2024 年湖北省中考数学模拟试卷（解析版）

这是一份2024 年湖北省中考数学模拟试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2024 年湖北省中考数学模拟试卷
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 12 个小题， 每小题 4 分， 共 48 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. ) 1 ．如图，已知直线 a ∥b∥c，直线 m，n 与 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B，D，F，若 AC=4 ，CE=6，BD=3，则 DF 的值是( )
A ．4 B ．4.5 C ．5 D ．5.5
2 ．实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A ．a<﹣1 B ．ab＞0 C ．a﹣b＜0 D ．a+b＜0
3 ．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A .
B .
C ． D.
4 ．在刚刚结束的中考英语听力、 口语测试中， 某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．中位数是 9 B ．众数为 16C ．平均分为 7.78 D ．方差为 2
5 ．一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9 个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任 意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，那么估计盒子中
小球的个数 n 为( )
A ．20 B ．24 C ．28 D ．30
6．2014 年我省财政收入比 2013 年增长 8.9%，2015 年比 2014 年增长 9.5%，若 2013 年和 2015 年我省财政收入分别为 a 亿元和 b 亿元，则 a、b 之间满足的关系式为( )
A． B . C .
7 ．计算的结果是(
D .
)
A．2 B． C ．1 D ．2
8 ．下表是某校合唱团成员的年龄分布.
15
x
16
10 - x
13
5
14
15
年龄/岁
频数
对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A ．众数、中位数 B ．平均数、中位数 C ．平均数、方差 D ．中位数、方差
9．如图， AB 是O 的直径，弦CD AB ， CDB = 30 ， CD = 2 3 ，则阴影部分的面积为( )
A ．2π B . π C .
π
3
D .
2π
3
10 ．如图，已知直线 AB 、CD 被直线 AC 所截， AB∥CD ，E 是平面内任意一点（点 E 不在直线 AB 、CD 、AC 上），
设∠BAE=α,∠DCE=β . 下列各式：①α+β,②α﹣β,③β﹣α,④360°﹣α﹣β,∠AEC 的度数可能是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
11 ．如图所示的几何体的主视图是( )
A .
B .
C .
D .
12 ．计算 36÷(﹣6）的结果等于( )
A . ﹣6 B . ﹣9 C . ﹣30 D ．6
二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分. )
13．如图， 把Δ ABC 绕点 C 顺时针旋转得到Δ A'B'C'，此时 A′B′⊥AC 于 D，已知∠A ＝50° , 则∠B′CB 的度数是 ° .
14．可燃冰是一种新型能源，它的密度很小， 1cm3 可燃冰的质量仅为 0.00092 kg .数字 0.00092 用科学记数法表示是
15 ．关于 x 的方程（m﹣5）x2﹣3x﹣1=0 有两个实数根，则 m 满足 .
16 ．某排水管的截面如图，已知截面圆半径 OB=10cm，水面宽 AB 是 16cm，则截面水深 CD 为 .
17 ．如图是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中
的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是 .
18 ．某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖 960 元，以成本计算，其中一台盈利 20%，另一台亏本 20%，则本次
出售中商场是 （请写出盈利或亏损） 元.
三、解答题： （本大题共 9 个小题，共 78 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19 ．（6 分）已知抛物线 y=a（x-1）2+3（a≠0）与 y 轴交于点 A（0,2），顶点为 B，且对称轴 l1 与 x 轴交于点 M
（1）求 a 的值，并写出点 B 的坐标；
（2）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点 C ，且新抛物线的对称轴 l2 与 x 轴交于点 N，过点 C 做 DE∥x 轴，分别交 l1 、l2 于点 D 、E ，若四边形 MDEN 是正方形， 求平移后抛物线的解析式.
20 ．（6 分）如图 1 ，在菱形 ABCD 中， AB ＝6 5 ，tan∠ABC ＝2，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿
着射线 DA 的方向匀速运动，设运动时间为 t（秒），将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转一个角 α(α=∠BCD），得到对应线 段 CF .
