湖北省荆门市沙洋县毛李中学教联体2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号涂在答题卡上）
1. 下列各式子中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的代数式，分别判断即可．
【详解】A．当时，不是二次根式，故不符合题意；
B．当，即时，不是二次根式，故不符合题意；
C．恒成立，则是二次根式，故符合题意；
D．当，即时，不是二次根式，故不符合题意；
故选：C．
2. 下列各数中，与的积为无理数的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可．
【详解】A、，不是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，符合题意；
C、，不是无理数，不符合题意；
D、，不是无理数，不符合题意，
故选：B．
【点睛】此题考查二次根式的乘法，关键是根据法则进行计算，再利用无理数的定义判断．
3. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间
【答案】B
【解析】
【分析】利用“夹逼法”得出的范围，继而也可得出+1的范围.
【详解】解：∵4 ＜ 6 ＜ 9 ，
∴，即，
∴，
故选：B
4. 用下列长度线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A. 1.5，2，3，B. 8，15，17C. 6，8，10D. 7，24，25
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5. 若的三边长分别为a，b，c，且满足，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理．根据已知等式可得或，再根据等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理即可得出答案．
【详解】解：，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，
故选：D．
6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理可得，利用整体代入思想求出（a−b）2的值即可．
【详解】解：根据勾股定理得：，且ab＝6，
∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．
7. 如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（ ）

A. 8B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE= CE=AC= 2，利用勾股定理求出AB、 BC的长度，进而可得EF= AB=2， CF=BC=，即可得出答案．
【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵ AB= BC，
BE⊥AC， AE= CE=AC = 2，
由勾股定理得，
AB= BC=，
∵点F为BC的中点，
∴EF=AB=， CF=BC=，
∴∆CEF的周长为：+2= 2+ 2．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
8. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A. 选①②B. 选②③C. 选①③D. 选②④
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B．
9. 如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，所对直角边是斜边的一半，先由，，得，，根据矩形的性质，，，证得，再根据勾股定理求得的长，即可得到的长，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
故选：．
10. 将等边折叠，使得顶点A与上的D重合，F为折痕，若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用k表示即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，翻折变换，利用相似三角形的周长比等于相似比，再适当的用k表示边是关键．
二、耐心填一填（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果填在答题卡相应位置）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可．
【详解】解：若二次根式有意义，
则且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．
12. 已知是正整数，是整数，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，由此可以确定满足条件的最小正整数．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴最小正整数值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的定义和乘法法则．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式；二次根式的乘法运算法则：．解题关键是把被开方数分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
13. 如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理在网格中的应用．根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
【详解】解：连接，
由题知，，
，
，
，，
，为直角三角形，即，
．
故答案为：．
14. 在中，，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定， ，过点A作于H，先求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，再证明是等腰直角三角形，得到即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是_______．
【答案】（2，2）．
【解析】
【详解】解：过点B作DE⊥OE于E，
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，
∴∠CAO=30°．
又∵OC=2，∴AC=4．∴OB=AC=4．
又∵∠OBC=∠CAO=30°，DE⊥OE，∠CBA=90°，∴∠OBE=30°．
∴OE=2，BE=OB·cs∠OBE=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
故答案为：（2，2）．
16. 如图，菱形的对角线相交于点，，点为边上一动点，且不与重合，过点作于，交于，连接，则长的最小值等于_________．
【答案】2.4
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
由菱形的性质可得，由勾股定理可求的长，可证四边形是矩形，可得时，有最小值，由面积法可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
在中，
∴,
∵,,
∴,
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵当时时，有最小值，
此时，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、用心想一想（本大题共8小题，共72分，请在答题卡上对应区域作答）
17. 计算与化简．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）根据二次根式的除法法则和减法法则计算即可求解；
（2）先化简二次根式，再合并即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 已知， ，求下列各式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）6 （2）33
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解的应用，利用完全平方公式变形求解等知识．
（1）先将因式分解得到，再代入计算即可求解；
（2）先将变形为，再代入计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 如图，网格是由小正方形拼成的，每个小正方形的边长都为1，四边形的四个点都在格点上．
（1）四边形的周长为 ，面积为 ．
（2）求证：是直角．
【答案】（1） ，10.5
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理等知识．
（1）根据勾股定理即可求出，，，，即可求出边形的周长为；利用割补法即可求出四边形的面积为；
（2）连接，根据勾股定理求出，即可得到，根据勾股定理逆定理即可证明是直角．
【小问1详解】
解：根据勾股定理得，，，，
∴四边形的周长为；
如图，四边形的面积为．
故答案为： ，10.5；
【小问2详解】
解：如图，连接，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴是直角．
20. 为了测量学校旗杆的高度，某数学兴趣小组发现系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面B并多出了一段的长度为1米，把绳子拉直向左走5米后，绳子底端C正好落在地面D处，请通过以上信息求出旗杆的高度．
【答案】12米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则（米），在中由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意知米，
设旗杆的高度为x米，则（米），
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴米.
答；旗杆的高度为12米．
21. 正方形网格中的每个小正方形的边长都是一个单位，每个小正方形的顶点叫做格点，已知A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺作出符合下列条件的图形．
（1）在图1中，在上作出点D，使得．
（2）在图2中，点A是格点，点P在格线上，但不在格点上，将线段向左平移3个单位得到线段．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平移的性质，解题的关键是：
（1）根据题意可知作的垂直平分线即可得到点D；
（2）根据题意平移性质找出A的对应点M，连接交A、P之间横线于O，连接并延长，交P所在横线于点N，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，点D即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图所示，即所求，

