20，浙江省杭州市上城区建兰中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题

这是一份20，浙江省杭州市上城区建兰中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、学号、姓名、试场号、座位号．
3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列选项中，计算结果最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，根据有理数的四则运算法则求出对应式子的结果即可得到答案．
【详解】解：，，，，
∵，
∴计算结果最小的是，
故选：C．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，根据算术平方根、平方根和立方根的定义分别判断即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得，
故选：．
4. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会共设有42个竞赛大项，这42个竞赛大项包括31个奥运项目和11个非奥运项目，其中这11个非奥运项目具有浓郁的亚洲特色和中国特色．为了调查全校学生最喜爱的亚运竞赛项目情况，下列做法中比较合理的是（ ）
A. 抽取八年级的女生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目
B. 抽取七年级的男生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目
C. 抽取九年级5个班的学生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目
D. 三个年级每班随机抽取男生和女生各5个，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抽样调查的可靠性，根据抽样调查要具有代表性，随机性进行求解即可．
【详解】解：根据抽样调查要具有代表性，随机性可知在三个年级每班随机抽取男生和女生各5个，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目比较合理，
故选：D．
5. 《九章算术》的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．全书收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．书中有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（美酒）1斗，价格是50钱；行酒（普通酒）1斗，价格是10钱．现花30钱买了2斗酒，问醇酒，行酒各买得多少斗？若设买得醇酒x斗，则可列一元一次方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——购买问题，解答本题的关键是熟练掌握“总价单价数量”．
由买醇酒x斗，行酒斗，醇酒价格50钱，行酒价格是10钱，花30钱共买了2斗两种酒，列出方程即可．
【详解】设买醇酒x斗，则买行酒斗，
∵醇酒价格是50钱；行酒价格是10钱．花30钱共买了2斗两种酒，
∴．
故选：D．
6. 已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，结合，可得出，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点在直线上，由，可得出，结合，即可得出若，则．
【详解】解：，
随的增大而减小，
又∵，为直线上的两个点，且，
．
当时，，
点在直线上，
当时，，
若，则．
故选：C．
7. 一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案．
【详解】过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵直角三角形，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理．
8. 已知抛物线（，是常数，），过点，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
根据抛物线过点和可得对称轴为，求出抛物线的对称轴在和之间，再根据点A、B的坐标求出抛物线对称轴为，可得，然后可得答案．
【详解】解：当时，，
∴抛物线过点；
∵抛物线（，是常数，），过点和，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴，即抛物线的对称轴在和之间，
又∵抛物线过点，，
∴抛物线对称轴为，
∴，
∴，
故选：B．
9. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字1的是（ ）
A. 中位数是4，众数是4B. 平均数是3，中位数是3
C. 平均数是4，方差是2D. 平均数是3，众数是2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是4，众数是4时，记录的5个数字有可能为：1，2，4，4，5，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是3时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，3，4，6，故B选项不合题意；
当平均数是4，方差是2时，5个数之和为20，假设1出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，4，4，5，此时方差，
因此假设不成立，即一定没有出现数字1，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
10. 定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（ ）
A. ；B. ；
C. 当时，；D. 不论取何值，
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，根据“旋转函数”的定义得到，，，则，，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，
∴，
解得，故选项A、B错误，
∴，
∴，，
当时，，故选项C正确；
∵，
∴只有当时，，
故选项D错误，
故选：C
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将数400000用科学记数法表示是．
故答案为：．
12. 因式分解________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式计算即可得出答案.
【详解】，故答案为.
【点睛】本题考查的是因式分解，难度适中，注意先将原式化成平方差公式的标准形式.
13. 有一个正边形（为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，请写出一个可能的值______．
【答案】12（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查正多边形性质及旋转性质，根据题意，得到最少边数的正方形的每一条边所对中心角为满足题意，从而满足题意的正多边形边数为的整数倍，即可得到答案．
【详解】解：正方形绕中心旋转后与自身重合，
由正多边形性质可知，当一个正边形的边数是的整数倍时，正边形绕中心旋转后与自身重合，
正边形满足题意，
故答案为：12（答案不唯一）．
14. 若是关于，的二元一次方程的一组解，则一次函数的图象不经过第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的定义和一次函数的性质．将代入二元一次方程求出m的值，再把m的值代入，得到一次函数解析式，根据一次函数解析式判定一次函数图象不经过的象限．
【详解】∵是关于，的二元一次方程的一组解，
∴，解得，
∴，
∴一次函数的图象经过第一，二，四象限，
∴一次函数的图象不经过第三象限．
故答案为：三．
15. 矩形的一边长为15，矩形上有一点与到该矩形每条对角线的距离都是6，则这个矩形的另一边长为______．
【答案】20
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质、勾股定理等知识，分两种情况分别画出图形进行解答即可．
【详解】解：在矩形中，对角线、相交于点O，，，，连接，
如图，
∵，，
∴平分，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得
当点E在上时，设，同理可得，
同理可证，，
∴，
∴
解得
综上可知， 这个矩形的另一边长为20.
故答案为：20
16. 已知在中，，，点在边上，连结，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连结，如果，则的值为______．
【答案】或1
【解析】
【分析】先过A作于M，过E作于N，证明，则，进一步求出，，，分两种情况根据正切的定义即可得到答案．
【详解】解：过A作于M，过E作于N，连接，，
当点E在左侧时，如图所示：

∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵将沿翻折，点B落平面内点E处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过A作于M，过E作于N，连接，，
当点E在右侧时，如图所示：