（1）求证： BE ＝DF；
（2）当 t ＝ 秒时， DF 的长度有最小值，最小值等于 ；
（3）如图 2，连接 BD 、EF、BD 交 EC、EF 于点 P 、Q，当 t 为何值时， Δ EPQ 是直角三角形？
21 ．（6 分）如图，⊙O 是Δ ABC 的外接圆， FH 是⊙O 的切线，切点为 F，FH∥BC，连结 AF 交 BC 于 E，∠ABC 的
平分线 BD 交 AF 于 D，连结 BF ．（1）证明： AF 平分∠BAC；（2）证明： BF=FD；（3）若 EF=4，DE=3，求 AD 的长.
22 ．（8 分）如图，已知Δ ABC，请用尺规作图，使得圆心到Δ ABC 各边距离相等（保留作图痕迹，不写作法） .
23 ．（8 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ．有直角∠MPN，使直角顶点 P 与点 O 重 合，直角边 PM、PN 分别与 OA、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为 θ（0°<θ＜90°), PM、PN 分别交 AB、
BC 于 E 、F 两点，连接 EF 交 OB 于点 G .
（1）求四边形 OEBF 的面积；
（2）求证： OG•BD=EF2；
（3）在旋转过程中，当Δ BEF 与Δ COF 的面积之和最大时，求 AE 的长.
24 ．（10 分）如图， 一次函数 y=﹣x+4 的图象与反比例函数 y=（k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A（1 ，a），B（3，b）
两点．求反比例函数的表达式在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标求Δ PAB 的面积.
25 ．（10 分）某保健品厂每天生产 A ，B 两种品牌的保健品共 600 瓶， A ，B 两种产品每瓶的成本和利润如表，设每天 生产 A 产品 x 瓶，生产这两种产品每天共获利 y 元.
（1）请求出 y 关于 x 的函数关系式；
（2）如果该厂每天至少投入成本 26 400 元，那么每天至少获利多少元？
x
100
（3）该厂每天生产的 A，B 两种产品被某经销商全部订购，厂家对 A 产品进行让利，每瓶利润降低
生产可使每天获利最大？最大利润是多少？
元，厂家如何
B
35
15
A
50
20
成本（元/瓶）
利润（元/瓶 ）
26 ．（12 分）如图， AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 上一点， AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D ，AB，DC 的延长
线交于点 E .
（1）求证： AC 平分∠DAB；
（2）若 BE=3 ，CE=3 3 ，求图中阴影部分的面积.
27 ．（12 分）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒 子内分别装入标有数字 1，2 ，3，4 的四个和标有数字 1 ，2 ，3 的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个
球，如果所摸出的球上的数字之和小于 5，那么小王去， 否则就是小李去.
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平” ，你认同他的说法吗？请说明理由.
参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分， 共 48 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. )
【解析】
AC
=
CE
试题分析：根据平行线分线段成比例可得
BD
DF
,然后根据 AC=1 ，CE=6 ，BD=3，可代入求解 DF=1 ．2 .
故选 B
考点：平行线分线段成比例
2 、C
【解析】
直接利用 a，b 在数轴上的位置，进而分别对各个选项进行分析得出答案.
【详解】
选项 A，从数轴上看出， a 在﹣1 与 0 之间，
∴﹣1＜a＜0，
故选项 A 不合题意；
选项 B，从数轴上看出， a 在原点左侧， b 在原点右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
故选项 B 不合题意；
选项 C，从数轴上看出， a 在 b 的左侧，
∴a＜b，
即 a﹣b＜0，
故选项 C 符合题意；
选项 D，从数轴上看出， a 在﹣1 与 0 之间，
∴1＜b＜2，
∴|a|＜|b|，
∵a＜0，b＞0，
所以 a+b ＝|b|﹣|a|＞0，
故选项 D 不合题意.
