专题14 二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题（3题型）-2024年中考数学抢分精讲（全国通用）

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目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数图象的平移、翻折、旋转问题是几何综合，综合性比较强，同时也是高频考点、必考点，所以必须对几何和函数图象的性质定理很熟练和贯通。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！
题型一 二次函数图象的平移综合问题
【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，直线分别交轴、轴于点，，抛物线经过点．
(1)求点的坐标和抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线向左平移个单位后经过点，求的值．
【答案】(1)点的坐标为，；
(2)，．
【分析】（）由题意可得点、的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；
（）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再把的坐标代入求解即可；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）由可知，令，则，
∴点的坐标为，
令，则，
∴点的坐标为，
代入抛物线的表达式，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由（）得，
∴平移后的抛物线为，将点代入，得，
解得，．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【例2】（2024·江西赣州·模拟预测）如图，已知抛物线：与直线相交于A，B．
(1)______；
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于C，D（点C在点D左边），已知抛物线顶点M的横坐标为m．
①当时，抛物线的解析式是______，______；
②连接，当为等边三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)2
(2)①；4；②
【分析】本题主要考查了二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义：
（1）令，解方程即可求解；
（2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再令，解方程即可求解；②根据题意可得，从而得到抛物线的解析式为，令，可得，过点M作于点E，则，，然后根据是等边三角形，得出，再根据锐角三家函数即可求解．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
解得：，
∴点，
∴；
故答案为：2
（2）解：①对于，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或4，
∴
∴；
故答案为：；4
②解：∵点M在直线上，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或，
∴，，
∴，
如图，过点M作于点E，则，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为．
1．（2024·陕西西安·三模）已知抛物线的对称轴为，且过点．
(1)求抛物线C的表达式及顶点坐标；
(2)对称轴直线与轴的交于点D，与抛物线C交于点N．平移抛物线C得到抛物线，使得抛物线的顶点M在直线的右侧．若等腰三角形面积为8，请叙述平移过程．
【答案】(1)，顶点坐标为；
(2)将抛物线C向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线；或将抛物线C向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线．或将抛物线C向右平移4个单位长度，得到抛物线．
【分析】此题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移：
（1）由对称轴为，得，将点代入，得，由此得到抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）设平移的距离为h，根据等腰三角形面积为8，得到h为该等腰三角形的高，4为底，抛物线的顶点M的纵坐标为2，求出，即可得到平移的过程．
【详解】（1）∵对称轴为，
∴，即，
将点代入，
得，
解得，
∴
∴顶点坐标为；
（2）∵顶点坐标为，
∴，
∴，
设平移的距离为h，
当时，如图，
∵等腰三角形面积为8，
∴h为该等腰三角形的高，4为底，抛物线的顶点M的纵坐标为2，
∴，
解得，
∴，即，
∴将抛物线C向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线．
当时，如图，
可得，
∴将抛物线C向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线．
当时，如图，
可得
∴将抛物线C向右平移4个单位长度，得到抛物线．
2．（2024·贵州安顺·一模）如图，二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为，且图象过点，过，两点作直线．
(1)求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；
(2)将二次函数向左平移1个单位，得函数__________；与轴的交点坐标为__________；
(3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位后与函数的图象有唯一交点，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题．
（1）用待定系数法直接将点代入即可；
（2）涉及函数图象的平移，记得左加右减，求与轴的交点坐标时令即可；
（3）先求出直线AB的解析式，再跟抛物线解析式联立，只有一个交点即根的判别式为0．
【详解】（1）解：将，代入得
解得
该二次函数的表达式为；
（2）
将二次函数向左平移1个单位，得函数
令得
与轴的交点坐标为；
（3）设直线AB解析式为
将，代入得
解得
将直线向下平移个单位得
由得
整理得
与函数的图象有唯一交点
．
3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求直线的解析式及抛物线的解析式；
(2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大；
(3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式．
【答案】(1)，；
(2)点的横坐标为时，有最大值；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）设点的横坐标为，则，，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据二次函数的性质即可求解；
