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山东省日照市东港区新营中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）
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一、选择题：（每题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、＝，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2. 设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A. x＞yB. x≥yC. x＜yD. x＝y
【答案】A
【解析】
【分析】把x的值分母有理化，再比较．
详解】x==3-，3-＞−3，
所以x=-y且x＞y．
故选A．
【点睛】此题考查了分母有理化和比较实数的大小，化简，判断与−3两者互为相反数是解决本题的关键．
3. 在正比例函数中，函数的值随值的增大而增大，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质可得，解不等式可得m的取值范围，再根据各象限内点的坐标符号即可解答.
【详解】正比例函数中，函数的值随值的增大而增大，
解得：m＜0
点在第二象限
故选B.
【点睛】本题主要考查正比例函数，解题关键是熟练掌握正比例函数的性质.
4. 给出下列命题：①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．其中正确命题个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查命题的真假判断、特殊四边形的判定与性质，解题关键是要熟悉相关定理和性质．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定条件等知识逐一分析判断即可．
【详解】解：①由一组对边平行，一组对角相等可得邻角互补，则另一组对边也平行，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知原命题正确；
②如图1，是一个等腰三角形，是底边上一个点，不是的中点，连接，剪下，并把它翻折后拼成如图2的形状，则由原三角形中，，可知图2中，，这个四边形的一组对边相等，一组对角相等．但由于，显然这个四边形不是平行四边形，
∴一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题不正确；
③∵矩形的对角线相等，顺次连接矩形各边中点所得的四边形的边为对角线对应的三角形的中位线，∴所得四边形的四边相等，即顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，原命题正确；
④∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴原命题不正确．
综上所述，正确命题个数是2个．
故选：B．
5. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，于点E，则（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形对角线互相垂直平分是解题的关键．
6. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A. 嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以B. 嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C. 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以D. 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，用两种方法都可以证明结论，得到答案．
【详解】解：
嘉嘉的作法：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴,
∴四边形为平行四边形，
∴
能够用来证明三角形中位线定理；
淇淇的作法：,
∴四边形为平行四边形，
∴,
∵,
∴，，
又∵
∴,
∴，，
∴,四边形为平行四边形，
∴
能够用来证明三角形中位线定理；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7. 如图，在正方形中，与交于点O，平分，交于点E，交于点F，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作，交于点M，通过正方形性质，等腰三角形的判定先证明，再根据角平分线性质证明，设，则，利用，求出x的长，从而得出答案．
【详解】解：如图，过点E作，交于点M，
平分，
，
四边形为正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，平分，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
8. 有一个边长为1的大正方形，经过2次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A. 2024B. 2023C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．
【详解】解：由题意得，正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积，
“生长”了次后形成图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
故选：A．
9. 如图，在中，是直角，是中位线，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形中位线定理，先根据图2求出的长度，再根据中位线定理求出的长度，然后根据三角形面积公式结合和重合时面积最大，求出的值．
【详解】解：由图象知，当点P在上运动时，的面积的面积不变，
∴，
∵是中位线，
∴，
当点P在线段上时，，
由图象知，当点P和点C重合时，即时，的面积，
∴，
故选：B．
10. 如图，矩形纸片中，，，点是边上的动点，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为、，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，解题关键是要熟练运用折叠的性质和勾股定理．要使折痕始终与边、有交点，就要找到与重合，与重合时对应的长即可，由折叠可得结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
当与重合时，如图①，的值最小，
由折叠可得，，
∴在中，
∴；
当与重合时，如图②，的值最大，
由折叠得，．
综上所述，的取值范围是．
故选：D．
二、填空题：（每题3分，共18分）
11. 在实数范围内分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 函数图象上的点一定在第_______象限.
【答案】二
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到解得得到
即可判断.
【详解】利用函数图象上的点P(x,y)，可得x<0，y>0，
故P点一定在第二象限，
故答案为二.
【点睛】考查函数的图象与性质，根据二次根式有意义的条件得到x<0，进而得到y>0是解题的关键.