故选： C .
【点睛】
本题考查数轴和有理数的四则运算，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小.
3 、D
【解析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】
解：从正面看第一层是二个正方形，第二层是左边一个正方形.
故选 A .
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解主视图是由主视方向看到的平面图形，属于基础题， 难度
不大.
4 、A
【解析】
根据中位数， 众数，平均数，方差等知识即可判断；
【详解】
观察图象可知， 共有 50 个学生，从低到高排列后，中位数是 25 位与 26 位的平均数，即为 1 .
故选 A .
【点睛】
本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
5 、D
【解析】
9
试题解析：根据题意得 n =30%，解得 n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球.
故选 D .
考点：利用频率估计概率.
6 、C
【解析】
根据 2013 年我省财政收入和 2014 年我省财政收入比 2013 年增长 8.9%，求出 2014 年我省财政收入，再根据出 2015 年比 2014 年增长 9.5%，2015 年我省财政收为 b 亿元，
即可得出 a、b 之间的关系式.
【详解】
∵2013 年我省财政收入为 a 亿元， 2014 年我省财政收入比 2013 年增长 8.9%，
∴2014 年我省财政收入为 a（1+8.9%）亿元，
∵2015 年比 2014 年增长 9.5%，2015 年我省财政收为 b 亿元，
∴2015 年我省财政收为 b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；
故选 C .
【点睛】
此题考查了列代数式，关键是根据题意求出 2014 年我省财政的收入，是一道基础题.
7 、A
【解析】
根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘计算即可.
【详解】
.
故选 A.
【点睛】
本题考查了有理数的乘法计算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则.
8 、A
【解析】
由频数分布表可知后两组的频数和为 10，即可得知总人数， 结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第 15 、16 个数
据的平均数，可得答案.
【详解】
由题中表格可知，年龄为 15 岁与年龄为 16 岁的频数和为x +10 x = 10 ，则总人数为3 +15 +10 = 30 ，故该组数据
的众数为 14 岁，中位数为
14 +14
2
= 14
（岁），所以对于不同的 x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选 A.
【点睛】
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方
差的定义和计算方法是解题的关键.
9 、D
【解析】
分析：连接 OD，则根据垂径定理可得出 CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形 OBD 的面积，代入扇形的面积公
式求解即可.
详解：连接 OD,
∵CD⊥AB，
1
CE = DE = ∴
2
CD =
3,
(垂径定理)，
S = S ，
故 OCE ODE
即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，
又∵ CDB = 30。，
∴
∴
COB = 60。
OC=2，
(圆周角定理)，
60 22 2
= ，
故 S 扇形 OBD= 360 3
即阴影部分的面积为
故选 D.
2
3
.
点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.
10 、D
【解析】
根据 E 点有 4 中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.
【详解】
E 点有 4 中情况，分四种情况讨论如下：
由 AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α
过点 E2 作 AB 的平行线，由 AB∥CD，
可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β
∴∠AE2C=α+β
由 AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β
由 AB∥CD，可得
∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360° ,
∴∠AE4C=360°-α-β
∴∠AEC 的度数可能是①α+β,②α﹣β,③β-α,④360°﹣α﹣β,故选 D.
【点睛】
此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.
11 、A
【解析】
找到从正面看所得到的图形即可.
【详解】
解：从正面可看到从左往右 2 列一个长方形和一个小正方形，
故选 A .
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.
12 、A
【解析】
分析：根据有理数的除法法则计算可得.
详解： 31÷(﹣1）= ﹣（31÷1）=﹣1 .
故选 A .
点睛：本题主要考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把
绝对值相除．2 除以任何一个不等于 2 的数，都得 2 .
二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分. )
13 、1
【解析】
由旋转的性质可得∠A=∠A' ＝50°,∠BCB'=∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA' ＝1°=∠B′CB .