（）设平移后抛物线的解析式，联立函数解析式得，整理得，，设，，则，是方程的两根，由为的中点可得，求出即可求解；
本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，解得，
∴抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，把代入得，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的横坐标为，则，，，
，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
轴，
为等腰直角三角形，
，
∴，
当时，有最大值，
即点的横坐标为时，有最大值；
（3）解：由（）可知，直线的解析式为，
抛物线为：，
设平移后抛物线的解析式，
联立函数解析式得，，
，
整理得，，
设，，则，是方程的两根，
，
∵为的中点，
∴，
∴，
解得，
抛物线的解析式．
4．（2024·广东佛山·一模）综合运用：已知，抛物线如图1所示，其对称轴是．
(1)①写出与的数量关系______；
②证明：抛物线与直线有两个交点；
(2)如图2，抛物线经过点，将此抛物线记为，把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线．
①求抛物线与轴的交点坐标；
②点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，连接，以点为圆心、的长为半径作．当与轴相切时，求点的坐标．
【答案】(1)①，②见解析
(2)①，；②或或或
【分析】（1）①根据对称轴是，列式，即可求解，②联立抛物线与直线方程，计算并配方，即可求解，
（2）①将代入，求出抛物线的表达式：，顶点式：，根据坐标的平移，得到抛物线的表达式，当时，即可求解②，根据与点纵坐标的绝对值相等，列出等式，即可求解，
本题考查了，抛物线的对称轴，求抛物线解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【详解】（1）解：①∵抛物线的对称轴是，
∴，即：，
∴抛物线方程为：，
②联立抛物线与直线方程，，
整理得：，
∵，
∴，
∴抛物线与直线有两个交点，
故答案为：①，
（2）解：①将代入，得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：，顶点式为：，
∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线，
∴抛物线的表达式为：，
当时，，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为：，，
②根据题意得：，
∴，或，
整理得：，或，
解得：或或或，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或或或．
5．（2024·江西南昌·一模）综合与实践
特例感知
（1）如图1，对于抛物线，，，，下列结论正确的序号是________．
①抛物线，，，的对称轴是直线；
②抛物线，，，由抛物线依次向上平移2个单位长度得到；
③抛物线，，，与直线的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等．
概念形成
把满足的抛物线称为“族抛物线”．
知识应用
如图2，“族抛物线”的顶点依次为，，，，…，．
（2）试求线段的长．（用含的代数式表示）
（3）“族抛物线”，，，…，上分别有点，，，…，，它们的横坐标分别是2，3，4，…，.试判断点，，，…，是否在同一条直线上，如果在，求出此直线的解析式；如果不在，请说明理由．
【答案】（1）①③；（2）；（3）点，，，…，在同一条直线上，理由见解析
【分析】
（1）求出每个抛物线的顶点坐标和对称轴，及其与直线的交点坐标，即可得出答案；
（2）先将变形为，得出的顶点坐标为，并得出，求出结果即可；
（3）先求出点，，，…，，然后求出直线的解析式，再说明，…，在直线上．
【详解】解：（1）
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
①抛物线，，，的对称轴是直线，故①正确；
②抛物线，，，由抛物线向上平移得到，但不是2个单位，故②错误；
③抛物线与直线的交点坐标为，；
抛物线与直线的交点坐标为，；
抛物线与直线的交点坐标为，；
抛物线与直线的交点坐标为，；
∴抛物线，，，与直线的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等，故③正确．
综上分析可知，正确的是①③；
（2）∵
，
∴“族抛物线”的顶点坐标为，
则，
∴；
（3）把代入得：，则；
把代入得：，则；
把代入得：，则；
把代入得：，则；
把代入得：，则；
设直线的解析式为，把，代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
把代入得，
把代入得，
∴点、、在直线上，
∴点，，，…，在同一条直线上．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，求一次函数解析，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
题型二 二次函数图象的翻折综合问题
【例1】（2024·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M．
(1)直接写出a，b的值及点M的坐标；
(2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标；
(3)平移直线BC得直线．
①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接EM，求∠DME的度数．
②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)，，点M的坐标为；
(2)点N的坐标为；
(3)①；②当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）点N为直线与直线的交点时，最小，利用待定系数法求得直线解析式，据此求解即可；
（3）①如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，利用解直角三角形求得、，再利用三角形外角的性质即可求解；
②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
设抛物线解析式为，
把代入，得：，
解得：，
∴，
∴，，点M的坐标为；
（2）解：由（1）得对称轴为直线，
、两点关于直线对称，
∴点N为直线与直线的交点时，最小，
设直线解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点N的坐标为；
（3）解：①直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
把点M的坐标代入得，解得
∴直线的解析式为，
令，得，
解得：，
∴，
如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，
则，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，即；
②∵，
把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，

