2024福建省中考数学三模冲刺训练试卷（解析版）

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1 ．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数，互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：的相反数是．
故选：C．
2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
3 .第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为平方米，数字用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示方法：，，为整数，进行表示即可．确定，的值，即可．
【详解】解：；
故选：B．
4 . 如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，
若，，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故选：C
5 .不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A. B. C.D.
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
解得：，
∴不等式组的解集为：；
故选：B
6.下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示：
研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是（ ）
A．5，6B．5，5C．6，5D．8，6
【答案】A
【分析】根据众数的定义和中位数的定义，对表格进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵根据表格可得：5出现的次数最多，
∴研究性学习小组学员出勤次数的众数是5，
∵研究性学习小组共有学员为：（人），
∴将出勤次数按从小到大进行排列后，第10个数和第11个数的平均数即为中位数，
∴中位数为：，
综合可得：研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是5，6．
故选：A．
7. 如图，在中，，，．按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心、大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN交AC于点D，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和得到∠C=180°-75°-60°=45°，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，求得∠BDC=90°，得到∠ADB=90°，利用含30度的直角三角形以及勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=60°，
∴∠C=180°-75°-60°=45°，
由作图步骤得，直线MN是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=45°，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°，
∵AB=2，且∠ABD=30°，
∴AD=1，BD=，
∴CD=BD，
故选：D．
赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，
再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B

9 . 已知：中，是中线，点在上，且，．则 = （ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知得出，则，进而证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵中，是中线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
，
故选：B．
10 . 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，
同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．
设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．
【详解】解：当时，分别在线段，

此时，
，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为一次函数，图象为直线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；
结合选项，只有B选项符合题意，
故选：B
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 分解因式： .
【答案】．
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解：，
故答案为：．
12 .一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
13 . 如图，菱形的对角线，相交于点，点为的中点，
若，则菱形的边长是_______

【答案】6
【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出菱形边长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵点E为的中点，，
∴AD=2OE=6，
故答案为：6
14. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．
若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料厘米，
则此圆弧所在圆的半径为 厘米．

【答案】36
【分析】利用弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，
由题意，得，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为36厘米．
故答案为：36
15. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，
若米，则点到直线距离为_________

【答案】米
【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，
根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点到直线距离为米，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得，（米，
故答案为 米
16. 如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，
若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为__________．
解：过E作轴于H，
设，，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴，
∴，
∴OF=CH．
∵点F是BC的中点，，
∴，，
同理，
则，，，
故，
则点，
将点E的坐标代入，
得，而，
解得：，，，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.计算：．
【答案】2
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：


．
18. 解不等式组：
【答案】
【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再取公共部分即可．
【详解】解：解不等式，
，
解得:．
解不等式，
，
解得：．
所以原不等式组的解集是：．
19. 如图，，点F、E在上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，然后利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的运算法则和混合运算顺序进行化简，再把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
当时，．
如图，在中，，以为直径作，交于点F，
过C点作交延长线于点D，E为上一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC，∠D=∠EBD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，推出∠CBE=90°，于是得到结论；
（2）连接BF，根据圆周角定理得到BF⊥AC，根据三角函数的定义得到BF=4，设CF=x，列出关于x的方程并求解，再根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵AC=BC，EB=ED
∴∠A=∠ABC，∠D=∠EBD
∵CD⊥AC
∴∠A+∠D=90°
∴∠ABC+∠EBD=90°
∴∠CBE=90°
∵BC是⊙O的直径．
∴BE是⊙O的切线．
（2）解：连接BF
∵BC是⊙O的直径．
∴∠BFC=∠BFA=90°
在Rt△ABF中，tanA=
∴BF=4
设CF=x，则AC=BC=x+2
在Rt△BCF中，
即
∴x=3
∴CF=3，BC=5
∵∠ACB=∠AFB=90°
∴BF∥CD
∴∠1=∠2
又∵∠CFB=∠EBC=90°
∴△CFB∽△EBC
∴
∴
∴BE=
22 .第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，
某校开展了“热爱体育，喜迎大运”系列活动，增设篮球、足球、柔道、射击共四个课外活动项目．
为了解全校1800名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，
对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，
并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：

(1)参加问卷调查的同学共______名，补全条形统计图；
(2)估计该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数；
(3)学校准备组建一支校足球队，某班甲、乙、丙、丁四名同学平时都很喜欢足球运动，
现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中乙、丙两名同学的概率．
【答案】(1)60，补全条形统计图见详解.
(2)该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人.
(3).
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数，用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用1800乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中乙、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：参加问卷调查的同学共（名）
喜爱柔道的人数为（名），补全条形统计图如图所示；
（2）解：（人），
∴该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人；
（3）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中乙、丙两名同学的概率为．
23. 如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度，
如图，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由
(结果精确到，参考数据：，，，
【答案】(1)
(2)没有碰头的危险，理由见解析
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点于，根据正弦的定义求出，进而求出车后盖最高点到地面的距离；
（2）过点作于点，根据题意求出，根据余弦的定义求出，再求出点到地面的距离，比较大小证明结论．
【详解】（1）解：如图，作于，
在中，，，
，
，
点到地面的距离为：，
答：车后盖最高点到地面的距离约为；
（2）没有碰头的危险，
理由如下：如图，过点作于点，
在中，，
则，
，
，
，
，
点到地面的距离为：，
，
没有碰头的危险．
24 .在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．

【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
25 . 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
(3)当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线的表达式为，
当时，得：，
∴，，
当时，得：，解得：，
∴，，
∵抛物线交轴于，两点，交轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴于点，
设，
∴，，，
∴，
∵抛物线交轴于，两点，
当时，得：，
解得：，，
∴，，
∵
，
又∵，即抛物线的图像开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）存在，理由：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，
∴，
如图所示，连接，
①，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴当点的坐标为时，；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
此时点在轴上，不符合题意，舍去．
综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
出勤次数
4
5
6
7
8
学员人数
2
6
5
4
3