专题15 二次函数新定义型综合问题（3题型）-2024年中考数学抢分精讲（全国通用）

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目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！
题型一 新定义型二次函数之共生或伴随抛物线
【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西九江·一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线，已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线的顶点是Q；
(1)点P的坐标是 ，点Q的坐标是_________，抛物线的函数关系式是 ．
(2)直线与抛物线、均有两个交点，这些交点从左到右分别是A、B、C、D．
①求m的取值范围 ；
②若，求m的值；
【答案】(1)，，
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
（1）根据共生抛物线的定义，可以得到顶点坐标和解析式；
（2）找出临界状态，即与两条抛物线相切时，利用，求出此时m的值，即可求出4个交点m的取值范围；
（3）采取“化斜为直”的思想，将斜线段转化为直线段的处理，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的顶点是点P，
∴，
∵、是共生抛物线，
∴，
由于共生抛物线二次项系数互为负倒数，
∴中的，
∴，
故答案为：，，．
（2）①如图，当直线与抛物线、均相切时，
有 ，
整理的：，
由得：，解得；
，
整理得：，
由得：，解得；
当直线绕点O顺时针旋转即有4个交点，此时．
②设点A、B横坐标分别为，C、D横坐标分别为
由得：，
∴
联立
整理得：
∴，
，
整理得：，
∴，
∴
解得：
本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
【例2】（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
(1)若函数的图象过点、 ，其衍生点，求函数的解析式；
(2)①若函数的衍生函数为，求A、B两点的坐标；
函数的图象如图所示，请在图中标出点A、B两点的位置；
(3)是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，；②见解析
(3)存在，
【分析】本题是新定义题，考查了二次函数的图象与性质，正确理解定义是解答本题的关键．
（1）由衍生点，知，然后用待定系数法求函数的解析式；
（2）①由衍生函数的定义求出，联立与，解方程组即可求得A、B两点的坐标；
②仿照①的过程求解即得；
（3）求出直线的表达式，代入点，即可求得b的值．
【详解】（1）函数的衍生点，
，
函数的图象过点、，
，
，
函数的解析式为；
（2）①函数的衍生函数为，
，
，
或，
，；
②由图象结合得，
，
，
或，
，，如图所示；
（3）点，， ，
，
或，
，，
设直线的表达式为，
，
，
，
代入得， ，
，
是任意实数，
，
．
1．新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当MN=6时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或，②或
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；
（3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【详解】（1）解：∵C1与y轴交点的坐标为E（0，-1），
∴，解得．
∴C1的解析式为 ；
（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，
∵，
∴的顶点的坐标为
易得点E，
过点作轴于点，连接．

∴，，，
∵，
∴，即．
解得，
∴点E的坐标为；
（3）解：①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得或，
∴或；
②∵的解析式为，
∴当时，，
当时，；
当时，．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为-3．
∴，解得或（舍）或（舍）；
当时，函数的最大值为，函数的最小值为-3．
∴，解得或（舍）或（舍）；
Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，解得（舍）或（舍）；
Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．
综上，a的值为或
【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
2．（2023·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．
(1)求抛物线的伴随直线；
(2)无论取何值，抛物线：总会经过某定点，抛物线：的伴随直线经过该定点，求的值；
(3)顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点，（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，当时，轴上存在点，使得取得最大值，求此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先化为顶点式，进而根据新定义，写出伴随直线解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得定点坐标，代入抛物线的伴随直线解析式即可求解；
（3）根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线与x轴的交点，用勾股定理列出关于的方程，求出，先证明当取得最大值，的外接圆与轴相切，根据题意画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴抛物线的伴随直线为
（2）解：
当时，，与无关，
即抛物线过定点，
又∵
∴的伴随直线为：
将点代入得，
∵，
∴
解得：或
（3）∵抛物线的解析式为：，
∴其伴随直线为即，顶点坐标为，
∵抛物线顶点在第一象限，
∴，