【详解】
解：∵把Δ ABC 绕点 C 顺时针旋转得到Δ A'B'C'，
∴∠A=∠A' ＝50°,∠BCB'=∠ACA'
∵A'B'⊥AC
∴∠A'+∠ACA' ＝90°
∴∠ACA' ＝1°
∴∠BCB' ＝1°
故答案为：1 .
【点睛】
本题考查了旋转的性质， 熟练运用旋转的性质是本题的关键.
14 、9.2×10﹣1 .
【解析】
a < 10)
, 由题意可得 0.00092 用科学记数法表示是 9.2×10﹣1.
a 根10n (1 <
根据科学记数法的正确表示为
【详解】
根据科学记数法的正确表示形式可得:
0.00092 用科学记数法表示是 9.2×10﹣1.
故答案为: 9.2×10﹣1.
【点睛】
本题主要考查科学记数法的正确表现形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式.
11
15 、m≥ 4 且 m≠1 .
【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m﹣1≠0 且
部分即可.
= (一3)2 一 4 (m 一 5)根 (一1)之 0，
然后求出两个不等式的公共
【详解】
= (一3)2 一 4 (m 一 5)根 (一1)之 0，
解：根据题意得 m﹣1≠0 且
11
m 之 —
解得 4 且 m≠1 .
11
m 之 —
故答案为: 4 且 m≠1 .
【点睛】
本题考查了根的判别式： 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ =b2﹣4ac 有如下关系：当Δ >0 时，方程有两个不
相等的实数根；当Δ =0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程无实数根.
16 、4cm .
【解析】
由题意知 OD⊥AB，交 AB 于点 C，由垂径定理可得出 BC 的长，在 RtΔ OBC 中，根据勾股定理求出 OC 的长，由
CD=OD-OC 即可得出结论.
【详解】
由题意知 OD⊥AB，交 AB 于点 E，
∵AB=16cm，
1 1
∴BC= 2 AB= 2 ×16=8cm，
在 RtΔ OBE 中，
∵OB=10cm，BC=8cm，
∴OC= OB2 一 BC2 = 102 一 82 =6 （cm），
∴CD=OD-OC=10-6=4（cm）
故答案为 4cm .
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键.
17、
1
3
【解析】
试题分析：上方的正六边形涂红色的概率是 ，故答案为 .
考点：概率公式.
18、亏损 1
【解析】
设盈利 20%的电子琴的成本为 x 元，设亏本 20%的电子琴的成本为 y 元，再根据（1+利润率） ×成本=售价列出方程， 解方程计算出 x、y 的值，进而可得答案.
【详解】
设盈利 20%的电子琴的成本为 x 元，
x（1+20%）=960，
解得 x=10；
设亏本 20%的电子琴的成本为 y 元，
y（1-20%）=960，
解得 y=1200；
∴960×2-（10+1200）=-1，
∴亏损 1 元，
故答案是：亏损； 1 .
【点睛】
考查了一元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程.
三、解答题： （本大题共 9 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19 、（1）a=-1 ，B 坐标为（1,3）；（2）y=-（x-3）2+3，或 y=-（x-7）2+3.
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图，设抛物线向右平移后的解析式为 y=-(x-m)2+3,再用 m 表示点 C 的坐标， 需分两种情况讨论，用待定系数法 即可解决问题.
