专题13 二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题-2024年中考数学抢分精讲（全国通用）

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目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！
题型一 二次函数中求线段的最值问题
【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值；
(3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)的最大值为；
(3)点Q的坐标为．
【分析】（1）将点代入，求得，即可得解；
（2）求得点和的坐标，推出，作轴于点，交于点，得到是等腰直角三角形，，设，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）作轴于点，作轴于点，求得，证明，利用正切函数的定义求得，证明是等腰直角三角形，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，；
当时，，
解得或；
∴，，
∴，
∴，
作轴于点，交于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴有最大值，最大值为；
（3）解：作轴于点，作轴于点，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理直线的解析式为，
联立得，
解得或；
当时，，
∴点Q的坐标为．
本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．
【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
(1)求点，的坐标；
(2)随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为
【分析】（1）得，解方程即可求得的坐标，把化为顶点式即可求得点的坐标；
（2）①在上取点，使得，连接，证明是等边三角形即可得出结论；②证，利用相似三角形的性质得即，解得进而利用二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，

∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②设，则，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴当时，有最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．
1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值为．此时
(3)为直角三角形时，点M的坐标为：或
【分析】（1）把点坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求线的解析式，设点的横坐标为，再用的代数式表示的长度建立二次函数求解即可；
（3）先求直线BE的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）由题意得，解得：．
则抛物线的解析式为：；
（2）过点P作轴于点H，交于点G
当时，，解得或3，
∴
设直线的解析式为：，
则
解得：
∴
设点（），则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
∴当时，取得最大值为．此时．
（3）在上存在点M，使为直角三角形．
抛物线顶点，设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴．
设，
①∵，∴，不可能为直角；
②当时，则 ∴轴，
则，∴，∴．
③当时，过点M作轴于点F．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∵，∴不合题意，应舍去，∴
∴
综上所述，为直角三角形时，点M的坐标为：或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．
2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标．
【答案】(1)；
(2)的最大值为，此时点；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
（）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移个单位得到，，勾股定理分别表示出，，进而分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）∵与轴交于点，，
当时，，
解得：，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
（3）∵抛物线，
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移个单位得到，
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴，
∴，
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接，作直线．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式；
(2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线于点M，N，试探究线段长的最大值；
(3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线与y轴交于点H，连接，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，直线的表达式为；
(2)线段长的最大值为；
(3)点Q的坐标为或．
【分析】（1）令，求得的值，令，求得的值，可求得A，B，C三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）设，则，证明，利用正切函数的定义推出，求得，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用勾股定理求得，，作于点，用正切函数的定义推出，分和两种情况讨论，分别求得点的坐标，求得直线的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
令，则，
∴，，，
设直线的表达式为，
代入得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，，
∴，，，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，∴当时，线段长的最大值为；
（3）解：∵，，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，，，
∴，
作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
以H，C，B为顶点的三角形与相似，则分和两种情况讨论，
①当时，
∵，
∴，
∴，
同理求得直线的表达式为，
联立得，
解得，（舍去），
，
∴点Q的坐标为；
①当时，设，
则，，
∴，
解得，
∴，
同理求得直线的表达式为，
联立得，
解得，（舍去），
，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．
题型二 将军饮马河求二次函数中线段和最值问题
【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，且，连接，．
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标；
（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，
∴
将，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，

设直线的解析式为，
将，代入，得
，解得，
∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则，，
∴
∵，∴，解得，
∴；
（3），，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，
∴的值最小就是最小值，
显然点在直线上运用，
作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，

∵点C关于直线对称的对称的点是点，
∴，
∴，
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
直线的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是
又∵，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为即
故答案是：，．
本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．
【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，求的最小值．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)平行四边形，见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法将B点坐标代入抛物线中，即可求解．
（2）作辅助线，根据题意，求出的长，，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
（3）作出图，证明，的最小值为，根据勾股定理求出即可解答．
【详解】（1）解： 抛物线过点，
，
，
．
即抛物线的表达式为．
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图1，作交轴于点，连接、，
点在上，
，，
连接，
，
．
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
轴，轴，
，
四边形是平行四边形．
（3）如图2，由题意得，，连接，
在上方作，使得，，
，，
，
，
，，，
，
，
（当M，Q，B三点共线时最短），
的最小值为，
，，
即的最小值为．
答：的最小值为．
【点睛】本题主要考查待定系数法，二次函数图象与性质，平等四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答醒的关键．
1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时；求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，求的坐标以及的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记与对称轴的交点为，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接，延长交抛物线于，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线经过点，
设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
抛物线为：
（2）解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设 且 记与对称轴的交点为，
设直线为：
解得：
直线为：



