2024年山西省晋中市太谷区多校九年级中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共8页．满分120分，考试时间120分钟
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无处．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第1卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
2. 下列是小明非常喜欢的汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3. 2024年3月5日在第十四届全国人民代表大会第二次会议上，国务院总理李强指出：2023年全年经济社会发展主要目标任务圆满完成，高质量发展扎实推进，社会大局 保持稳定，全面建设社会主义现代化国家迈出坚实步伐．其中，经济总体回升向好．国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，把126万亿元用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将126万亿写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：126万亿．
故选C．
4. 如图，在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点且落在上，的对应边，则下列说法正确的是（ ）
A. 旋转角为B. 平分
C. 平分D. 的度数是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据旋转的想则可得进而可得，根据得出，进而即可求解．
【详解】解：∵把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点且落在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角为，
，
∴，
∵
∴，
∴，，
∴平分，故C选项正确
∵，
∴，
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式；根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
6. 某校医务室不断进行公共卫生的知识普及，为了了解普及效果，学校学生会与校医务室联合举行公共卫生知识竞赛，其中名女生和名男生在竞赛中表现突出，从表现 突出的学生中随机抽取名学生进行赛后演讲，则抽到一男一女进行赛后演讲的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求出选出的结果是“一男一女”的概率．
【详解】解：根据题意画出树状图，
由树状图可知：所有等可能的结果共有种，选出的结果是“一男一女”的情况有种，
所以选出的结果是“一男一女”的概率是，
故选：B．
7. 如图、交于点．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质，得出，根据邻补角的定义可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．

8. 已知反比例函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，y随x的增大而增大
B. 当点在该反比例函数的图象上时，则点也在该反比例函数的图象上
C. 点和点在该反比例函数的图象上，当时，
D. 该反比例函数的图象关于轴对称
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，灵活运用反比例函数的图像和性质是解题的关键．
根据反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：A、由，则函数图像在一、三象限内，y随x的增大而减小，故A选项错误；
B、反比例函数图像上点关于原点对称、关于对称，即B选项正确；
C、由，则函数图像在一、三象限内，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D、反比例函数图像上的点关于原点对称、关于对称，即D选项错误．
故选B．
9. 全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．某自行车经销商为满足市民的健身需求，准备购进甲、乙两种不同品牌自行车．已知甲种品牌自行车的进价比乙种品牌自行车的进价低500元，若该自行车经销商分别用3万元购进甲、乙不同品牌的自行车时，购进甲种品牌自行车的数量是购进乙种品牌自行车数量的．设购进甲种品牌的自行车辆，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程；设购进甲种品牌的自行车辆，则购进乙种品牌的自行车辆，用总价除以单价表示出购进自行车的数量，根据两种自行车的数量相等列出方程求解即可．
【详解】设购进甲种品牌的自行车辆，依题意得
故选：D．
10. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为、点和是格点，连接，小明在 网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵小正方形的边长为2，
∴
∴，
∴图中阴影部分的面积是
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：＝_____．
【答案】7
【解析】
【分析】原式两项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【详解】解：原式＝．
故答案为7．
【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握法则是解本题的关键．
12. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．某野外作业人员，因工作需要，用橇棍撬动一块2000N的大石头，经过分析后，撬棍的阻力臂是动力臂的则所需要的动力至少为__N．
【答案】500
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键．
设所需要的动力至少为，根据杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，列出方程求解即可．
【详解】解：设所需要的动力至少为，
由题意得：，
解得：，即搅动这块大石头至少需要的动力是；
故答案为：500．
13. 数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一 思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，，根据图中的弧线可知，点A表示的数为__．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴点A表示的数为，
故答案为：．
14. 如图，内接于半径为4的中，，过点A作的切线交的延长线于点D，交于点F、交于点E，则线段的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
如图：连接并延长交于G，连接，易得是等边三角形，进而说明垂直平分可得，，，则，运用勾股定理可得；如图：连接，证明可得；如图：作于H，易得、，最后说明是等腰直角三角形并解直角三角形即可解答．
【详解】解：如图：连接并延长交于G，连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∴，
如图：连接，
由，可得，
∴，即，解得：，
如图：作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故答案为．