【详解】
（1）把点 A（0,2）代入抛物线的解析式可得， 2=a+3，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为 y=-（x-1）2+3 ，顶点为（1,3）
（2）如图，设抛物线向右平移后的解析式为 y=-(x-m)2+3，
(|y = - (x - 1)2 + 3
由〈|ly = - (x - m)2 + 3解得 x=
m +1
∴点 C 的横坐标为 2
∵MN=m-1,四边形 MDEN 是正方形，
m +1
∴C（ 2 ，m-1）
把 C 点代入 y=-（x-1）2+3，
(m 一 1)2
得 m-1=- 4 +3,
解得 m=3 或-5（舍去）
∴平移后的解析式为 y=-（x-3）2+3，
m +1
当点 C 在 x 轴的下方时， C（ 2 ，1-m）
把 C 点代入 y=-（x-1）2+3，
(m 一 1)2
得 1-m=- 4 +3,
解得 m=7 或-1（舍去）
∴平移后的解析式为 y=-（x-7）2+3
综上：平移后的解析式为 y=-（x-3）2+3，或 y=-（x-7）2+3.
【点睛】
此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知正方形的性质与函数结合进行求解.
20 、（1）见解析； （2）t＝（6 5 +6），最小值等于 12；（3）t ＝6 秒或 6 5 秒时， Δ EPQ 是直角三角形
【解析】
（1）由∠ECF=∠BCD 得∠DCF=∠BCE，结合 DC ＝BC 、CE ＝CF 证Δ DCF≌△BCE 即可得；
（2）作 BE′⊥DA 交 DA 的延长线于 E′ ．当点 E 运动至点 E′时，由 DF ＝BE′知此时 DF 最小，求得 BE′ 、AE′即可得答
案；
（3）①∠EQP ＝90°时，由∠ECF=∠BCD、BC ＝DC、EC ＝FC 得∠BCP=∠EQP ＝90° , 根据 AB ＝CD ＝6 5 ，tan∠ABC
=tan∠ADC ＝2 即可求得 DE；
5
②∠EPQ ＝90°时，由菱形 ABCD 的对角线 AC⊥BD 知 EC 与 AC 重合，可得 DE ＝6 .
【详解】
（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF=∠BCE，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴DC ＝BC，
在Δ DCF 和Δ BCE 中，
(|CF = CE
〈经DCF = 经BCE
|lCD = CB
,
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF ＝BE；
（2）如图 1，作 BE′⊥DA 交 DA 的延长线于 E′ .
当点 E 运动至点 E′时， DF ＝BE′，此时 DF 最小，
5
在 RtΔ ABE′中， AB ＝6 ，tan∠ABC ＝tan∠BAE′ ＝2，
∴设 AE′ ＝x，则 BE′ ＝2x，
∴AB ＝ 5 x ＝6 5 ，x ＝6，
则 AE′ ＝6
∴DE′ ＝6 5 +6，DF ＝BE′ ＝12，
时间 t=6 5 +6，
故答案为： 6 5 +6 ，12；
（3）∵CE ＝CF，
∴∠CEQ＜90° ,
①当∠EQP ＝90°时，如图 2①,
∵∠ECF=∠BCD ，BC ＝DC，EC ＝FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP ＝90° ,
∵AB ＝CD ＝6 5 ，tan∠ABC ＝tan∠ADC ＝2，
∴DE ＝6，
∴t ＝6 秒；
②当∠EPQ ＝90°时，如图 2②,
∵菱形 ABCD 的对角线 AC⊥BD，
∴EC 与 AC 重合，
∴DE ＝6 5 ，
∴t ＝6 5 秒，
综上所述， t ＝6 秒或 6 5 秒时， Δ EPQ 是直角三角形.
【点睛】
此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意（3）中
的直角没有明确时应分情况讨论解答.
21 、【小题 1】 见解析
【小题 2】 见解析
【小题 3】
【解析】
证明：（1）连接 OF
∴FH 切 · O 于点 F
∴OF⊥FH ………………………… 1 分
∵BC | | FH
∴OF⊥BC ………………………… 2 分
∴BF="CF" ………………………… 3 分
∴∠BAF=∠CAF
即 AF 平分∠BAC…………………4 分
（2） ∵∠CAF=∠CBF
又∠CAF=∠BAF
∴∠CBF=∠BAF ………………………… 6 分
∵BD 平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∴∠BAF+∠ABD=∠CBF+∠CBD
即∠FBD=∠FDB………………………… 7 分
∴BF="DF" ………………………… 8 分
（3） ∵∠BFE=∠AFB ∠FBE=∠FAB
∴ΔBEF∽ΔABF … … … … … … … … … … 9 分
∴ 即 BF2=EF·AF …………………… 10 分
∵EF=4 DE=3 ∴BF="DF" =4+3=7
AF=AD+7
即 4（AD+7）=49 解得 AD=
22、见解析
【解析】
分别作∠ABC 和∠ACB 的平分线，它们的交点 O 满足条件.