13. 如图，一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，如图，连接，
此时，，
最短路线长是：；
当展开前面和上面时，如图，连接，
此时，，
最短路线长是： ；
当展开左面和上面时， 如图，连接，
此时，，
最短路线长是：（cm）；
∵15＜7＜，
∴一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
14. 如图，△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，D是AC的中点，则BD＝________cm．
【答案】5
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理证得△ABC为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
【详解】∵
∴
∴△ABC为直角三角形，且AC为斜边，
∵D是AC的中点，
∴
故答案为：5
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理以及直角三角形斜边中线定理，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
15. 甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数关系如图所示，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟，从而先求解速度慢的人的速度，再求解速度快的人的速度，从而可得答案．
【详解】解：根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟，
（米/分），
解得：（米/分），
（分钟），
故答案为：
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，理解题意，得到两人中有1人先到达终点是解本题的关键．
16. 知：如图，中，的平分线交对边于点E、F，，，则的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】先证和是等腰三角形，作于点N，作于点M，利用勾股定理解求出，再证，推出，根据等腰三角形三线合一可得．
【详解】解：中，，，
，，
平分，
，
，
，
同理可证，
如图，作于点N，作于点M，
，，
，
，
，，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，能够应用上述知识点是解题的关键．
三、解答题
17. （1）计算：
①
②．
（2）若，为实数，且，，求的值．
【答案】（1）①5；②；
（2）当时，原式；当时，原式
【解析】
【分析】（1）①首先根据负整数指数幂、零指数幂，绝对值的性质、二次根式的性质进行运算，然后相加减即可；②首先根据二次根式的性质和二次根式乘除运算法则进行运算，然后相加减即可；
（2）首先根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件确定的值，进而可得的值，然后分情况代入求值即可．
【详解】解：（1）①原式
；
②原式
；
（2）∵，
∴，且
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式运算、负整数指数幂、零指数幂、二次根式有意义的条件，分式有意义的条件、代数式求值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．
18. “数形结合”是一种重要数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点D在BC上，且，这样就可以得出与的大小关系，请说出你的答案并结合图形通过计算说明理由．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得AB= ，AD=，然后利用三角形三边关系得出结果．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C=90°，
∴AB= ，
∵CD=BC-BD=2
由勾股定理得：AD= ，
在△ABD中，∵AD+BD＞AB，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理主要有两个作用：已知两边求出第三边，把勾股定理作为等量关系列方程．
19. 已知，与成正比例，与成正比例，且时，，时，求与的函数解析式．
【答案】
【解析】
【分析】根据正比例的定义设出函数表达式，然后两组x，y的对应值代入，然后解二元一次方程组即可．
【详解】解：设，，()，则
，
当时，，时，，
即，
解得：，
与的函数解析式是：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是设出解析式，注意正比例函数解析式的一般形式．
20. 某超市为方便顾客购买，将瓜子放入包装袋内出售，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表（售价中的0.10元是包装袋的费用）：
（1）观察表格，写出y与x之间的关系式．
（2）买8kg这种瓜子需花费多少元？
（3）用100元去买这种瓜子，最多能买多少千克？
【答案】（1）y＝15x＋0.1；（2）120.1元；（3）6.66 kg
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据可知：每kg瓜子的价格为：15元，由此即可得到y与x之间的关系式；
（2）将代入（1）中所得关系式即可得到对应的的值；
（3）将代入（1）中所得关系式，求得对应的的值即可；
【详解】解：（1）观察、分析表格中的数据可得：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
…
∴售价（元）与数量（千克）之间的数量关系的表达式为；
（2）当时，（元）；
（3）当时，由（1）可得：，解得：，
∴用100元去买这种瓜子，最多能买6.66kg．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，读懂图表信息是解题的关键，另外，分析解答本题时，不要忽略了条件“买瓜子需支付0.1元的包装袋费用”，且“包装袋费用与购买瓜子的数量无关”．
21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【答案】（1）4s （2）3s
（3）菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2
【解析】
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长等于边长乘以4，面积等于底乘以高，即可求解．
【小问1详解】
解：设点P、Q运动的时间为t（s），则BQ=t，DP=t，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=8，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，