联立抛物线与伴随直线的解析式为：，
解得：，，
∴，，
，令，
即，
解得：或，
∴，
∴，，，
∵，
∴
即，
解得：或（舍去），
∴当时，．
设的外接圆为，当与轴相切时，
在轴上任意取一点，连接交于一点，则，
∵，
∴当取得最大值，的外接圆与轴相切，
当时，则，，如图所示，此时，
设过，，的直线解析式为，
∴，
解得：，
∴，
设经过的外心的直线解析式为，
∵，，
∴中点坐标为，
∴，
解得：，
∴直线为：，
∵轴，则，
∴设，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，切线的性质，圆周角定理，三角形的外心的性质，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键．
题型二 新定义型二次函数之特殊形状问题
【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是．
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
（1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可；
②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是．
【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在中，令得或，
抛物线与轴的交点为和；
在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
抛物线与抛物线与轴有相同的交点，
又抛物线与抛物线开口方向相同，
抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
把和代入得：
，
解得，
；
∴的值为；
②由①知，，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，，
，
抛物线在抛物线上方；
，，
，
的值始终不大于2，
，
整理得：，
解得，
，
；
在中，令得，
，
在中，令得，
；
，
；
，
线段长的取值范围是．
本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
【例2】二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．
【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，
∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②画出草图，
由图象知，这条抛物线的解析式只能是；
故答案为：；
③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，
由题意可知△PMA≌△A，
得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴=m或=m，
解得m=1或0，
当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m=1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
1．（2023·江西赣州·一模）定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，．
(1)抛物线的“反碟长”________．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是________．抛物线的“反碟长”是________．
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）
A．15 B．16 C．24 D．25
③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；4；②AC；③
【分析】（1）根据定义，令，解方程即可求解；
（2）①根据抛物线的平移，即可求解；令，解方程即可求解；
②由题意可设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，令，得出抛物线的“反碟长”为，根据抛物线的“反碟长”是一个偶数，是整数，结合选项即可求解；
③由②可知，，过点作于点，则，，根据是等边三角形，得出，即，解方程即可求解．
【详解】（1）解： 令，则或，
∴．
（2）①由题意抛物线的顶点坐标为
∴由平移的性质可得抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为：
②解：由题意可设抛物线的顶点坐标为，
则抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为
∵抛物线的“反碟长”是一个偶数
∴是整数
结合选项可知：当或24时符合题意，故A，C正确．
③解：∵点在直线上
∴可设
由②可知，
∴
过点作于点，
则，
∵是等边三角形
∴
∴
解得：或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为
【点睛】本题考查了新定义，二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型三 新定义型二次函数与其他函数的综合问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
(1)反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
(2)若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；
(3)若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
【答案】(1)反比例函数是上的“民主函数”，理由见解析
(2)或
(3)
【分析】
（1）根据“民主函数”的定义进行判断即可；
（2）根据“民主函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可；
（3）由，，得，则抛物线在上是递增的，可知时，，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点、、的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：当时，则：，
