2024年陕西省中考数学三模冲刺训练卷（解析版）

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1. 截至2023年9月，西安地铁1号线西起咸阳市秦都区咸阳西站，
途经西安市未央区、莲湖区、新城区，东至灞桥区纺织城站，全长42100米，全部为地下线.
将数据42100用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：A．
2. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3. 有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据a，b两数在数轴的位置依次判断所给选项的正误即可．
【详解】解：根据a，b两数在数轴的位置，可得，，选项B错误；
则，选项A错误；
，选项C正确；
，选项D错误，
故选：C．
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
5.函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A. B. C.D.
【答案】A
【分析】先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案．
【详解】解：函数的图像经过点，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知：，
反比例函数的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
6. 如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接 、，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，再根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数；
【详解】连接 、，如图，

故选：D
7 . 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
8.二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④若有两个实数根，则．

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质，结合题意，列出b、c和a的关系式，并通过一元二次方程得到a的取值范围，再通过计算从而完成求解．
【详解】∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点交于正半轴，
∴ ，
∴，故①错误．
∵抛物线对称轴为，且与x轴交，
∴抛物线交x轴于，
∴时，，故②正确．
∵，
∴，
故③正确．
由图象可知，时，
此时只有一解，
∴有两个实数根，则．
故④正确．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式： ．
【答案】
【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
【详解】解：

．
故答案为：．
2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．

【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．

【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
12 .某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，
经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．

【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
13 .如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【分析】根据化简绝对值，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
15. 解不等式组．
【答案】1≤x＜4
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】，
解①得：x≥1，
解②得：x＜4，
则不等式组的解集是：1≤x＜4．
16. 化简求值：，其中．
【答案】
【分析】先利用分式的运算法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：，
，
把代入得，原式．
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．

(1)作出关于x轴对称的 ，点A、B、C的对应点分别是 、、；
(2)作出关于原点O成中心对称的，点A、B、C的对应点分别是、、．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
【详解】（1）如图，即为所求，

如图，.即为所求，
18. 如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．

(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可．
（2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）
证明：连接、，

由（1）可知
，
在和中
．
19. 我市某学校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．
为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查
（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，
请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4）．
【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；
（2）先求出编织的人数，再补全条形图即可；
（3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：60；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；
甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，
甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．

(1)两城相距______千米；
(2)求出乙车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系式；
(3)求甲乙两车相遇时甲车行驶的时间以及此时距离A城的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数图象分析即可求解；
（2）设直线乙的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解；
（3）联立两直线，求得交点坐标即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象可知，当时，，可得两城相距千米，
故答案为：．
（2）设直线乙的函数解析式为，
直线过点，点
，
解得，
即直线乙的函数解析式为
（3）由题可知，直线甲的函数解析式为
所以：，
解得
那么，甲乙两车相遇时甲车行驶的时间是2.5小时，此时距离A城的距离为150km．
如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，
台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）

【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
22. 为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．
已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，
购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
求两种足球的单价；
为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，
若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
【答案】(1)甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元
(2)16个
【分析】（1）设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，
由题意可得列出关于x的分式方程，进行求解即可；
（2）设至多购买乙种足球a个，根据题意列出关于a的一元一次不等式，进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，由题意可得：
解得，
经检验是原方程的解，
∴（元），
答：甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元．
（2）设至多购买乙种足球a个，由题意得：
∴
解得：
∵a为整数，
∴a最大值为16，
答：最多购买乙种足球16个．
23 .已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
(3)结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)点P的坐标为；
(3)或．
【分析】（1）将代入求出m，再将代入求出n，，最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
24. 如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是的切线；
(2)若，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【详解】（1）连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
（2）由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
如图，抛物线经过坐标原点与点，
正比例函数与抛物线交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是第四象限抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，是否存在点，使得与以点、、为顶点的三角形相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)P点坐标为或．
【分析】（1）将，代入中，即可求出解析式；
（2）分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（2）存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
26. 在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
(1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
(2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
(3)如图3，当时，求的值
【答案】(1)；
(2)1；
(3)
【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，由正方形的性质，得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解；
（2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，即可求得FG＝0.6，然后由FB＝BG－FG求解即可；
（3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，得＝，由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解．
【详解】（1）解：∵四边形AOBC是的正方形，
∴DEBC，
∴AE：AC＝DE：BC
设正方形的边长为x，则AE＝3－x，
∴（3－x）：3＝x：4，
解得 x＝，
即这个正方形的边长为；
（2）解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2，
∵tan∠DCF＝，
∴DG：CG＝1：2
设DG＝y，则CG＝2y，
∴BG＝4－2y，
∵DGAC，
∴DG：AC＝BG：BC，
∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ，
BG＝4－2y＝1.6，
∵∠EDF＝，
∴∠CDG＋∠GDF＝，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＋∠DCG＝，
∴∠GDF＝∠DCG，
∵tan∠DCF＝，
∴tan∠GDF＝，
∴，
∵DG＝1.2，
∴FG＝0.6，
∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1；
（3）解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3，
∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝，
∴∠MDN＝，
∴∠MDE＋∠EDN＝，
∵∠EDF＝，
∴∠FDN＋∠EDN＝，
∴∠MDE＝∠FDN，
∴Rt△DME∽Rt△DNF，
∴＝，
∵=，
∴=，
设DM＝z，则DN＝2z，
∵DMBC ，
∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，
∴z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，
∴：4＝AD：5 ，
∴AD＝，BD＝5－＝，
∴＝．