∴AP=8-t，
当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，
∴t=8-t，
解得：t=4，
答：当t=4s时，四边形ABQP是矩形；
【小问2详解】
解：∵AB=4，BQ=t，∠B=90°，
∴，
当四边形AQCP是菱形时，AP=AQ，
∴，
解得：t=3，
答：当t=3s时，四边形AQCP是菱形；
【小问3详解】
由（2）可知：当t=3时，BQ=3，
∴CQ=BC-BQ=5，
∴菱形AQCP的周长为4CQ=4×5=20（cm），
菱形AQCP的面积为CQ·AB=5×4=20（cm2）
答：菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2．
【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，利用结合方程的思想解题是解题的关键．
22. 如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
（2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
（3）当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
【答案】（1）；
（2）；
（3）丙房间的宽是米．
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据以及的度数得到为等边三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）证明，从而得到米，米， 即可求出；
（3） 根据以及的度数得到为等边三角形利用相应的三角函数表示出，的长，可得到房间宽和长相等．
【小问1详解】
解：在中，
∵，米，米，
∴，
∵，
∴甲房间的宽度米，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴米．
【小问3详解】
解：过点作垂线，垂足点，连接，
设，且．
∵梯子的倾斜角为，
∴为等腰直角三角形，为等边三角形，梯子长度相同，，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴米，即丙房间的宽是米．
23. 【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容．
【过程再现】相信你和你伙伴们根据矩形的性质得到结论：．
（1）这一结论用文字语言阐述为：_______________．
（2）证明这一结论：已知：如图，在中，，是斜边边上的中线．求证：．
【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
（1）结合题目中的描述，即可获得答案；
（2）延长至，使得，连接，然后证明四边形是矩形，再根据矩形的性质可得结论．
【小问1详解】
解：这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
【小问2详解】
证明：延长至，使得，连接，如下图，
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
即．
质量x/kg
售价y/元
1
15.00＋0.10
2
30.00＋0.10
3
45.00＋0.10
4
60.00＋0.10
……
……
一、选择题：（每题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、＝，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2. 设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A. x＞yB. x≥yC. x＜yD. x＝y
【答案】A
【解析】
【分析】把x的值分母有理化，再比较．
详解】x==3-，3-＞−3，
所以x=-y且x＞y．
故选A．
【点睛】此题考查了分母有理化和比较实数的大小，化简，判断与−3两者互为相反数是解决本题的关键．
3. 在正比例函数中，函数的值随值的增大而增大，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质可得，解不等式可得m的取值范围，再根据各象限内点的坐标符号即可解答.
【详解】正比例函数中，函数的值随值的增大而增大，
解得：m＜0
点在第二象限
故选B.
【点睛】本题主要考查正比例函数，解题关键是熟练掌握正比例函数的性质.
4. 给出下列命题：①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．其中正确命题个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查命题的真假判断、特殊四边形的判定与性质，解题关键是要熟悉相关定理和性质．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定条件等知识逐一分析判断即可．
【详解】解：①由一组对边平行，一组对角相等可得邻角互补，则另一组对边也平行，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知原命题正确；
②如图1，是一个等腰三角形，是底边上一个点，不是的中点，连接，剪下，并把它翻折后拼成如图2的形状，则由原三角形中，，可知图2中，，这个四边形的一组对边相等，一组对角相等．但由于，显然这个四边形不是平行四边形，
∴一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题不正确；
③∵矩形的对角线相等，顺次连接矩形各边中点所得的四边形的边为对角线对应的三角形的中位线，∴所得四边形的四边相等，即顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，原命题正确；
④∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴原命题不正确．
综上所述，正确命题个数是2个．
故选：B．
5. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，于点E，则（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形对角线互相垂直平分是解题的关键．
6. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A. 嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以B. 嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C. 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以D. 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，用两种方法都可以证明结论，得到答案．
【详解】解：