则翻折后的图象的解析式为，
∵直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
联立方程得，
整理得：，
当直线平移后与抛物线只有一个交点时，
，
解得：，
当直线平移后经过点时，，解得：，
∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
本题考查用待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程及解二元一次方程组，熟练利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
【例2】（2024·四川德阳·模拟预测）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线．

(1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
(2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W” 交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求证：；
②当时，请用合适的式子表示（直接写结果）．
【答案】(1)，；
(2)①详见解析；②
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似和三角形全等：
（1）抛物线的对称轴为，即为，根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为，进而求解；
（2）①证明，即可求解；
②当且时，证明，则 ，即可求解；当时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：∵，
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“C”的解析式为 ．
设直线的解析式为．
当时，
解得或 ，
∴点C的横坐标为．
当 时，
解得（舍去）或 ，
∴点P的横坐标为 ．
当 时，
解得 或 ，
∴点D的横坐标为 ．
如图1，作轴，过点C作轴交于点M，

作 轴，过点D作 交于点N．
由各点横坐标可得：，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为 且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当 且时，解得：．
∴．点D的横坐标为 ．
当时，如图2，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．

由各点的横坐标可知 ，．
∵，
∴．
∴．
则 ．
当时，如图3，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．

由各点的横坐标可知 ，，
∵，
∴，
∴．
则．
综上所述，用含a的式子表示 为
1.（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；
（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．
【详解】（1）解：由翻折可知：.
令，解得：，，
∴，，
设图象的解析式为，代入，解得，
∴对应函数关系式为=．
（2）解：联立方程组，
整理，得：，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点；
（3）解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称，
∴点N的横坐标为1，∴；
如图2，当时，，此时，点纵坐标为2，
由，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以；
如图3，当时，，此时，直线的解析式为，
联立方程组：，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以，
因此，综上所述：点坐标为或或．
题型三 二次函数图象的旋转综合问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西南昌·一模）如图、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线的顶点，连接，将抛物线绕点旋转得到抛物线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，，求的值．
(3)连接，是抛物线上的点，若满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点Q的坐标为或
【分析】
本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算：
（1）由求出与轴的交点，，顶点坐标，设的解析式为，将点关于原点对称的点的坐标代入，求出，即可得的解析式；
（2）过点B作于点E，由两点间距离公式求出，由三角形面积公式求出，从而可求出；
（3）证明是直角三角形且，分点Q在轴左侧和右侧两种情况，根据即讨论求解即可．
【详解】（1）解：对于，当时，；当时，，
解得，，
∴，
又，
∴抛物线的顶点P的坐标为，
设点A关于原点对称的点的坐标为，
由旋转知，的顶点坐标为，且过点，
∴设的解析式为，
把代入得，
解得，，
∴的解析式为；
（2）解：∵，
∴
∴，
过点B作于点E，如图，
，
则，
∴，
∴
（3）解：∵
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
分两种情况：
（i）当点Q在y轴左侧时，如图，过点Q作轴于点F，
∵，
∴，
设点的坐标为，则：，，
∴，
解得，，
经检验，是原方程的根，
又，
∴，
此时，点的坐标为；
（ii）当点在轴右侧时，如图，
∵点A关于原点对称的点的坐标为，
∴，
连接，则有：，
∴
∴点与点重合，
∴，
综上，点Q的坐标为或
本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算.
【例2】（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点B在点A的左侧），点A的坐标是，与y轴相交于点C，将抛物线L绕点旋转得到抛物线．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，与x轴相交于、两点（点在点的左侧），与y轴相交于点，要使，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出抛物线的解析式，求出抛物线的顶点坐标和顶点关于点的对称点，即可得到的函数表达式；
（2）先求出抛物线与y轴的交点为，由题可知，要使，则与y轴的交点为，令，
解得或，则只需将抛物线向右平移2个单位或向左平移8个单位，根据平移规律写出抛物线的函数表达式即可．
【详解】（1）解：把代入抛物线解析式得：
解得，
∴，
则抛物线的顶点坐标为，顶点关于点的对称点为，
∴的函数表达式为；

（2）当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
由题可知，
要使，则与y轴的交点为，
令，
解得或，
∴只需将抛物线向右平移2个单位或向左平移8个单位，
∴的函数解析式为：或．

