四川省成都市青羊区成都市树德中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方；选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可；选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可．
【详解】解：，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 已知某种病毒的直径约为米，用科学记数法表示米米，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：米米，即．
故选：D．
3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析解．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：、，
不能构成三角形，不符合题意；
B、，
不能构成三角形，不符合题意；
C、，
不能构成三角形，不符合题意；
D、，
能构成三角形，符合题意．
故选：D．
4. 若（x﹣3）2＝x2+ax+9，则a的值为（ ）
A. 6B. 3C. ﹣3D. ﹣6
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式:,即可得出答案．
【详解】解：，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式是解题的关键．
5. 如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线，对顶角，掌握角平分线的定义以及对顶角相等是正确解答的关键．
根据角平分线的定义以及对顶角相等即可求出答案．
【详解】解：平分，
，
，
．
故选：B
6. 如图，下列条件中能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线判定，由平行线的判定方法，即可判断．
【详解】解：A、和不是同位角，也不是内错角，不能判定，故A不符合题意；
B、由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故B不符合题意；
C、由内错角相等，两直线平行判定，故C符合题意；
D、由同旁内角互补，两直线平行判定，不能判定，故D不符合题意．
故选：C．
7. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定≌的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．
由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解：，
∴，即，
又∵，
∴A选项：由判定≌，故A不符合题意；
B选项：和分别是和的对角，不能判定≌，故B符合题意；
C选项：由判定≌，故C不符合题意；
D选项：由判定≌，故D不符合题意．
故选：B
8. 热爱运动的王老师从家慢步到人民公园，在此锻炼，结束后又小跑回家下面能反映当天王老师离家的距离与时间的关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在每段中，离家距离随时间的变化情况即可进行判断．
本题主要考查函数图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．
【详解】解：图象应分三个阶段，第一阶段：慢步到人民公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：在人民公园锻炼，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变；
第三阶段：小跑回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度大于第一阶段的速度．
故选：D．
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9. 若，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则计算即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
10. 计算： ______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，逆向运用积的乘方运算法则计算即可．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【详解】解：
．
故答案为：．
11. 如图，将三角尺与直尺贴合在一起，使三角尺的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数等于______．

【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，先求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
直尺的对边平行，
，
故答案为：．

12. 如图，，分别是的高线和角平分线，若，，则______．
【答案】##16度
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和三角形外角，解题的关键是熟练掌握角的变换．
由三角形内角和定理求得，则根据角平分线的定义易求，根据三角形外角定理，即可求得，在直角中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得，即可作答．
【详解】解：在中，，，
．
是的角平分线，
，
，
是的高线，
为直角三角形，
，
故答案为：．
13. 如图，已知直线，点是线段的中点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，根据平行线间的距离相等得出和的高相等，再根据底之间的关系即可求出的面积．
【详解】解：，
、之间的距离相等，
即和的高相等，
点是线段的中点，
，
，
，
故答案为：．
14. 若，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据多项式成多项式进行计算，再把结果写成含有和形式，最后把，代入计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
15. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先降次，，再利用因式分解，根据已知，可得代数式的值．
本题考查了整体代入求多项式的值，关键是把多项式降次，因式分解．
【详解】解：，
，．
．
故答案为：．
16. 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式_____；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】此题考查了配方法的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．
运用配方法结合题中的新定义确定出所求即可．
【详解】解：，
写成（a，b为整数）的形式为；
，且为“完美数”，
，
；
故答案为：；5．
17. 如图，中，，将沿着射线方向平移，得到（平移后点A，B，C分别对应点D，E，F），连接若在整个平移过程中，若，则_____．
【答案】或
【解析】
【分析】此题主要考查了图形的平移变换及性质，平行线的性质，熟练掌握图形的平移变换及性质，平行线的性质是解决问题的关键．
在整个平移过程中有以下两种情况：当点E在线段上时，过点C作，则，由此得，，则，进而得，则，进而可求出的度数；当点E在的延长线上时，过点C作，则，则，，由此得，进而得，则，进而可求出的度数，综上所述即可得出答案．
【详解】解：在整个平移过程中，若，有以下两种情况：
当点E在线段上时，过点C作，如图1所示：
由平移的性质得：，
，
，，
，
，
，
，
；
当点E在的延长线上时，过点C作，如图2所示：
由平移的性质得：，
，
，，
，
，
，
，
．
综上所述：或．
18. 如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于，先证得为等腰直角三角形，则，，再证和全等得，，则，，然后证和全等得，从而得，然后可得出答案．
此题主要考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键．
【详解】解：过点作于，如下图所示：
在中，，，
，
，
，
，
，
，
即，
为等腰直角三角形，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，
（1）分别根据零指数幂的定义，负整数指数幂的定义以及有理数的乘方的定义计算即可；
（2）先分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘除法法则化简，然后合并同类项即可；
（3）分别根据平方差公式以及多项式乘多项式的运算法则化简即可；
（4）根据平方差公式和完全平方公式化简即可．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】