解得：或
∵ 则
（3）如图，连接，延长交抛物线于，则此时最大，


设为： 代入、两点坐标，

解得：
∴为：

解得：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．
2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
图1 图2 图3
(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标；
(2)如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时最小，求出Q点的坐标，并求出此时的周长；
(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)，对称轴为直线，顶点D的坐标为；
(2)的周长的最小值为；
(3)直线恒过定点，定点坐标为．
【分析】（1）求得点B的坐标为，点C的坐标为，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解；
（2）先求得直线的解析式，再求直线与对称轴交点Q，将转化为，在中求，在中求即可求解；
（3）如图，过点D作直线垂直轴，再过点M，N分别作直线的垂线，设点M的坐标为，点N的坐标为，证明，求得，再利用待定系数法求得直线的解析式为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴对称轴为直线，顶点D的坐标为；
（2）解：∵点A与点关于直线对称，
∴直线与对称轴的交点为Q，则Q为最小时位置，
设直线的解析式为，
代入点得，解得，
∴直线的解析式为，
当，，
∴，
∵点，
∵，
，
∴的周长的最小值为；
（3）解：如图，过点D作直线垂直轴，再过点M，N分别作直线的垂线，垂足分别为H，G，
设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵顶点D的坐标为，
∴，，
，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵点M的坐标为，点N的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
得，
∵，
∴，
将代入①得，
求得；
∴直线的解析式为，
∵，即，
∴，
∴当即时，，
∴无论为何值，直线总会经过定点，
∴直线恒过定点，定点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求直线的解析式及抛物线的解析式；
(2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大；
(3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式．
【答案】(1)，；
(2)点的横坐标为时，有最大值；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）设点的横坐标为，则，，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据二次函数的性质即可求解；
（）设平移后抛物线的解析式，联立函数解析式得，整理得，，设，，则，是方程的两根，由为的中点可得，求出即可求解；
本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，把代入得，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的横坐标为，则，，，
，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
轴，
为等腰直角三角形，
，
∴，
当时，有最大值，
即点的横坐标为时，有最大值；
（3）解：由（）可知，直线的解析式为，
抛物线为：，
设平移后抛物线的解析式，
联立函数解析式得，，
，
整理得，，
设，，则，是方程的两根，
，
∵为的中点，
∴，
∴，
解得，
抛物线的解析式．
题型三 胡不归求二次函数中线段和最值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线为常数，与轴交于点、点两点，与轴交于点，对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上的点且在第二象限，过作于点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点M作轴，交于点E，先求出一次函数的解析式，用解直角三角形的方法求出，表示出，设，，分别表示出，最后得到，求出最后结果即可．
【详解】（1）解：点，对称轴为，
，，，
解得：，，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，过点M作轴，交于点E，
设的解析式为，
，，
的解析式为，
，，
，
，
，，
，
，，
，
设，，
，
，
，，，
，
，
，
当时， 的最大值为．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点．
(1)求抛物线表达式；
(2)点，点在轴上，点在平面内，，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标；
②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：①抛物线交轴于点，交轴于点和点，
，
解得：
；
（2）解：
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
为与轴交点，
，
，
四边形是平行四边形，
且，且点在点下方，
点在轴上，点在平面内，，
，
，
或，
若为，
，
故，
若为，
，此时，矛盾，舍去，
综上，点的坐标为；
②如图，设的解析式为
抛物线交轴于点，
点的坐标为，，
将点、的坐标代入得：
，
解得，
的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
所以点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、的坐标代入直线的解析式得：
，
解得，
所以直线的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
点的坐标为，
当旋转到轴上时，此时最短，
的最小值为．
1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求抛物线表达式中的、；
(2)点是直数上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，请直接写出新抛物线的表达式______．
【答案】(1)，
(2)取得最大值为，此时．
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式：
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）延长交轴于，根据题意求得直线的解析式为，，设点，则，，证得是等腰直角三角形，从而求得，即可求解；
（3）先求得，根据由抛物线，向右和向下分别平移2个单位长度得到，进而可求解；
掌握待定系数法求函数解析式及利用数学结合是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线交于和，
，
解得：．
（2）延长交轴于，如图：
，，
直线的解析式为，，
轴，
轴，
，
，
，
，
，
，
设点，则，，
，，
，
的最大值为，此时点的坐标为．
（3），，
，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，
由抛物线，向右和向下分别平移2个单位长度得到，
，
故答案为：．
2．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点，
①当P为抛物线的顶点时，求证：直角三角形；
②求出的最大面积及此时点P的坐标；
③过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①是直角三角形；②；③
【分析】（1）把A、B、C三点坐标代入求解即可；
（2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出；
②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可；
③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点，，代入解析式得：
，解得：，
∵抛物线的解析式为；
（2）解：①配方得
∴点P的坐标为，
作轴于点H，则，
∴
又∵在中，，
∴，
∴
∴是直角三角形
②设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∴，
当时，的最大面积为，
，
∴
③设点（），过点P作轴于点N，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·山东济南·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标；
(3)如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，求得的解析式，设，则，利用相似三角形的判定与性质可得答案；
（3）在轴上取一点，使得，连接，由相似三角形的判定与性质可得，可得，即可解答．
【详解】（1）解：将代入，
得，
，
抛物线的解析式为，
令，则，
，
令，则，
，，
，即；
∴，，
（2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，