∵，在第一象限内随的增大而减小，
∴时，，
∴，
∴反比例函数是上的“民主函数”；
（2）由题意，得：当时，，
∵，
当时，随着的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
当时，随着的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
综上：或；
（3）∵抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，

假设点在点的左侧，即，
，解得，，，
在中，，，，
，，，
外心在线段的垂直平分线上，设，则，
，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得，
，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
内心在轴上，
，
，
．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．
【例2】（2023·江苏南通·一模）定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2
(1)点在的图象上，“域差值”，求m的值；
(2)已知函数，求证该函数的“域差值”；
(3)点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意得到的值，再由，列方程解答，即可；
（2）设函数图象上存在点，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即；
（3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，利用对称性可得，即可解答．
【详解】（1）解：∵点，在的图象上，
∵“域差值”，
，
即，
整理，得：，
解得：，，
经检验，，均是方程的解，
∴m的值为或；
（2）证明：设函数图象上存在点，且满足，
当时，，
当时，，
，
，
，
，
即，
故该函数的“域差值”；
（3）

解：∵点为函数图象上的一点，
，
由（2）得：，
当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，
则，
解得：，
∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”．
对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为，
可得：，
∴．
1．（2023·江苏南通·一模）定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点．例如，函数与函数为关联函数，点和点是这两个函数的一对关联点．
(1)判断函数与函数是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；
(2)若对于任意实数，函数与始终为关联函数，求的值；
(3)若函数与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求的取值范围．
【答案】(1)函数与函数是关联函数，和或和是这两个函数的一对关联点
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义，设和是这两个函数的一对关联点，分别代入解析式，列出方程组，解方程组即可求解．
（2）跟将新定义得出，根据与值无关得出，即可求解；
（3）设和是这对函数的关联点，只存在一对关联点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：函数与函数是关联函数
依题意，设和是与函数这两个函数的一对关联点，
∴，
解得：或，
∴和或和是这两个函数的一对关联点；
（2）解：∵对于任意实数，函数与始终为关联函数，
∴，
，
即，
∴，，
∴；
（3）解：与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，
设和是这对函数的关联点，
∴，
即关于的方程，有两个相等的实数根，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数交点问题，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y关于x的函数，函数在 范围内的最大值，记作 如函数，在范围内，该函数的最大值是6， 即，．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 （a为常数）
(1)若．
①直接写出该函数的表达式，并求 的值；
②已知 求p的值．
(2)若该函数的图象经过点， 且， 求k的值．
【答案】(1)①；②
(2)的值是12，或2
【分析】本题考查了二次函数与正比例函数的图形与性质，根据二次函数的对称轴，a的正负判断出二次函数开口方向，找到最大值是解答本题的关键．
（1）①先求出二次函数解析式，根据二次函数对称轴，开口方向即可找到范围内的最大值，进而得出结果；
②根据二次函数对称轴，开口方向即可知当时，，即可求出p值；
（2）根据函数图象经过点，得到，分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：①，
．
该函数的图象对称轴为直线，且开口向上，
在范围内，当时，有最大值，
当时，，即．
②，该函数的图象对称轴为直线，且开口向上，
又当时，，
，解得，．
，
；
（2）函数图象经过点，
，即，
当，函数为正比例函数，随的增大而减小，
，
，即；
当时，函数为二次函数，函数图象开口向下，对称轴为直线．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
，
若，则，解得，，
；
若，则，解得，
；
综上所述，的值是12，或2．
题型四 新定义型二次函数与几何图形的综合问题
【例1】（新考法，拓视野）（2023·江苏南通·二模）定义：在平面直角坐标系中，点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且（或满足且），则称直线是图形与的“界线”．
例如：直线是函数的图象与抛物线的一条“界线”．
已知点．
(1)若，在直线①，②，③中，是函数的图象与正方形的“界线”的有______（填序号）；