；
【小问3详解】



；
【小问4详解】



．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质以及整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用完全平方公式、单项式乘多项式以及多项式除以单项式的运算法则得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：


，
，
，，
解得，，
原式．
21 已知：如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，通过得出是解决此题的关键．先通过得出，根据证明，得到．
【详解】证明：∵，
∴．
即，
在和中，
∴．
∴．
22. 如图，在中，点，在边上，点在边上，，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义；
（1）根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知证得，根据内错角相等，两直线平行即可证得；
（2）先根据平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，最后根据平行线的性质即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
23. 已知：直线，点为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上，，为直线上的两个动点点在点的左侧连接，，且．
（1）如图，若，，则 ；
（2）射线为的角平分线．
如图，当点在点左侧时，若，求的度数；
当点与点不重合，且时，试用含的代数式表示的度数．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识：
（1）根据平行线的性质以及题干中即可推出的度数．
（2）①设，则，，由角平分线性质得，再由即可求得答案．
设，，分三种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧，点在点右侧时，当、均在点左侧时，分别求出的度数．
解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【小问1详解】
解：如图，
，
，，
，，
．
故答案为：
【小问2详解】
①如图，
，
，，
，
，
设，
，
，，
射线平分，
，
，
；
设，，
当点在点右侧时，
如图，此时有，
则，
，
射线平分，
，
，
，
，
，
；
当点在点左侧，点在点右侧时，如图，
则，，
，，
射线平分，
，
，
，
，
，
；
当、均在点左侧时，如图，
则，，
，，
射线平分，
，
，
，
，
，
；
综上所述：或．
24. 公交车从地向地驶出，到达地后停止小汽车从地向地驶出，小车到达地后立马返回地．两车距地的路程（千米）和公交车离开地的时间（小时）如图所示，根据图象解决一下问题：
（1），两地相距 千米，公交车速度为 千米小时， ；
（2）小车出发两小时与公交车相距多少千米？
（3）求小车出发几小时后，两车相距千米？
【答案】（1），，
（2）小车出发两小时与公交车相距千米
（3）小时或小时或
【解析】
【分析】观察图可得，两地的距离，根据“速度路程时间”求得公交车的速度，小汽车从地到地与从地返回地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，列关于的方程并求解即可；
根据“路程速度时间”，分别求出两车与地的距离并求差即可；
利用待定系数法分别求出公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式、小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式，根据两车的距离列绝对值方程并求解，并转换为小车出发后的时间即可．
本题考查一次函数的应用，熟练掌握路程、速度、时间之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
【小问1详解】
由图象可知，，两地相距千米，公交车速度为千米小时，
小汽车从地到地与从地返回地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，得，解得．
故答案为：，，．
【小问2详解】
小车的速度为千米小时，则小车出发小时距地的距离为千米，
当小车出发小时时，公交车已出发了小时，公交车行驶小时距地的距离为千米，
千米，
小车出发两小时与公交车相距千米．
【小问3详解】
设公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为．
当时，设小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
；
当时，设小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
；
综上，小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为．
当时，，解得不符合题意，舍去；
当时，，解得或；
当时，，解得不符合题意，舍去或不符合题意，舍去；
当时，，解得．
综上，当公交车出发小时或小时或小时后，两车相距千米．
小时，小时，小时，
小车出发小时或小时或小时后，两车相距千米．
25. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式．
例如图得到：，基于此，请回答下列问题：
【直接应用】（1）已知：，，求；
【类比应用】（2）已知：，求：；
【知识迁移】（3）将两块全等的直角三角板，按如图所示的方式放置，，，在同一直线上，连接，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，单项式成多项式以及全等三角形的性质，
（1）根据整体代入计算即可；
（2）设，可得到，，再根据代入计算即可；
（3）设，，则，由得到，再根据，即求出的值即可．
【详解】解：（1），而，，
，
；
（2）设，则，，


；
（2）设，，则，
由于，即，
，
，即，
，
阴影部分


．
26. 三角形的角平分线、中线、高都是三角形的重要线段，我们知道，它们各有不同的性质为了进一步探究它们的作用，德馨小组合作学习时做了以下尝试：
（1）如图，中，，分别是，的角平分线，若，求；
（2）如图，中，，分别是，边上的中线，若，求；
（3）如图，中，，，分别是，边上的高线，若，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用角平分线性质和三角形内角和定理即可求得答案；
（2）连接，由，分别是，边上的中线，可得：，，，，根据已知条件推出，再运用即可；
（3）先证得是等腰直角三角形，可得，再证得，得出，将绕点顺时针旋转得到，即可得出．
【小问1详解】
解：，，
，
、分别平分、，
，，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，

，分别是，边上的中线，
，，，，
，
，




，
；
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，如图，

，，
，
，即，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的中线、角平分线、高线，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形和等腰三角形的性质等，利用旋转变换将求四边形的面积转化为求等腰直角三角形的面积是解题关键．