设：，将，代入得解得：，，
：，
设，则，
，
，
，
，
将代入，
，
，
，
，
，
舍，，
；
（3）在轴上取一点，使得，连接，

根据旋转得性质得出：，
∵，
，
，
，
，
，
，
，当B、、F三点共线时，此时最小=，
最小值为：．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数与面积的问题、待定系数法求解析式，旋转的性质等知识．正确的作出辅助线是解此题的关键．
题型四 化简求值的解法
【例1】（2024·四川广元·二模）如图，二次函数的图象与x 轴交于原点O 和点，经过点A的直线与该函数图象交于另一点，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数解析式及点C的坐标．
(2)点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，过点B作轴于点F，连接，与交于点G，连接．求四边形面积的最大值．
(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后计算出与x轴交点坐标即可；
（2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，设点P的坐标为，可以得到四边形为矩形，然后根据配方找到顶点坐标即可解题；
（3）如图，连接，过点B作轴，垂足为N，过点A作轴，两线相交于点M，在线段上取点H，使，连接，，则与抛物线的交点即为所求点Q，得到，则有，且即可得到方程解题即可．
【详解】（1）设直线的函数解析式为．
将A，B两点的坐标分别代入中，
得解得
∴直线的函数解析式为
将代入，得，
∴点C的坐标为
（2）由题可知，抛物线过三点，
解得
,
设点P的坐标为，设直线的解析式为，
则，解得
∴直线的解析式为
∵直线为，
∴．
∵轴，交直线于点D，
∴．
∴．
∴轴．
∴四边形为矩形．
∴，
，
∵，对称轴为直线，
∴当时，最大为；
（3）存在．如图，连接，过点B作轴，垂足为N，过点A作轴，两线相交于点M，在线段上取点H，使，连接，，则与抛物线的交点即为所求点Q．理由如下：
∵点，
∴．
又点，
∴点．
∴．
又，，
∴．
∴，且．
∴．
∴与抛物线的交点Q即为所求的点．
∵，
∴点．
∴直线的解析式为．
令．
解得（舍去），．
．
∴点 Q的坐标为．
本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形面积的综合，等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【例2】（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线与x轴的交点为，与y轴交点为C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线的A~B段上存在点P，求五边形面积的最大值；
(3)问该抛物线上是否还存在与点P不重合的点Q，使以A、B、C、D、Q五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形面积的最大值，若存在，直接写出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而根据对称性求出点B的坐标，再求出直线解析式，过点P作轴交于E，设，则，则，根据进行求解即可；
（3）由对称性可知，点P与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点Q的横坐标为；求出抛物线顶点坐标为，可得顶点与B、C组成的三角形面积为，再由四边形，则顶点与A、B、C、D组成的五边形面积为，即当点Q与顶点重合时，符合题意，即此时点Q的横坐标为1；当点Q在x轴上方时，只需要满足即可，求出此时点Q的横坐标即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∵与x轴的交点为，
∴对称轴为直线，
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
过点P作轴交于E，设，则，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值；
（3）解：由（2）可知，的面积最大时，点P的横坐标为3，
由对称性可知，点P与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点Q的横坐标为；
∵抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
∴顶点与B、C组成的三角形面积为，
又∵四边形，
∴顶点与A、B、C、D组成的五边形面积为，
∴当点Q与顶点重合时，符合题意，即此时点Q的横坐标为1；
当点Q在x轴上方时，只需要满足即可，
∴，
∴，
∴，
当时，解得，
∴此时点Q的横坐标为；
综上所述，符合题意的点Q的横坐标为或．
1．（2024·山东济南·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)当或时，线段与抛物线只有一个公共点
【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式；
（2）连接，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可．
【详解】（1）解：令，得，
∴，
令，得，解得，，
∴，
把、两点代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）连接，如图，

