湖南省长沙市师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（ ）
A．1B．2C．D．
2．在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为
A．B．C．D．
3．王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（ ）
A．120种B．72种C．48种D．36种
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．函数在区间上的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
6．对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得经验回归方程为，则以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．预报变量y的值由解释变量x唯一确定
C．决定系数越小，说明该模型的拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
7．设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，b，c，且，．则下列关系一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一动点，B为椭圆的上顶点，是边长为2的正三角形．下列说法正确的是（ ）
A．离心率
B．使得为等腰三角形的点A有4个
C．当直线倾斜角为时，周长为6
D．将椭圆C进行旋转得到椭圆，使得以和B为焦点，则C和有且仅有2个交点
11．如图，正八面体棱长为2，P为棱MC．上一动点（不含端点）．下列说法正确的是（ ）
A．存在点P，使得
B．当P为棱MC的中点时，正八面体表面从N点到P点的最短距离为
C．异面直线AP和MD所成角随PC的增大而减小
D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若集合，且，则实数______．
13．已知p：“”是q：“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．
14．如果圆至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）当时，求的单调区间和极值．
16．（本小题满分15分）
如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且，．
（1）证明：；
（2）求直线BC与平面ABD所成角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若，求△ABC的面积最大值．
18．（本小题满分17分）
投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．
（1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望；
（2）记n次抛掷得分恰为分的概率为，求的前n项和；
（3）投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为，当b，取最大值时，求n的值．
19．（本小题满分17分）
对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
（1）在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；
（2）设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
（3）点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．
湖南师大附中2023--2024学年度高二第二学期期中考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B【解析】因为，所以，所以，所以．故选B．
2．B【解析】因为在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点O，所以．
3．C【解析】2只兔子相邻走出房子共有种不同方法．
4．B【解析】设，，则，即．
又，即，抛物线方程为．
5．B【解析】设，，且区间
关于y轴对称，为偶函数，故排除A，C，又，故排除D，选B．
6．D【解析】对于一组具有线性相关关系的数据，可能所有的样本点都不在回归直线上，故A错误；
预报变量y的值由解释变量x进行估计，故B错误；
决定系数越小，残差平方和越大，说明该模型的拟合效果越不好，故C错误；
在残差图中，残差点分布水平带状区城的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D正确．故选D．
7．A【解析】设关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，，即，
由对称性可知，对于圆，圆心，
半径，，
当且仅当A，C，三点共线时等号成立，由于，，
则，故选A．
8．C【解析】因为，当且仅当时等号成立，从而当时，
，则，
故，；设函数，则，
当时，，故在上单调递增，
则，则，综上所述有，故选C．
二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AD
10．ACD【解析】对于A，依题意，，，；
对于B，线段BF的中垂线与椭圆的两个交点满足要求，以B为圆心，为半径的圆与椭圆的两个交点满足要求，下顶点也满足要求，故满足要求的点A有5个，B错误；
对于C，当直线倾斜角为时，垂直平分．故，
．C正确；
对于D，作的垂直平分线l与椭圆交于M，N两点，
则，，
因此M，N是两椭圆的交点．椭圆C上位于直线l下方的任意一点P均满足，
即点P在椭圆外，同理可得椭圆C上位于直线l上方的任意一点Q均在椭圆内，故D正确．
11．BCD【解析】对于A，连接AC，BD交于点O，
由于四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD，同理，，
所以BD⊥平面ANCM，因此BD⊥AP．
假设存在点P，使得AP⊥BM，则AP⊥平面BOM，故AP⊥OM，
故当且仅当P，C重合时满足要求，不合题意，故A错误；
对于B，将△MBC和△NBC展开至同一平面，
由余弦定理得：，，B正确；
对于C，过点P作交CD于点Q，连接AQ，∠APQ为所求角（记为）．
△APQ为等腰三角形，设，则，，，
由余弦定理有：，，
容易发现这是关于x的增函数，故PC增大时，∠APQ的余弦值增大（大于0），故∠APQ减小，C正确；
对于D，以O为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，故每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，，，D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．0或1
【解析】①当，即时，
此时，②当，即时，此时（舍），
③当，即时，由②可知（舍），则时，，综上，或1．
13．【解析】由已知，可得，．
4．【解析】化简
得，所以，函数的图象靠近圆心的最大值点为，最小值点为．
所以只需
解得．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）定义域：．
由已知：函数为奇函数，所以，
即，解得．
（2）由（1）得：
当时，因为，所以．
令，解得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，当时，有极小值，并且极小值为．
16．【解析】（1）证明：过A作AO⊥CB交CB的延长线于点O，连接DO，
由题：，所以，
又因为，，所以．
因此分，故，
又因为，所以平面ADO，
又因为平面ADO，故．
（2）设，由（1）得：OD，OC，OA两两互相垂直，
故以O为原点，OD，OC，OA分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz如图，
则，，，，
所以，，，
设平面ABD法向量为，则有
，
设直线BC与平面ABD所成角为，则，
又因为，所以．
17．【解析】（1）因为，
所以，
由正弦定理：，得，
故，因为，故．
（2）由（1）可知，又，则，
由基本不等式可知，则，
所以，当时取等号．
所以△ABC的面积最大值为．
18．【解析】（1）X的可能取值为2，3，4，
，，
X的分布列为
数学期望．
（2）因为n次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分，
于是，
则，
于是，
两式相减，得
，
所以．
（3）设得1分的次数为x，则得2分的次数为，
因此抛掷100次所得总分为，
此时，
假定取最大值，必有，于是，
即整理得
解得，而，则，则，
所以当取最大值时，．
19．【解析】（1）设l上两点的坐标为，；
经伸缩变换后变为，，
则；；
，；则．
（2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；
椭圆变换得到了以原点为圆心的圆；
P，Q，R，S变换得到，，，．
O，，均在中垂线上，则O，，共线．
，，则，
则，，
则轨迹方程为：，
代入，，则S轨迹方程为：．
（3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，点A变换得到了，
即为，并设B，C变换得到了，．
熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形．
则，分别为绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到．
则，坐标分别为，．
即为，，
即B、C坐标分别为，，
单位圆内接正三角形面积为，则△ABC面积为．
综上，所求B，C坐标分别为，或其交换，△ABC面积最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
B
B
D
A
C
题号
9
10
11
答案
AD
ACD
BCD
x
—
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
X
2
3
4
P