嘉嘉的作法：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴,
∴四边形为平行四边形，
∴
能够用来证明三角形中位线定理；
淇淇的作法：,
∴四边形为平行四边形，
∴,
∵,
∴，，
又∵
∴,
∴，，
∴,四边形为平行四边形，
∴
能够用来证明三角形中位线定理；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7. 如图，在正方形中，与交于点O，平分，交于点E，交于点F，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作，交于点M，通过正方形性质，等腰三角形的判定先证明，再根据角平分线性质证明，设，则，利用，求出x的长，从而得出答案．
【详解】解：如图，过点E作，交于点M，
平分，
，
四边形为正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，平分，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
8. 有一个边长为1的大正方形，经过2次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A. 2024B. 2023C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．
【详解】解：由题意得，正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积，
“生长”了次后形成图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
故选：A．
9. 如图，在中，是直角，是中位线，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形中位线定理，先根据图2求出的长度，再根据中位线定理求出的长度，然后根据三角形面积公式结合和重合时面积最大，求出的值．
【详解】解：由图象知，当点P在上运动时，的面积的面积不变，
∴，
∵是中位线，
∴，
当点P在线段上时，，
由图象知，当点P和点C重合时，即时，的面积，
∴，
故选：B．
10. 如图，矩形纸片中，，，点是边上的动点，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为、，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，解题关键是要熟练运用折叠的性质和勾股定理．要使折痕始终与边、有交点，就要找到与重合，与重合时对应的长即可，由折叠可得结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
当与重合时，如图①，的值最小，
由折叠可得，，
∴在中，
∴；
当与重合时，如图②，的值最大，
由折叠得，．
综上所述，的取值范围是．
故选：D．
二、填空题：（每题3分，共18分）
11. 在实数范围内分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 函数图象上的点一定在第_______象限.
【答案】二
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到解得得到
即可判断.
【详解】利用函数图象上的点P(x,y)，可得x<0，y>0，
故P点一定在第二象限，
故答案为二.
【点睛】考查函数的图象与性质，根据二次根式有意义的条件得到x<0，进而得到y>0是解题的关键.
13. 如图，一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，如图，连接，
此时，，
最短路线长是：；
当展开前面和上面时，如图，连接，
此时，，
最短路线长是： ；
当展开左面和上面时， 如图，连接，
此时，，
最短路线长是：（cm）；
∵15＜7＜，
∴一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
14. 如图，△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，D是AC的中点，则BD＝________cm．
【答案】5
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理证得△ABC为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
【详解】∵
∴
∴△ABC为直角三角形，且AC为斜边，
∵D是AC的中点，
∴
故答案为：5
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理以及直角三角形斜边中线定理，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
15. 甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数关系如图所示，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟，从而先求解速度慢的人的速度，再求解速度快的人的速度，从而可得答案．
【详解】解：根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟，
（米/分），
解得：（米/分），
（分钟），
故答案为：
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，理解题意，得到两人中有1人先到达终点是解本题的关键．
16. 知：如图，中，的平分线交对边于点E、F，，，则的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】先证和是等腰三角形，作于点N，作于点M，利用勾股定理解求出，再证，推出，根据等腰三角形三线合一可得．
【详解】解：中，，，
，，
平分，
，
，
，
同理可证，
如图，作于点N，作于点M，
，，
，
，
，，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，能够应用上述知识点是解题的关键．
三、解答题
17. （1）计算：
①
②．
（2）若，为实数，且，，求的值．
【答案】（1）①5；②；
（2）当时，原式；当时，原式
【解析】
【分析】（1）①首先根据负整数指数幂、零指数幂，绝对值的性质、二次根式的性质进行运算，然后相加减即可；②首先根据二次根式的性质和二次根式乘除运算法则进行运算，然后相加减即可；
（2）首先根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件确定的值，进而可得的值，然后分情况代入求值即可．
【详解】解：（1）①原式
；
②原式
；
（2）∵，
∴，且
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式运算、负整数指数幂、零指数幂、二次根式有意义的条件，分式有意义的条件、代数式求值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．
