2024年湖南省郴州市中考二模数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列是无理数的是？（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】、是有理数，不符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
、是有理数，不符合题意；
故选：．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，结合选项分析即可．
【详解】A、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
B、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为与原图重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
D、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式等知识，根据以上知识正确化简计算是解题的关键.根据同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，以及完全平方公式解答即可．
【详解】解：A．，原计算错误，故此选项不符合题意；
B．，原计算错误，故此选项不符合题意；
C．，原计算正确，故此选项符合题意；
D．，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
4. 2024年1月26日，湖南省文化和旅游厅发布，2023年湖南全省接待旅游总人数约658000000人次．其中658000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答．
【详解】解：．
故选：D
5. 如图，直线，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质等知识，根据得到，根据，即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A
6. 某校足球队20名队员年龄分布情况如下表：
则该队队员年龄的众数、中位数分别是（ ）
A. 15， B. 15，13C. 13， D. 13，13
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个，据此求解即可．
【详解】解：把这20名队员的年龄从低到高排列，处在第10名和第11名的年龄分别为岁，岁，
∴中位数为，
∵年龄为13岁的人数最多，
∴众数为13，
故选：D．
7. 关于的一元二次方程（为常数）根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式等知识点，先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】∵
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8. 对于某个二次函数，两位同学探究了它的图像和性质，下图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个二次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据图象经过可判断C，结合抛物线顶点在第四象限可判断A，B，D．
【详解】解：∵图象经过，
∴，故C正确；
∵抛物线顶点在第四象限，
∴，，，故A，D正确；
∴，故B不正确．
故选C．
9. 如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，只需要证明是等边三角形求出 即可得到答案， 证明是等边三角形是解题的关键．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴ 等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：．
10. 如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．
根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接，数轴交点为，
由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为，
，
又个单位长度代表，
，，
根据勾股定理可得，
中，．
故选：．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11. 函数中，任意写出一个符合条件的自变量的值___________．
【答案】2（答案不唯一，满足的实数即可）
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件，求出x的取值范围，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
∴一个符合条件整数的值是2．
故答案为：2（答案不唯一，满足的实数即可）
12. 计等：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数，是基础知识比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
首先利用乘方、特殊角的三角函数值对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：
故答案为：．
13. 如图，中，边，，的中点分别为，，，设和的而积分别为，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线性质，根据中位线可得，从而，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵边，，的中点分别为，，，
∴，，是的中位线，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设平均每次降价的百分率是，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设平均每次降价百分率是，根据题意，得：
根据题意，得：，
故答案为：．
15. 如图，为的直径，点平分．若，则___________度．
【答案】62
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的特征，连接，根据点平分，得到，由同弧所对圆周角相等得到，根据为的直径，得，由直角三角形的特征即可求解．
【详解】解：连接，
点平分，，
，
，
为的直径，
，
，
故答案为：62．
16. 为践行《环保宣言》，某校开展中小学生主题演讲比赛，如图是7位评委对甲、乙两位参赛选手的打分情况，通过折线图发现7位评委对___________选手在演讲比赛中的表现评价更一致．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图、方差等知识点，根据方差的意义求解即可，熟练掌握方差的意义是解决此题的关键．
【详解】由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以7位评委评价更“一致”的是乙组，
故答案为：乙．
17. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是___________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥成面积公式，利用圆锥侧面积公式（其中r是底面圆半径，l是母线）求解即可．
【详解】解：根据题意，得几何体的侧面积是，
故答案为：．
18. 如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，过点作轴，延长交于点，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值．
【详解】解：点在双曲线上，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，则：，
∴，
∴，
设，
过点作轴，延长交于点，则：
∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，第19−20题每小题6分，第21−22题每小题8分，第23−24题每小题9分，第25−26题每小题10分，共66分）
19. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】把一元二次方程化为方程的一般形式，再按因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：，


【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用十字乘法分解因式是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式化简计算，根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
当时，上式．
21. 某校为摸底九年级学生排球垫球成绩，现从九年级学生中这机抽取若下名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的不完整的统计图表，根据信息回答下列问题：
（1）______，扇形统计图中，“B”所对应的扇形圆心角的度数为______度；
（2）若该校九年级共有名学生，请你估计垫球数超过次的学生人数．
（3）从垫球成绩优秀的两男两女4名学生中，随机抽取2名学生为九年级学生演示垫球动作，请用树状图法或列表法求选中的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）32，
（2）人
（3）
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图基础及其应用，样本估计总体，根据表格获取信息是解题的关键，（1）用A组的人数除以该组所占的百分比，求得九年级学生中随机抽取的学生人数，再用总人数减去其他组的人数即可求解；（2）根据样本估计总体的定义，结合统计表即可求解；（3）根据题意列出表格，再根据概率的计算公式，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题可得：从九年级学生中随机抽取的学生人数为：（人），
∴，
∵等级B的人数为：
∴，
故答案为：32，．
【小问2详解】
解：（人）
答：排球垫球数超过20次的学生人数是720人．
【小问3详解】
解：设两名男生分别为A，B，两名女生分别为a，b，则用列表法表示为：
∴P（两名学生恰好是一男一女)．
22. 矩形中．