15. 如图，四边形中，，连接，过点C作于点F，交于点E， 平分，若，延长交于点G，则的长为__．
【答案】##
【解析】
【分析】先由平行线的性质求出，由垂直的定义得到，则由角平分线的定义得到，可证明A、E、F、D四点共圆，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到；设，则，证明，得到，即，解得，则；由勾股定理求出，，证明，求出，，则；如图所示，过点G作于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，则，证明，得到，求出，则 ，即．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ 平分，
∴；
∵，
∴A、E、F、D四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴；
如图所示，过点G作于H，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定， 正确作出负整数构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：去分母，得．…………………第一步
去括号，得．…………………… 第二步
移项，得．…………………… 第三步
合并同类项，得．………………………………第四步
两边都除以，得………………………… 第五步
任务：
①以上解答过程中，第一步的依据是 ；
②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现 处错误，其中最后一次错误在第 步，原因是 ；
③直接写出该方程的正确解是 ．
【答案】（1）；（2）①等式的基本性质2；②；五，没有除以；③
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，解分式方程；
（1）根据零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可求解．
【详解】（1）
（2）①以上答过程中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2；
②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现处错误，其中最后一次错误在第五步，原因是没有除以
故答案为：；五，没有除以．
③
解：去分母，得
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得
故答案为：．
17. 如图，已知锐角，为边上的高．
（1）尺规作图：作的平分线交于点E，交于点F；
（2）在作出符合条件的（1）的图中，若，求证：．
【答案】（1）如图，射线即为所求;
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
（1）以B为圆心，任意长为半径画弧，与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，以B为端点，过两弧的交点作射线交于点E，交于点F即可．
（2）通过证明可得，再由对顶角相等可得，然后根据直角三角形的性质及等量代换即可解答．
【小问1详解】
解：如图，射线即为所求．
【小问2详解】
解：∵，为边上的高，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
18. 在“双减”政策和延时托管服务中，某联盟校为了更加有效地管理好各个校区，准确了解，两个校区九年级各名学生的课后书面作业时长情况，从这两个校区分 别随机抽取名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】
校区名九年级学生中，课后书面作业时长（分钟）在组的具体数据如下：
，，，，，，，，，，，．
整理数据】
两个校区的频数分布表如下：
【分析数据】
两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是 ；
A．普查 B．抽样调查
（2）统计表中， ， ；
（3）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 校区（选填“”或“”）；
（4）把校区的调查结果作扇形统计图进行详细分析，则这个时间段所在扇形的圆心角的度数是 ；
（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过分钟，请估计，两个校区能在分钟内（包括分钟）完成当日课后书面作业的学生总人数．
【答案】（1）B （2），
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
（2）用总数减去其它组的频数求，利用求中位数的方法求；
（3）根据方差即可判断；
（4）校区成绩在的占比乘以即可求解；
（5）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可．
【小问1详解】
解：根据题意知本次调查是抽样调查；
小问2详解】
∵校区名九年级学生中，课后书面作业时长（分钟）在组的具体数据如下：
，，，，，，，，，，，．
∴
∵，
∴从小到大排列，第，个数据，
∴，
【小问3详解】
根据校区的成绩的方差为，校区的方差为，
∴课后书面作业时长波动较小的是校区，
【小问4详解】
校区这个时间段所在扇形的圆心角的度数是，
【小问5详解】
，
答：估计，两个校区能在分钟内（包括分钟）完成当日课后书面作业的学生总人数为人．
19. 项目化学习
项目主题：探究我国古代漏刻，并自制漏刻．
项目背景：在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，水钟在古代也叫“漏刻”或“漏壶”．图1是原始漏刻的示意图．其原理是水从上而的漏水壶慢慢漏人下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏 箭”）．以此来计时．图2是唐代制造 的四级漏刻．
驱动任务：探究漏刻的原理，
研究步骤：
①自制图3所示的“漏壶”；
②为了提高计时的准确性，需稳定“漏水壶”的水位；
③打开出水口B，水位就稳定在BC位置，随着“受水壶”内的浮子的高度与经历的时间逐渐增加，读出“受水壶”中浮子上的刻度，就可以确定时间；
试验数据：
④分析数据，得出结论．
问题解决：
请根据此次项目实施的相关材料完成下列任务：
（1）根据表中信息，判断受水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间符合初中阶段所学的哪种函数，并求出相应的函数表达式；
（2）如图3，受水壶中的水位最大高度为， 若受水壶中的浮子上升到最大高度时，可以表示的时间是，求当浮子的高度为时，求可以表示的时间．
【答案】（1）正比例，
（2）15
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、有理数除法的应用等知识点，正确求得函数关系式成为解题的关键．
（1）根据表中数据可知水壶内的浮子逐渐增加的高度h（）与经历的时间t（）符合初中一次函数，然后再运用待定系数法解答即可；
（2）令，然后代入（1）所得解析式即可解答．
【小问1详解】
解：由表中信息，判断受水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间符合正比例函数，
设函数解析式为：，
由题意可得：，解得：，
所以水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间得函数表达式为．
【小问2详解】
解：根据题意可得：当浮子的高度为时实际为：．
答：当浮子的高度为时，表示的时间为15时．
