2025高考一轮复习专题01 集合与常用逻辑用语知识清单讲义

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一、知识思维导图
集合与逻辑用语
二、考点框图
考点清单
考点1 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
考点2 集合间的基本关系
考点3 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
考点4 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
（2）充要条件的含义
若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。
考点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
（3）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（4）常见正面词语的否定：
考点例题分析
一、子集的个数问题
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
【典例分析1】（21-22高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
【答案】A
【分析】根据并运算可得，即可根据子集个数公式求解.
【详解】,所以子集个数为，
故选：A
【典例分析2】（23-24高一下·广东广州·期中）若集合，，则的子集的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据指数不等式求出集合，即可求出，从而判断其子集个数.
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以，则的子集有个.
故选：C
二、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
【典例分析1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（ ）
A．1B．1或2C．0或2D．0或1或2
【答案】C
【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解.
【详解】由元素和集合关系可知：或或，
解的或或，
由集合的性质可知，当时，不满足互异性，
所以的取值为或.
故选：C.
【典例分析2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，若，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【答案】B
【分析】由，得到求解.
【详解】解：因为，
所以，
当时，，根据元素的互异性可知，；
当时，，不满足元素的互异性，舍去，
故选：B.
三、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【典例分析1】（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【详解】集合，，又，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
【典例分析2】（2024·辽宁抚顺·三模）设集合，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意，得到或，求得的值，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】由集合，
因为，所以或，解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
故选：C．
四、根据集合运算的结果确定参数的取值范围
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。
【典例分析1】（2024·重庆·模拟预测）设集合，，若， 则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】借助集合交集的定义计算即可得.
【详解】当时，，则，
即此时，，不符合要求；
当时，，则，
即此时，，符合要求；
故.
故选：B.
【典例分析2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于的不等式组，解之即得.
【详解】或，或，
又，解得.
故选:D.
五、利用充分必要条件求参数的策略
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。
【典例分析1】（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，即，解得，
故选：B.
【典例分析2】（23-24高一上·湖北咸宁·期末）函数在区间单调递减的一个充分不必要条件是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性求得a的范围，再利用充分不必要条件的定义求解.
【详解】令，则，
所以在区间内为减函数，
即，解得.
故选：C.
考点易错题分析
易错点1 对集合表示方法的理解存在偏差
点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义。
【典例1】（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）集合 ，集合，全集，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于集合A，由或，所以，，
，故.故选：B
【典例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知集合,，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解方程组可得或或，
又因为,，则.故选：D.
易错点2 忽视（漏）空集导致错误
点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【答案】B
【解析】由集合，
对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足；
当时，解得，要使得，则满足，可得，
所以实数的值为或.故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）设集合若，则实数p的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若N为空集，即，
若N不为空集，则且，
综上：.
易错点3 忽视集合元素的互异性
点拨：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B
【典例2】（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，
又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，
所以，，则，故选：A
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
图形语言
基本关系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素（则）
或
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
或
相等
集合A，B的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1个