(2)若点的坐标是的半径为与正方形的“界线”有且只有一条，求“界线”的函数关系式；
(3)若存在直线是函数的图象与正方形的“界线”，求的取值范围．
【答案】(1)②
(2)界线的解析式为或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“界线”的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键．
（1）根据“界线”的定义，直线与函数最多有一个公共点，并且两个函数在“界线”两侧，画出图形即可判断；
（2）当正方形与唯一一个公共点是时，过点作轴交于点，连接，求出，根据直线是与正方形的唯一“界线”，可知直线与相切且经过点，则直线，直线经过、两点，求出直线的解析式为当公共点是点时，同理可得直线的解析式为由此可求的解析式；
（3）分两种情况讨论当直线与抛物线有唯一公共点，利用判别式求出，确定直线解析式为，当时，，若存在直线是“界线”，则；②若直线恰好经过点，求出，此时直线，当时，，若存在直线是“界线”，，求出．
【详解】（1）当时，点，
如图，直线与正方形有一个交点，直线与函数没有交点，
∴直线是函数的图象与正方形ABCD的“界线”；
故答案为：②；
（2）与正方形的“界线”有且只有一条，
与正方形有且只有一个公共点，
如图，当正方形与唯一公共点是点时，过点作轴于点，连接，
的半径为，
，
，
，
，
，
，
直线是与正方形的唯一“界线”，
直线与相切且经过点，
直线，
直线经过两点，
直线的解析式为；
当公共点是点时，同理可得直线的解析式为，
综上，界线的解析式为或；
（3）①由，得，
若直线与抛物线有唯一公共点，
，
，
，当时，，
若存在直线是“界线”，
；
②对于抛物线，当时，，
若直线恰好经过点，可得，
此时直线为，
对于直线，当时，，
若存在直线是“界线”，
，解得；
综上所述，或．
本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“界线”的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键．
【例2】（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中．若：，则称点Q为点P的“等和点”．
(1)如图1，已知点，求点P在直线上“等和点”的坐标；
(2)如图2，的半径为1，圆心A坐标为．若点在上有且只有一个“等和点”，求m的值；
(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．当，两部分组成的图像上恰有点的两个“等和点”，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
（1）设点P在直线上“等和点”的坐标为，由定义可列方程解答；
（2）设点在上“等和点”的坐标为，由定义可知：，点P的“等和点”在直线上，根据点P在上有且只有一个“等和点”，得出直线与相切，即可求解；
（3）当时，求出，因此当时，部分组成的图象上恰有2个“等和点”；函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，结合图象可知：时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”．
【详解】（1）解：设点P在直线上“等和点”的坐标为，
由题知：，
解得，
∴点P在直线上“等和点”的坐标为．
（2）设点在上“等和点”的坐标为，
由题知：，
∴点P的“等和点”在直线上，
∵点P在上有且只有一个“等和点”，
∴直线与相切，
如图所示，
，
将代入，
得
解得或．
（3）函数关于直线的翻折后的抛物线解析式为，
设点在，两部分组成的图像上“等和点”的坐标为，
由题知：，
∴点P的“等和点”在直线上，
联立方程组
整理得，
，
解得，
联立方程组，
整理得，
，
解得，
当时，与有两个交点，此时与有两个交点，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”；
当时，，
∴函数与直线的交点为
在直线上时，，
解得或，
当时，两部分组成的图象上恰有1个“等和点”，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”；
当时，两部分组成的图象上恰有3个“等和点”，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”；
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”；
综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”．
1．（2023·江苏扬州·一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，二次函数，，为常数，且的图象顶点为（不与坐标原点重合），以为边构造正方形，则称正方形为二次函数的关联正方形，称二次函数为正方形的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．
(1)如图，直接写出二次函数的关联正方形顶点N的坐标___,并验证点N是否为伴随点___（填“是”或“否”）：
(2)当二次函数的关联正方形的顶点与位于轴的两侧时，请解答下列问题：
①若关联正方形的顶点、在轴的异侧时，求的取值范围：
②当关联正方形的顶点是伴随点时，求关联函数的解析式；
③关联正方形被二次函数图象的对称轴分成的两部分的面积分别为与，若，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)或；否
(2)①或；②；③或且或
【分析】（1）由点坐标，画出正方形的大致位置，发现可以在的左右两侧，故需分类讨论．分别过点、作轴的垂线段、，易证，故有，．根据点在第二或第四象限的位置得到点坐标，把的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与的纵坐标不相等，故点不在二次函数图象上，不是伴随点．
（2）①用配方法求点坐标，画出正方形的大致位置，由（1）可证得，故有，．由于点、在轴的异侧，由图可知．分别讨论点在第一象限和第四象限时的长（用表示），即得到关于的不等式，进而求得的取值范围．②过点作直线的垂线段，构造，故有，．若点在第一象限时，根据求得用表示点的横纵坐标，由点为伴随点可知点在二次函数图象上，把点坐标代入二次函数解析式得到关于的方程，解方程并讨论的取值即可．若点在第四象限，则点在点上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点，即此时不可能为伴随点．③由，可得．画图可知，当点、在轴同侧时对称轴与交于点，，故有解得．又由可证，通过对应边成比例得，把含的式子代入解不等式即求得的范围．当点、在轴异侧时，同理可求的取值范围．
