重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，且，则实数（ ）
A．1B．-3C．-2D．-1
2．在，，0，，，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3． 已知向量、的夹角为60°，，若，则=
A．B．C．D．
4．已知向量，，，则等于（ ）
A．3B．4C．15D．21
5．在平面四边形中，△ABC为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知为平面外一点，到两边的距离都为，则到面的距离（ ）
A．B．C．D．
7．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为
C．勒洛四面体的体积是
D．勒洛四面体内切球的半径是
8．在△ABC中，为上一点，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．下列命题中，真命题为（ ）
A．复数为纯虚数的充要条件是
B．复数的共轭复数为
C．复数的虚部为
D．复数，则
10．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．一定存在实数，使得成立
B．若，那么一定有
C．若，那么
D．若，那么，，一定相互平行
11．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成大小为的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ）．
A．四面体的体积的最大值是
B．的取值范围是
C．四面体的表面积的最大值是
D．当时，球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．复数的模是 .
13．在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是 .
14．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在△ABC中，角的对边分别为已知.
(1)求角的大小;
(2)若，求的面积;
(3)若为BC的中点，求AD的长.
16．设复数．
(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
(2)若是纯虚数，求.
17．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求点M到平面的距离；
(2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．
18．如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
19．个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
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高一数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1-4．BCDD5-8．CBDD
9．BCD10．BC11．ACD
12．3
13．
14．
15．（1），
，即.
由正弦定理得，由余弦定理得，；
（2），
由余弦定理得，
；
（3）

在△ABC中，由余弦定理得，
即，又，得，为BC的中点，，
两边平方得，
，即中线AD的长度为.
16．（1）由，得，
而由已知是实数，
于是，解得，
所以；
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以，.
17．（1）记点M到平面的距离为h，
易知为正三角形，且，所以，
又，
所以，
因为，所以，即，
解得，即点M到平面的距离为.
（2），M，B，N四点共面，证明如下：
连接，因为M，N分别是线段，的中点，所以，
由正方体性质可知，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以，M，B，N四点共面.
18．（1）连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，又因为，所以．
所以，又平面，平面，所以平面．
（2）在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
于是为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
19．（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：
，，，．
（2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量，
因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有3个分量为，
设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，
则，
，则，矛盾，
所以不存在6个两两垂直的6维信号向量．
（3）任取，计算内积，
将所有这些内积求和得到，则，
设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
则，所以，故.