专题11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（4题型）-2024年中考数学抢分精讲（全国通用）

这是一份专题11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（4题型）-2024年中考数学抢分精讲（全国通用），文件包含抢分秘籍11几何图形中求线段线段和面积等最值问题4题型原卷版docx、抢分秘籍11几何图形中求线段线段和面积等最值问题4题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。

目录
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几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！
题型一 线段最值问题
【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．

(1)求的长度；
(2)如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形．
①当时，试求的长度；
②如图3，点为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形.
【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，．
(1)填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______；
(2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长；
(3)若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)．
1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点G．
①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为 ．
2．（2024·重庆·一模）在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，．
(1)若，当点在线段上时，交于点，点为中点．
①如图1，若，求的长度；
②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，求证：．
(2)如图3，若．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值．
3．（2024·陕西西安·一模）问题提出：
（1）如图①，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为__________．
问题探究：
（2）如图②，在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，点为上的动点，将折叠，点的对应点为点，求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点处为参观入口，的中点处规划为“优秀”作品展台，求点与点之间的最小距离．
4．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
题型二 线段和的最小值问题
【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________．
【问题探究】
（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值；
【实际应用】
（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．
【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形．
(1)【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________；
(2)【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分；
(3)【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值．
1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且，连接．

(1)如图1，C为线段上一点，连接，将绕点O逆时针旋转得到，连接，求的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，，且，E为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
2．（2024·陕西西安·二模）（1）如图，半径为的外有一点，且，点在上，则的最大值和最小值分别是______和______；
（2）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接、，求最小时的长；
（3）如图，在中，，，点到的距离为，动点、在边上运动，始终保持，在边上有一个直径为的半圆，连接与半圆交于点，连接、，求的最小值．

3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】
（1）如图①，为半圆的直径，点为半圆的上一点，切半圆于点，若，，则的最小值为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在矩形中，，，点为矩形内一点，连接、，若矩形的面积是面积的3倍，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，平面图形为某校园内的一片空地，经测量，米，，，，米，劣弧所对的圆心角为，所在圆的圆心在的延长线上，米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在上选取一点，在弧上选取一点，并在点和点处各插上一面小旗，从点出发，先到点处拔下小旗，再到点处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程应最短，问是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．
4．（2024·江西·一模）如图1，在矩形中，，点分别是上的中点，过点分别作与交于点，连接．
特例感知
（1）以下结论中正确的序号有______；
①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③以为边围成的三角形不是直角三角形；
类比发现
（2）如图2，将图1中的四边形绕着点旋转，连接，观察与之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；
拓展应用
（3）连接，当的长度最大时，
①求的长度；
②连接，若在内存在一点，使的值最小，求的最小值．
题型三 面积的最小值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．

本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．
【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形中，分别在边上，且，连接，试探究之间的数量关系．解决这个问题可将绕点逆时针旋转到的位置（易得出点在的延长线上），进一步证明与全等，即可解决问题．
(1)如图1，正方形中，，则______；
(2)如图2，正方形中，若，过点作交于点，请计算与的比值，写出解答过程；
(3)如图3，若，正方形的边长，试探究面积的最小值．
1．（2023·陕西西安·一模）问题发现
（1）在中，，，则面积的最大值为 ；
（2）如图1，在四边形中，，，，求的值．
问题解决
（3）有一个直径为的圆形配件，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞，要求，，并使切割出的四边形孔洞的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形？若存在，请求出四边形面积的最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．
2．问题提出：
（1）如图①，已知是面积为的等边三角形，是的平分线，则的长为______．
问题探究：
（2）如图②，在中，，，，点为的中点，点，分别在边，上，且．证明：．
问题解决：
（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点，分别在，上，连接、、，，、分别在、上，连接、，，，其中四边形种植玫瑰，和种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形的面积为，为了节约成本，矩形花园的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形的最小面积，若不存在，请说明理由．

3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，，，，交于点E，若，则 ；
（2）如图2，矩形内接于， ，点 P 在上运动，求 的面积的最大值；
（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为 120米的正方形荒地 (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边，上分别取点P，Q，修建一条笔直的通道，要求 ，过点 B 作 于点E，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路，并计划在 内种植花卉， 内修建老年活动区， 内修建休息区，在四边形内修建儿童游乐园．问种植花卉的 的面积是否存在最小值？ 若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
题型四 面积的最大值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西咸阳·一模）问题提出：
（1）如图①，的半径为4，弦，则点O到的距离是_____________．
问题探究：
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决：
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等边的边是的弦，顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积的最小值）
此题是圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，灵活运用这些知识并数形结合是解题的关键．
【例2】（2024·陕西咸阳·一模）
(1).【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为 ；
(2).【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是弧上的一个动点，连接，求的最小值；
(3).【灵活运用】（3）如图3，的直径为8，弦，点C为优弧上的一动点，，交直线于点M，求面积的最大值．
1．（2024·陕西宝鸡·一模）提出问题：
（1）如图1，在中，，，，则BC边上的高AD的长为______；
问题探究：
（2）如图2，内接于，弦，半径为6，求面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某园区内有一块直角三角形的空地，在空地边的中点D处修建了一个儿童游乐场，为了吸引更多人来园区，在空地外E处修建一个大型商场，且满足游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直（即），连接，在处种植绿植，其中，测得米，米，请问绿植面积能否取到最大？若能，请求出面积的最大值，若不能，请说明理由．
2．（2024·广东深圳·一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
3．（2024·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点重合），连接点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点，连接．

(1)的度数；
(2)连接，求证：；
(3)连接，若正方形的边长为10，求的面积最大值．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）（1）【操作发现】
如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示．
①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度．
（2）【类比探究】
如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为_____．