由作图知：是的垂直平分线，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴为向左平移3个单位所得．
22. 著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：
①：______，②：______，③______．
（2）根据上述思路，求出的值．
【答案】（1）5；；
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据题意即可作答；
（2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解．
【小问1详解】
根据题意可得
，
故答案为：5；；；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式．
23. 已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为，求的面积；
（3）求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（）由可证，可得；
（）根据等角对等边易证，根据勾股定理求得的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（）由全等三角形的性质可得，在上截取，连接，则可以证明，得到，即可证得；
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 矩形的边、在坐标轴上，点，其中a、b、c满足．
（1）求出a、b、c的值；
（2）如图，E是上一点，将沿折叠得，交x轴于点D，若，求的长；
（3）如图，点Q是直线上一动点，以为边作等腰直角，其中，O、Q、P按顺时针排列，当Q在直线上运动时，的最小值为____________．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据所给式子，结合二次根式有意义条件和非负数相加和为0,则两加数均为0进行求解即可；
（2）过点作交于点，根据折叠性质和矩形性质求出，，再根据“”证，得到，，设，得出，，，最后根据勾股定理列方程求解即可；
（3）过点作轴于，过点做轴，先根据等腰直角三角形性质得出，再根据“”证，得到，，根据，两点坐标求出直线的解析式，设，结合图象得出，从而得到点在直线上，作出直线与轴交于点，与轴交于点，过点作关于直线的对称点，连接，，，，与直线交于点，根据对称性质可知，则时，值最小，根据条件求出点即可得出的长，此题得解．
小问1详解】
∵，
∴，解得，
∴，
∴，解得，
∴，，；
【小问2详解】
过点作交于点，则，

∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵沿折叠得到，
∴，，，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴；
【小问3详解】
如图，当点在线段上时，过点作轴于，过点做轴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（1）知，，，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵，，且点在第二象限，点在第一象限，
∴点的横坐标和点的纵坐标相等为，
点的纵坐标和点的横坐标互为相反数为，
∴，则，
∴点在直线上（当点在延长线或延长线时，同理也得出相同结论）；
如图，作出直线与轴交于点，与轴交于点，过点作关于直线的对称点，连接，，，，与直线交于点，
令代入得，
解得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点和点关于直线对称，且点在对称轴上，
∴，
∴，
∴当时，值最小，
又∵点，都在对称轴上，
易证得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合，涉及到了有二次根式有意义的条件，非负数和为0的条件，折叠问题，矩形的性质全等三角形的性质与判定，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，线段最短问题，综合性较强，正确作出合适的辅助线是解题的关键．