同理可得，，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了翻折的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17. 以下是圆圆化简的解答过程．
解法一：原式
；
解法二：原式
．
圆圆发现两种解答的结果不同，是否有正确的解答？如果两种解答都错误，写出正确的解答过程．
【答案】两种解法都错误；正确解答过程见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则．根据解法一和解法二的解题过程可以判断出两种解法都错误，然后写出正确的解题过程即可．
【详解】解：由解法一的过程可知，第一步中的减2应该变为加2，因此解法一错误；解法二中将分母直接去掉是错误的；
正确的解题过程为：
．
18. 如图，将一枚棋子依次沿着正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到处，如掷得3点就移动3步到点处，如掷得6点就移动6步到点处…）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．

（1）从点开始，掷一次骰子后到点处的概率是______．
（2）从点开始，在第二次掷骰子后，当两次点数之和为4，8或12时，棋子回到点处，求掷两次骰子从出发回到的概率是多少？请用列表或画树状图分析求解．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）第一次掷骰子有6种等可能结果，当棋子移动到C点时，需要掷得数字2或6，共2种可能，据此依据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次点数之和为4，8或12时的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵骰子是一个正方体，六个面上的数字一次是1，2，3，4，5，6，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到C点时，需要掷得数字2或6，共2种可能，
∴从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是：．
故答案为：．
【小问2详解】
两次掷骰子的结果如下表所示：
从上表得：总共有36种可能的结果，
要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12，
由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4，8或12的结果总共有9种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为：．
19. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质和勾股定理得，则，由直角三角形的性质可得出答案．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
．
20. 如图，反比例函数的图象与的直线相交于、两点，已知点的坐标为，点的横坐标为．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】（1）；
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）按照要求做出图形，根据题意得到，，利用待定系数法则求出直线的解析式，进一步即可证明结论．
【小问1详解】
∵反比例函数的图象与直线相交于、两点，已知点的坐标为，
∴将代入得，，
∴
∴反比例函数的表达式为；
∵点的横坐标为，
∴，
∴点B坐标为，
设直线的解析式为，把点A和点B的坐标代入得到，
解得
∴直线的解析式为，
【小问2详解】
如图所示，

由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴所在直线的表达式为，
∴当时，，
∴直线经过原点．
21. 一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米．
（1）求关于的函数表达式；
（2）考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意求出米，利用矩形面积公式即可得到答案；
（2）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质和每段栅栏不可分割即可求出答案．
【小问1详解】
解：设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米．则米，根据题意可得，
，
∵且
∴，
∴关于的函数表达式为；
【小问2详解】
，
∵，每段栅栏不可分割，
∴当或时，y有最大值，最大值为，
答：当或时，所围矩形土地的面积最大．
22. 如图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．
（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；
（2）点A处转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，）
【答案】（1）5.3m
（2）不会，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足分别为，交于点，过点作于点，根据即可解决问题；
（2）过点作于点，同理求得，进而勾股定理求得，根据平行线分线段成比例求得，进而判断是否大于即可判断该货车是否会发生车辆倾覆安全事故．
【小问1详解】
如图，过点作，垂足分别为，交于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
斜坡AB的坡角为37°，即
,，，
∴车厢最高点C离地面的距离是；
【小问2详解】
该货车不会发生车辆倾覆安全事故，理由如下，
如图，过点作于点，
同理求得
在中，
四边形是矩形
,
该货车不会发生车辆倾覆安全事故．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
【观察发现】
请写出满足这些条件的一个函数表达式，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小方说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在轴的左侧．”小程说：“满足条件的函数图象一定在轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数系数，，的关系．他认为只要，在某个取值范围内，并且，，满足一个关系式就可以快速批阅了．请你求出，的取值范围，并写出，，满足的关系式．

【答案】[观察发现]，图象见解析；
[思考交流] 小方的说法不正确，小程的说法不正确，见解析；
[概括表达] ，，且．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合题意，画出函数图象是解题的关键．
[观察发现] 由题意写出一个符合条件的函数解析式，然后再画出函数的大致图象即可；
[思考交流] 由题意可知抛物线的图象一定在x轴的下方，a＜0，然后根据对称轴公式可得抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴；
[概括表达] 由题意可知，且，①当对称轴在y轴右侧时，即，此时顶点在x轴上或在x轴下方，，可得，，可得，解得；②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，，只需保证与y轴交点在x轴上或在x轴下方，此时．
【详解】解：[观察发现]
由题意得，这个函数可以是：（答案不唯一）；
画出函数图象如图：

[思考交流]
∵二次函数的图象不经过第一象限，
∴抛物线的图象一定在x轴的下方，，
∵抛物线经过x轴，
∴小程的说法不正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，
∴小方说法不正确；
[概括表达]
∵抛物线经过点，且不经过第一象限，
∴，且，
①当对称轴在y轴右侧时，，即，此时顶点在x轴上或在x轴下方，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，有，解得：，
当时，有，不成立，
∴；
②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，，即，此时只需保证与y轴交点在x轴上或在x轴下方，
∴；
综上所述：，，且．
24. 如图，是的直径，，在上两点，连结，．

（1）如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切；
（2）如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，，
①求证：；
②求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，根据圆周角定理得到，得到，求得，于是得到结论；
（2）①连接，作于M，于N．证明，，，得到，证明，则，进一步证明，即可得到结论；②设，利用勾股定理构建方程求出a即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图1，连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
①如图2，连接，作于M，于N．

∵于点，
∴
∵是直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴半径的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，等腰三角形的频道合作，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第2次
第1次
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6