20. 文峰塔是古代人民为使当地文风、文脉顺达，多出人才，根据风水理论而建造的，具 有观赏性和标志性双重意义的建筑．其遍布全国各地州县，是科举制度的产物，同时也是儒、释、道三种思想共同作用下的产物．汾阳文峰塔建于明末清初，位置在山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔经过维修后，雄伟挺拔，如图1所示，喜欢考古的王师傅为了比对汾阳文峰塔维修前后高度的变化，利用无人机对其进行测量．图2是王师傅测量的示意图，代表汾阳文峰塔，他先把无人机从C处向上垂直飞行44米到达A处．测得文峰塔顶M的仰角是，再将无人机继续向上垂直飞行50米到达B处，测得文峰塔顶M的俯角是．

（1）求汾阳文峰塔维修后的高度．（结果精确到1米，参考数据：）；
（2）已知汾阳文峰塔维修前残高米，根据（1）的结果，直接算出维修后高度增加约 米．
【答案】（1）85 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定：
（1）如图所示，过点A和B分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，则四边形和四边形都是矩形，可得，设，解得到，解得到，则，解方程即可得到答案；
（2）用（1）的结果减去即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点A和B分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，则四边形和四边形都是矩形，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
答：汾阳文峰塔维修后的高度约为．
【小问2详解】
解：米，
∴维修后高度增加约米，
故答案为：．
21. 阅读与理解
小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务：
如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系．
根据题意，列表如下：
在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）．
任务一：
（1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像；
（2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的；
（3）函数的图像关于点 成中心对称；
任务二：
（1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是 ；
A．公理化思想 B．类比思想 C． 函数思想 D．转化思想
（2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的．
【答案】任务一：（1），，函数图像见解析；（2）函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的；（3）；任务二：（1）C；（2）函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的．
【解析】
【分析】本题主要考查了类比的数形思想，反比例函数图像的平移等知识点，掌握平移规律是解题的关键．
任务一：
（1）分别令求出对应的函数值，然后再运用描点法画出另一半图像即可；（2）（3）根据函数图像解答即可；
任务二：（1）根据研究过程归纳即可解答；（2）根据（1）的相关方法即可解答．
【详解】解：任务一：（1）当时，；当时，
根据图表绘制图像如下：
（2）根据函数图像可得：函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的．
（3）∵函数的图像关于原点成中心对称，函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的，
∴函数的图像关于点成中心对称．
任务二：（1）本题通过研究反比例函数图像，再以此类推研究二次函数图像的性质，这中方法属于类比思想，故选B．
（2）根据任务一的探究可知：函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的．
22. 综合与实践
问题情境：
如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系．
特例探究：
（1）如图，当点在边上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，发现，请说明理由；
拓展探究；
（2）如图2，点和分别为和的中点，点在外部时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，和，判断与的数量关系，并证明；
求异探究：
（3）如图3，当点在的延长线上时，连接， 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得，进而证明，得出，可得，即可得证；
（2）连接，先证明可得，，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（3）过点作，交的延长线于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，则，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）如图所示，连接，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴
∵，，
∴
∵点和分别为和的中点，
∴，则
∴
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴即
在中，
∴
∴；
（3）如图所示，过点作，交的延长线于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
在中，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点．
（1）求点A，，的坐标；
（2）如图1，连接，点D在线段上运动，过点D作轴于点F，交抛物线于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标；
（3）如图2，点G的坐标是，作直线，点H在y轴的负半轴上运动，连接BH交直线于点M，点N在该平面内运动，当以点，H，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）或或
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键
（1）分别令进行求解即可;
（2）先求出直线的解析式，然后设出点D、点E坐标，表示出，然后再根据的面积是的面积的求出，从而得到方法求解，进而完成解答；
（3）先求出直线、的解析式，然后联立求得，即；再分三种情况解答即可．
【小问1详解】
解：当有，整理得：，解得：或
所以;
当有，
∴．
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴，
设D点坐标为,，
，
∵，
∴、的边上的高相等，
∵的面积是的面积的，
∴,
∴，解得：或6，
∴D点的坐标为或．
【小问3详解】
解：∵，
设直线的解析式为，则有：，解得：，即，
设，则，
设直线解析式为，
则有，解得：，即，
联立可得：，解得：，
∴，
∴，
∴；
①当均为边时，则，
∴，即，化简得：，解得：或16（正值舍去）；
∴；
②当为边时，为对角线时，由对角线相互垂直平分可得：,
∴，解得：或18（正值舍去），
∴；
③当为对角线，为边时，,
∴，
∴，整理得：，解得：．
综上，或或．
组别
校区
校区
特征数
平均数
众数
中位数
方差
校区
校区
t（min）
···
···
h（mm）
···
···
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