（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于点E，F（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作线段垂直平分线，矩形的性质，勾股定理．
（1）根据题意作出图形即可；
（2）在中，利用勾股定理列式即可求解．
【小问1详解】
解：所作图形如图所示，
；
小问2详解】
解：连接．
设，则
是的垂直平分线，
．
在中，由勾股定理得：，
，
解得．
．
23. 小明一家为践行“低碳生活，绿色出行”，决定以骑行的方式去湖边游玩．已知小明骑单人自行车的速度比爸爸妈妈骑双人自行车速度快，小明骑行与爸爸妈妈骑行的时间相同．
（1）小明骑单人自行车的速度是多少？
（2）某自行车租赁商店计划购买单人自行车和双人自行车共40辆，已知每辆单人自行车和双人自行车的单价分别为200元、360元，若总费用不超过10000元，则该商店最多可购买多少辆双人自行车？
【答案】（1）
（2）12辆
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键．
（1）设小明骑单人自行车的速度是，根据“小明骑行与爸爸妈妈骑行的时间相同”列分式方程求解即可；
（2）设该商店购买辆双人自行车，根据“总费用不超过10000元”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设小明骑单人自行车的速度是，
，
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：小明骑单人自行车的速度是；
【小问2详解】
解：设该商店购买辆双人自行车，
则，
是正整数，最大值为12，
答：该商店最多可购买12辆双人自行车．
24. 某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案．请阅读材料，完成下列问题．
甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1）
如图2，甲同学目高（眼睛到地面距离）米，站在距离旗杆底部米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点的仰角，通过计算求出旗杆的高度．
（1）请用含有m，的代数式表示旗杆的高度=________米．
为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表．
（2）观察上表数据并判定第_________组数据测量有误．（从“①，②，③，④，⑤”中选填）
（3）乙同学计划用自制的立角三角板（两锐角大小不确定）和卷尺测量．如图3，乙同学目高（米），他调整位置，设法使斜边保持水平，边与旗杆顶点C在同一直线上．请你帮助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a，b，c…表示，求旗杆的高度（用含有a，b，c…的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）③ （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．
（1）过点A作于点E，解直角三角形，求出即可得出答案；
（2）根据表格中的数据进行判断即可；
（3）证明，得出，米，即可得出答案．
小问1详解】
解：过点A作于点E，如图所示：
根据题意可知，四边形为矩形，
∴米，米，
在中，，
∴米，
∴米；
【小问2详解】
解：因为距离旗杆底部越远，的度数越小，所以根据表格中的数据可知，第③组数据测量有误；
【小问3详解】
解：需测量的线段米，米，米，
由题可知，四边形是矩形，米，
，，
，
，
，
（米），
（米）
答：旗杆CD的高度为米．
25. 如图，内接于，为直径，于点，延长交于点，过作的切线，与的延长线交于点，连接交于点，连接．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）求证：；
（3）若（m为常数），求（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明即可；
（2）由垂径定理得，从而，然后证明即可证明结论成立；
（3）证明得，设，，由三角形中位线的性质得，可求，求出，再证明即可．
【小问1详解】
于点，
（垂直的性质）．
为直径，
（直径所对的圆周角是直角），．
为的切线，
．（切线垂直于过切点的半径）
，
四边形为矩形．（三个角是直角的四边形是矩形）；
【小问2详解】
过圆心，于点，
，（垂径定理）
．（等弧所对的圆周角相等）
而，
，（有两组角对应相等的两个三角形相似）
（相似三角形对应边成比例）
【小问3详解】
四边形为矩形，
，
，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似）
∴．（相似三角形对应边成比例）
设，；
，，
是的中位线，
．（三角形中位线性质）
在中，
．
又和都是所对的圆周角，
．（同弧所对的圆周角相等）
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．
26. 二次函数（t为常数且）的图像与轴相交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．

（1）当时，
①求A，B两点的坐标；
②如图1，点M是线段上的动点，求的最小值．
（2）若点，，都在这个二次函数的图像上，且，求的取值范围．
【答案】（1）①， ②
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，三角函数，勾股定理等知识点，
（1）当时，二次函数为，①当时，解方程得两根，进而即可得解；②如图，以为斜边，构造，得，然后求出最小值即可得解；
（2）由，的坐标求出对称轴方程，（i）当点在对称轴左边时 ，（ii）当点在对称轴右边时，分类讨论即可得解；
熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
【小问1详解】
当时，二次函数为，
①当时，，解得，，．
，．
②如图，以为斜边，构造，使得，即，再连接．

点，
，
，
，即．
在中，，
要求的最小值，即求的最小值，
由于垂线段最短得，的最小值为的长，
在中，由勾股定理得，．
的最小值为．
【小问2详解】
点，关于对称轴对称
对称轴，即，
且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧．
点关于对称轴的对称点为，
且，
，解得．
（i）当点在对称轴左边时，

，
，
解得，
，
（ii）当点在对称轴右边时，

，
点在下方，点上方，
，
，
不存在，
综上所述：的取值范围是．
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（人）
3
8
7
2
等级
排球垫球数（次）
人数
20
40
8
A
B
a
b
A
AB
Aa
Ab
B
BA
Ba
Bb
a
aA
aB
ab
b
bA
bB
ba
序号
离旗杆底部距离（单位：米）
仰角
旗杆的高度（单位：米）
①
10
②
15
③
20
④
25
⑤
30