18. “数形结合”是一种重要数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点D在BC上，且，这样就可以得出与的大小关系，请说出你的答案并结合图形通过计算说明理由．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得AB= ，AD=，然后利用三角形三边关系得出结果．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C=90°，
∴AB= ，
∵CD=BC-BD=2
由勾股定理得：AD= ，
在△ABD中，∵AD+BD＞AB，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理主要有两个作用：已知两边求出第三边，把勾股定理作为等量关系列方程．
19. 已知，与成正比例，与成正比例，且时，，时，求与的函数解析式．
【答案】
【解析】
【分析】根据正比例的定义设出函数表达式，然后两组x，y的对应值代入，然后解二元一次方程组即可．
【详解】解：设，，()，则
，
当时，，时，，
即，
解得：，
与的函数解析式是：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是设出解析式，注意正比例函数解析式的一般形式．
20. 某超市为方便顾客购买，将瓜子放入包装袋内出售，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表（售价中的0.10元是包装袋的费用）：
（1）观察表格，写出y与x之间的关系式．
（2）买8kg这种瓜子需花费多少元？
（3）用100元去买这种瓜子，最多能买多少千克？
【答案】（1）y＝15x＋0.1；（2）120.1元；（3）6.66 kg
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据可知：每kg瓜子的价格为：15元，由此即可得到y与x之间的关系式；
（2）将代入（1）中所得关系式即可得到对应的的值；
（3）将代入（1）中所得关系式，求得对应的的值即可；
【详解】解：（1）观察、分析表格中的数据可得：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
…
∴售价（元）与数量（千克）之间的数量关系的表达式为；
（2）当时，（元）；
（3）当时，由（1）可得：，解得：，
∴用100元去买这种瓜子，最多能买6.66kg．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，读懂图表信息是解题的关键，另外，分析解答本题时，不要忽略了条件“买瓜子需支付0.1元的包装袋费用”，且“包装袋费用与购买瓜子的数量无关”．
21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【答案】（1）4s （2）3s
（3）菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2
【解析】
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长等于边长乘以4，面积等于底乘以高，即可求解．
【小问1详解】
解：设点P、Q运动的时间为t（s），则BQ=t，DP=t，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=8，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，
∴AP=8-t，
当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，
∴t=8-t，
解得：t=4，
答：当t=4s时，四边形ABQP是矩形；
【小问2详解】
解：∵AB=4，BQ=t，∠B=90°，
∴，
当四边形AQCP是菱形时，AP=AQ，
∴，
解得：t=3，
答：当t=3s时，四边形AQCP是菱形；
【小问3详解】
由（2）可知：当t=3时，BQ=3，
∴CQ=BC-BQ=5，
∴菱形AQCP的周长为4CQ=4×5=20（cm），
菱形AQCP的面积为CQ·AB=5×4=20（cm2）
答：菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2．
【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，利用结合方程的思想解题是解题的关键．
22. 如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
（2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
（3）当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
【答案】（1）；
（2）；
（3）丙房间的宽是米．
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据以及的度数得到为等边三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）证明，从而得到米，米， 即可求出；
（3） 根据以及的度数得到为等边三角形利用相应的三角函数表示出，的长，可得到房间宽和长相等．
【小问1详解】
解：在中，
∵，米，米，
∴，
∵，
∴甲房间的宽度米，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴米．
【小问3详解】
解：过点作垂线，垂足点，连接，
设，且．
∵梯子的倾斜角为，
∴为等腰直角三角形，为等边三角形，梯子长度相同，，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴米，即丙房间的宽是米．
23. 【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容．
【过程再现】相信你和你伙伴们根据矩形的性质得到结论：．
（1）这一结论用文字语言阐述为：_______________．
（2）证明这一结论：已知：如图，在中，，是斜边边上的中线．求证：．
【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
（1）结合题目中的描述，即可获得答案；
（2）延长至，使得，连接，然后证明四边形是矩形，再根据矩形的性质可得结论．
【小问1详解】
解：这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
【小问2详解】
证明：延长至，使得，连接，如下图，
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
即．
质量x/kg
售价y/元
1
15.00＋0.10
2
30.00＋0.10
3
45.00＋0.10
4
60.00＋0.10
……
……
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