【详解】
解：如图，点 O 为所作.
【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分
线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） .
1
________
4 .
1
________
23 、（1）
【解析】
（2）详见解析； （3）AE=
4 ；
1
________
（1）由四边形 ABCD 是正方形， 直角∠MPN，易证得Δ BOE≌△COF（ASA），则可证得 S 四边形 OEBF=SΔ BOC= 4 S
正方形 ABCD；
（2）易证得Δ OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 OG•OB=OE2，再利用 OB 与 BD 的关系， OE
与 EF 的关系，即可证得结论；
（3）首先设 AE=x，则 BE=CF=1﹣x，BF=x，继而表示出Δ BEF 与Δ COF 的面积之和， 然后利用二次函数的最值问题，
求得 AE 的长.
【详解】
（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90° ,
∴∠BOF+∠COF=90° ,
∵∠EOF=90° ,
∴∠BOF+∠COE=90° ,
∴∠BOE=∠COF，
在Δ BOE 和Δ COF 中，
(|经BOE = 经COF
〈|lEQ \* jc3 \* hps35 \\al(\s\up 17(O),经)EQ \* jc3 \* hps35 \\al(\s\up 17(B),O)EQ \* jc3 \* hps35 \\al(\s\up 17(=),B)EQ \* jc3 \* hps35 \\al(\s\up 17(O),E)经OCF ,
∴△BOE≌△COF（ASA），
1
________
4
∴S 四边形 OEBF=SΔ BOE+SΔ BOE=SΔ BOE+SΔ COF=SΔ BOC=
（2）证明：∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45° ,
S 正方形 ABCD
1
= 根1根1 = 4
1
-；
4
2
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2，
1
OB = ∵
2
BD，OE =
2
EF，
∴OG•BD=EF2；
（3）如图，过点 O 作 OH⊥BC，
∵BC=1，
1 1
OH = BC = ，
∴ 2 2
设 AE=x，则 BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴SΔ BEF+SΔ COF= BE•BF+ CF•OH = x (1- x)+ (1- x)根 = - (|（x - 2 + ，
∵
1
a = - - 2
< 0，
1
x = -
∴当 4 时， SΔ BEF+SΔ COF 最大；
AE =
即在旋转过程中，当Δ BEF 与Δ COF 的面积之和最大时，
1
4
【点睛】
本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.
24 、（1）反比例函数的表达式 y=，（2）点 P 坐标（ ，0）， (3)SΔ PAB= 1.1 .
【解析】
（1）把点 A（1，a ）代入一次函数中可得到 A 点坐标，再把 A 点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表 达式；（2）作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 AD 交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小. 由 B 可知 D 点坐标，再由待 定系数法求出直线 AD 的解析式，即可得到点 P 的坐标；（3）由 SΔ PAB=SΔ ABD﹣SΔ PBD 即可求出Δ PAB 的面积.