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移和旋转、待定系数法等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质及平移规律是解题的关键．
1．（2023·河南周口·二模）如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根据函数的交点式设二次函数的表达式为，将点代入即可求解，再把二次函数变换成顶点式即可求出点的坐标；
（2）①根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为，可知为顶点和的中点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；②根据题意求出点的坐标，由的坐标，图形结合得，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可设二次函数的表达式为，将点代入得，
∴二次函数表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为，
∵为顶点和的中点，即，，
∴点的坐标为，
∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，
∴，
故旋转后的抛物线表达式为；
②由①得点坐标为，
∵，点关于点对称，
∴点坐标为，
∵，，，，
∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，函数图像旋转的性质，中点坐标，几何图形的特点等知识的综合运用是解题的关键．
2．（2023·河北廊坊·二模）如图，抛物线经过坐标原点和点，其顶点的纵坐标为，点的坐标为，将抛物线绕点旋转得到抛物线，点对应点为点，点对应点为点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)试用含的代数式表示出点的坐标，并直接写出抛物线的表达式；
(3)若直线为常数与抛物线、均有交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据题意求得顶点坐标，设抛物线的解析式为，将原点坐标代入求得的值，即可求得抛物线的解析式，
（2）过点作轴于，过点作轴于，证明，进而求得，根据旋转的性质即可求得抛物线的解析式，
（3）根据当直线为常数在点与点之间运动时，与抛物线、均有交点，点的纵坐标为，点的纵坐标为，即可求得的范围，
【详解】（1）抛物线经过坐标原点和点，
抛物线的对称轴为直线．
顶点的纵坐标为，
抛物线的顶点的坐标为．
设抛物线的解析式为．
抛物线经过坐标原点，
．
．
抛物线的表达式为：．
（2）点为旋转中心，
，．
四边形为平行四边形．
过点作轴于，过点作轴于，如图，

，，
．
，．
，
，．
．
点的坐标为，
．
．
．
．
．
将抛物线绕点旋转得到抛物线，
抛物线的解析式为：．
（3）直线为常数是与轴平行的直线，
当直线为常数在点与点之间运动时，与抛物线、均有交点．
点的纵坐标为，点的纵坐标为，
的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法求函数的解析式，二次函数的顶点坐标，对称轴，平行四边形的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
3．（2023·河北邯郸·二模）如图1，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在，点B的左侧），已知点B的横坐标是1，抛物线L的顶点为D，点P从原点开始沿x轴正半轴运动，将抛物线L绕点P旋转后得到抛物线，顶点E的横坐标为h．

(1)求a的值及顶点D的坐标；
(2)当点P与点B重合时，求抛物线的解析式：
(3)如图2，明明设计小游戏：有一等边三角形（与x轴平行），边长为5，顶点M的坐标为，当抛物线与有公共点时（含边界），会变色，此时抛物线被称为“美好曲线”，请直接写出抛物线为“美好曲线”时，点E横坐标h的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】(1)将代入中，求出a值后即可得解；
(2)连接，作轴于点，作轴于点，证出，抛物线的顶点的坐标，然后根旋转的性质即可得解；
(3)设，利用D，E关于点P成中心对称，利用中点坐标公式 得出， ，用含m的式子表示出的解析式，根据旋转的性质和新定义讨论出m的范围，进而可得出h的取值范围．
【详解】（1）由题意可知，点坐标为，
将代入中，得
抛物线的解析式为
顶点的坐标为；
（2）如图，连接，作轴于点，作轴于点，
根据题意，点D，E关于点成中心对称，
过点，且，
在和中，
，
，，
抛物线的顶点的坐标为，
抛物线由绕点旋转后得到，
抛物线的函数表达式为；

（3）设
∵D，E关于点P成中心对称，
∴根据中心对称的性质，得出P为的中点
∴
同理可得
设的解析式为：
∴
∴
∴
∴
∴
当点N在对称轴左侧且位于上时为临界点，
∵等边三角形的边长为5，
∴
∴将N点代入得
解得：
当时，对称轴为：直线，N点在对称轴右侧，不符合题意，舍去
当时，对称轴为：直线，符合题意
∴m的值为
∵E点的横坐标为
∴h取值为
∴当点横坐标的取值范围为时，抛物线为“美好曲线”

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，图形的旋转，新定义“美好曲线”的理解与应用，二次函数的性质，二次项系数确定函数的形状，形状相同．开口方向相同则二次项系数相等，若形状相同，开口方向相反，则二次项系数互为相反数，根据二次项系数和顶点坐标直接写出二次函数的解析式是关键．