称；
③图像的增减性是__________________；
④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由．
（3）【拓展探究：综合应用】
直接写出不等式的解集是____________________．
【答案】（1）；一、二
（2）画图见解析；轴；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；同学丁的说法是正确的，证明见解析
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据的的取值进行解答即可；
（2）通过列表、描点、连线即可得出函数图像，再根据函数图像进行解答即可②③，通过取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，可得 ，，，即可得出在的第一象限的曲线上；
（3）通过解方程组，再结合函数图像即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴因为自变量的取值范围，所以图像与轴不相交．因为函数值大于0，所以图像一定在第一、二象限．”
故答案：；一、二；
【小问2详解】
列表得：
描点并连线得：

根据函数图像可得：
①函数图像是两条曲线；
②该函数图像关于轴对称；
故答案为：轴；
③图像的增减性是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；
故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；
④同学丁的说法是正确的，理由如下：
取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，

∴，，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在的第一象限的曲线上，
故将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合，说法正确．
【小问3详解】
∵，
∴或或，
∴不等式的解集是：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，函数图象的画法，反比例函数与一次函数的交点问题、旋转等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
21. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是抛物线上不同两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）①；②最小值为
【解析】
【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．
【小问1详解】
抛物线与x轴相交于点
解得
；
【小问2详解】
①点是抛物线上不同的两点．
若，则．
；
②
==，
当=1时，的最小值为-2．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 综合探究
如图1，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形 的内部，，连结，．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）如图2，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）当点是的中点时，．
①求的长；
②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结，当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）如图1，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得．得到，于是得到结论；
（2）如图2，延长交于点．根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论；
（3）①由（2）知．求得．根据是的中点，于是得到，②推出，当时，如图，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到．当时，如图，连结．由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：如图1，点在的外接圆上，
，
，
．
，
，
是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：
理由：如图，延长交于点，
，，
，
即，
，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：①由（2）知．
，
．
是的中点，
，
②，
，
存在或，
当时，如图，，
是圆的直径，
当时，如图，连结；
是圆的直径，
，
，
，
综上所述，的长是或．
【点睛】本题考查了圆与正方形的综合问题，等腰直角三角形的判定，正切的定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23. 如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q．
（1）证明：△ACQ是等腰三角形；
（2）求点D的坐标；
（3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）想办法证明∠QCA＝∠QAC即可解决问题．
（2）设CQ＝AQ＝x，利用勾股定理求出x，如图1中，过点D作DH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质求出AH，DH即可解决问题．
（3）分两种情形：①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J．利用相似三角形的性质求出AH，MN即可解决问题．②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R．利用相似三角形的性质求出MN，AR即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形OABC，四边形FADE都是矩形，
∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA，
∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF，
∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL），
∴∠CAO＝∠CAF，
∵BC∥OA，
∴∠BCA＝∠CAO，
∴∠BCA＝∠ACF，
∴QC＝QA，
∴△ACQ是等腰三角形．
（2）解：设CQ＝AQ＝x，
∵B（8，4），
∴BC＝8，AB＝4，
在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴BQ＝3，
如图1中，过点D作DH⊥x轴于H．
∵∠QAD＝∠BAH＝90°，
∴∠QAB＝∠DAH，
∵∠B＝∠AHD＝90°，
∴△ABQ∽△AHD，
∴，
∴，
∴AH＝，DH＝，
∴OH＝OA+AH＝8+＝，
∴D（）．
（3）①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J．
∵QJ∥AB，
∴，
∴，
∴QJ＝，
∵MN∥QJ，
∴△AMN∽△AQJ，
∴，
∴
∴MN＝，AH＝，
∴S＝•MN•AH＝·x·＝x2．
②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R．
∵FK∥AB，JQ∥AB，
∴FK∥JQ，
∴△AQJ∽△AFK，
∴，
∴，
∴FK＝4，BT＝，
∴CT＝BC﹣BT＝8﹣＝，
∵MN∥FK，
∴△CMN∽△CFK，
∴，
∴，
∴MN＝12﹣x，CR＝（12﹣x），
∴S＝S△ACF﹣S△AFK＝×4×12﹣×（12﹣x）×（12﹣x）＝．
综上所述，S＝．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．