解：（1）把点 A（1 ，a ）代入一次函数 y=﹣x+4，
得 a=﹣1+4，
解得 a=3，
∴A（1，3），
点 A（1，3）代入反比例函数 y=
得 k=3，
k
x
,
3
∴反比例函数的表达式 y= x ，
3
（2）把 B（3，b）代入 y=x 得， b=1
∴点 B 坐标（3 ，1）；
作点 B 作关于 x 轴的对称点 D，交 x 轴于点 C，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小， ∴D（3，﹣1），
设直线 AD 的解析式为 y=mx+n，
(m + n = 3
〈
把 A，D 两点代入得，
l3m + n = - 1 ， 解得 m=﹣2，n=1，
∴直线 AD 的解析式为 y=﹣2x+1，
令 y=0，得 x=
5
2
,
5
∴点 P 坐标（2 ，0），
(3)SΔ PAB=SΔ ABD﹣SΔ PBD=
1
________
2
1 1 1
2 ×2×2﹣ 2 ×2× 2 =2﹣
=1.1 .
点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的
重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫.
25 、（1）y=5x+9000；（2）每天至少获利 10800 元；（3）每天生产 A 产品 250 件， B 产品 350 件获利最大，最大利润为 9625 元.
【解析】
试题分析： （1）A 种品牌白酒 x 瓶，则 B 种品牌白酒（600-x）瓶；利润=A 种品牌白酒瓶数×A 种品牌白酒一瓶的利润 +B 种品牌白酒瓶数×B 种品牌白酒一瓶的利润，列出函数关系式；
（2）A 种品牌白酒 x 瓶，则 B 种品牌白酒（600-x）瓶；成本=A 种品牌白酒瓶数×A 种品牌白酒一瓶的成本+B 种品牌 白酒瓶数×B 种品牌白酒一瓶的成本，列出不等式，求 x 的值，再代入（1）求利润 .
3
（3）列出 y 与 x 的关系式，求 y 的最大值时， x 的值.
试题解析：
（1）y=20x+15(600-x) =5x+9000，
∴y 关于 x 的函数关系式为 y=5x+9000；
（2）根据题意，得 50 x+35(600-x)≥26400，
解得 x≥360，
∵y=5x+9000 ，5＞0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴当 x=360 时， y 有最小值为 10800，
∴每天至少获利 10800 元；
（3） y = (|（20 - 1EQ \* jc3 \* hps35 \\al(\s\up 14(x),0)0 x +15(600 - x ) = - 1EQ \* jc3 \* hps35 \\al(\s\up 11(1),0)0 (x - 250 )2 + 9625 ，
1
-___
∵ 100
< 0
,∴当 x=250 时， y 有最大值 9625，
∴每天生产 A 产品 250 件， B 产品 350 件获利最大，最大利润为 9625 元.
26 、（1）证明见解析； （2）
9 3 3π
___ - __
2 2
【解析】
（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得 CO⊥CD，则 AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而
得到∠DAC=∠CAO；
（2）设⊙O 半径为 r，利用勾股定理得到 r2+27=（r+3）2，解得 r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60° , 然后根据扇形的面积公式，利用 S 阴影=SΔ COE﹣S 扇形 COB 进行计算即可.
【详解】
解：（1）连接 OC，如图，
∵CD 与⊙O 相切于点 E，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即 AC 平分∠DAB；
（2）设⊙O 半径为 r，
在 RtΔ OEC 中，∵OE2+EC2=OC2，
∴r2+27=（r+3）2，解得 r=3，
∴OC=3 ，OE=6，
OC 1
____________ =
∴cs ∠COE=
OE 2
,
∴∠COE=60° ,
∴S 阴影=SΔ COE﹣S 扇形 COB=
1
________
•3•3
2
60?π ·32 9 3 3
= - π
.
﹣ 360 2 2
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出
垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式.
1
27 、（1） 2 ；（2）规则是公平的；
【解析】
试题分析： （1）先利用画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；
（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平.
试题解析： （1）画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于 6 的情况有 9 种，
3
________
所以 P（小王） = 4 ；
（2）不公平，理由如下：
3 1 3 1
∵P（小王） =4 ，P（小李） = 4 ， 4 ≠ 4 ，
∴规则不公平.
点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率， 概率相等就公平， 否则就不公平．用
到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.