设，
令，得，
解得：，或，
∴；
则
，
∴当时，四边形面积最大，其最大值为，
此时M的坐标为；
（3）∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，

∴，，
∴，，
当在抛物线上时，有，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，，
∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置．
2．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点，为抛物线的顶点．
图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是第一象限内抛物线上一动点，连接，设点的横坐标为．
①当为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
②当为何值时，是直角三角形？
(3)如图2，过作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请直接写出实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)①当时，的最大面积为；②为1或
(3)
【分析】（1）将的坐标代入即可得到抛物线的解析式；
（2）①根据抛物线求点的坐标，由待定系数法求直线的解析式，设，用代数式表示，进而求出的最大面积；②先确定，分两种情况讨论：当时，直接利用勾股定理建立方程即可求出的值；当时，过作轴于，作轴于，证明，根据列出方程即可求出的值；
（3）首先过C作于H点，则，然后分别从点M在左侧与M在右侧时去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线，与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）①过作轴交于，如图1，
在中，令得，
∴，而点和点，
设直线的解析式为，将代入得
直线解析式为
设
，
当时，的最大面积为；
②
当时，设，
∴，，，
∴，
解得：（舍去），；
当时，如下图
过作轴于，作轴于，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，而，
∴，
解得，（负根舍去）
∴，
综上所述，为1或．
（3）∵为抛物线的顶点，
∴，
∴，，而，
过C作于H点，则，
如图，当M在左侧时，
∵，
同理可得：，
∴， 设，则，
∴， 即，
由关于n的方程有解，可得，
得且；
当M与F重合时，；
如图，当M在右侧时，中，，，即，
作交x轴于点M，则，
∵，
∴， 即N为点E时，，
∴，
综上，m的变化范围为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，为线段上一动点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，当与的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)；
(2)最大值为，点；
(3)点的坐标为或或或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）当与的一个内角相等时，即或；当时，在中，，，，用解直角三角形的方法求出点的坐标，即可求解；当点在轴右侧时，同理可解；当时，求出直线的表达式为：，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点、、的坐标分别为：、、，
由点、、的坐标得，直线的表达式为：，直线的表达式为：，
连接，设点，
∵，则，
则直线的表达式为：，
联立直线和直线的表达式得：，
解得：，
则点，
则，
故面积的最大值为，此时，则点；
（3）解：该抛物线沿射线方向平移个单位长度，则相当于将抛物线向左向上分别平移1个单位，
则新抛物线的表达式为：，
当与的一个内角相等时，即或；
当时，如下图：
当点在轴左侧时，
设交轴于点，过点作于点，
在中，，，，
则设，则，
则，则，
则，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：（舍去）或，
即点的坐标为；
当点在轴右侧时，
则直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点的坐标为；
当时，如下图：
则直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：
即点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查二次函数性质，三角形的面积．解直角三角形，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论．