【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
二次函数顶点，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
若在左侧，则点在第二象限，，
时，，
点不在二次函数的图象上，
不是伴随点，
若在右侧，则点在第四象限，，
时，，
不是伴随点，
故答案为：或；否．
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，
由（1）可得：，
，
，
，；
①如图2，若点在第一象限，
与位于轴的两侧，点、在轴的异侧，
点在第四象限，，
，解得：；
如图3，若点在第四象限，
点在第一象限，，
，解得：；
综上所述，点、在轴的异侧时，的取值范围为或．
②过点作于点，
，
，
，
在与中，
，
，
，；
如图2，若点在第一象限，则，
，，
，
点是伴随点，即点在二次函数图象上，
，
解得：（舍去），；
如图3，若点在第四象限，则点在点上方，
二次函数图象开口向下，
点不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点，
综上所述，关联函数的解析式为；
③，，
，
，
；
如图4，当点、在轴同侧时（由①可知或，对称轴与交于点，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
解得：或；
如图5，当点、在轴异侧时，对称轴与交于点，延长交于，
，
，
，
，即，
，
且，
解得：且．
综上所述，时的取值范围为或且或．
【点睛】本题考查了新定义的理解和性质运用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，一元一次不等式（组）的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质．由于正方形顶点位置的不确定，故每小题都需根据情况抓住相同点和不同点进行分类讨论．讨论正方形顶点坐标时，常在正方形内构造弦图得到全等三角形，再利用全等三角形性质计算．
2．（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．

(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标；
(2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______；
②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为，“衍生直线”的表达式为，点A的坐标为
(2)①，，，；②是，这条直线的解析式为
【分析】（1）由题意可知，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为．进而可求出点B的坐标．由抛物线与x轴交于点，，即可直接得出抛物线的表达式为．联立、，解之即可求出点A的坐标；
（2）①根据题意可求出，即得出．结合正方形的性质可得出，即可求出．再根据点，，，…，在直线上，可求出，从而可求出，同理得出，…，；
②由，令，，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式．
【详解】（1）解：抛物线为，
，
“衍生直线”的表达式为．
“衍生直线”与x轴交于点B，
点B的坐标为．
抛物线与x轴交于点，，
抛物线的表达式为．
令，解得或，
把代入，得，
点A的坐标为；
（2）解：①对于，令，则，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
∵点，，，…，在“衍生直线”上，即在直线上，
∴，
∴．
同理可求出，…，．
故答案为：，，，；
②点，，…，在同一条直线上．
令，，
∴，
∴，
这条直线的表达式为．
【点睛】本题为二次函数和一次函数的综合题，考查二次函数和一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，正方形的性质，幂的运算，坐标与图形等知识．理解题意，掌握“衍生直线”的定义是解题关键．
3．（2023·江西新余·一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和
(2)点的坐标为
(3)①顶点为或顶点为；②存在，或或
【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可．
（2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可．
（3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．
②设与对称轴的交点为，用含的式子表示出点的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含的式子分别表示出点到直线的距离和点到直线的距离，根据点到直线的距离与点到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为．
故答案为： 和．
（2）抛物线经过点，
∴
∴
∴，
解得
∴点D的坐标为．
（3）①设与对称轴交于点，若，则．

∵点C的坐标为，点D的坐标为．．
∴，
∴，
∴，
解得．
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点为，
∴当时，，故顶点为；
∴当时，，故顶点为；
∴顶点为或顶点为．
存在，或或．
如图，设与对称轴的交点为．

由知，，抛物线的顶点为，∴抛物线的极限分割线：，
直线垂直平分，
∴直线：，
∴点到直线的距离为；
直线与直线关于极限分割线对称，
直线： ，
∵，
∴点到直线的距离为，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
∴，
∴或，
解得或或，
故或或．
【点睛】．查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键．
…
（___，___）
…
…
…