2024年山东省潍坊市寿光市、昌邑市中考数学一模试卷

这是一份2024年山东省潍坊市寿光市、昌邑市中考数学一模试卷，共33页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在实数1、﹣1、、中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．D．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，错误的是（ ）
A．a＜bB．a+b＞0
C．|b|＜|a|D．（a+1）（b﹣1）＞0
4．（4分）某物体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．（ 2，﹣1）B．（ 2， ）C．（2，2﹣）D．（，1）
6．（4分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD⊥BC，垂足为点D，点P从点B出发，沿B→D→A的路径运动，运动到点A停止，过点P作PE∥AC交边AB于点E，过点P作PF∥AB交边AC于点F，设点P运动的路程为x，四边形AEPF的面积为y，则能正确反映y与x之问函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.）
（多选）7．（5分）抽查部分用户的用电量，统计数据如图所示，横轴为用电量（单位：千瓦时），纵轴为户数，关于这些用户的用电量的描述正确的是（ ）
A．中位数是40
B．平均值是42.6
C．众数是45
D．每户的用电量都增加10千瓦时，其方差也会增加10
（多选）8．（5分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点（1，4），与x轴负半轴交于点（﹣1，0），则下列结论中正确的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＝0
C．关于x的方程ax2+bx+c＝5有两个不等的实数根
D．当y＞0时，﹣1＜x＜3
（多选）9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按照以下步骤进行尺规作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于长为半径画圆弧，相交于E，F，连接EF交BC，AB于点D，G．（2）连接AD，CG．则下列说法一定正确的是（ ）
A．AD是△ABC的中线B．CG平分∠AGD
C．S△ADC＝2S△ADGD．若∠B＝30°，则
（多选）10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形（图中阴影部分），过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．则下列说法一定正确的是（ ）
A．四边形AFDB为矩形
B．
C．
D．两月牙形的面积等于四边形AFDB面积的
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。只写最后结果）
11．（4分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．∠ABE＝145°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是 ．
12．（4分）若关于x，y的方程的解满足x﹣y＝3，则m＝ ．
13．（4分）若x1与x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则＝ ．
14．（4分）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当AB取最小值时，△APB的面积为 ．
四、解答题（本题共8小题，共90分.解答应写出必要文字说明或演算步骤.）
15．（12分）（1）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
（2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
16．（12分）为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
初二1班体育模拟测试成绩分析表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这个班共有男生 人，共有女生 人．
（2）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
（3）若1班恰有3名女生和1名男生在体育测试中表现优异，预计从这4名学生中随机选取2名学生参加区运动会，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
17．（8分）在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和BC的中点D，AB＝6，点A的坐标为（a，8）．
（1）求a和k的值；
（2）若点M是四边形OABC内部反比例函数图象上一动点（不含边界），当直线y＝x+m经过点M时，求m的取值范围．
18．（10分）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0．lcm．参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
19．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，点H是CD的中点，连接HE、FH．
（1）判断四边形DFHE的形状，并证明；
（2）连接EF，若，求CD的长．
20．（10分）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y＝0.3x．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求二次函数的表达式；
（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
21．（12分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝CD；
（3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径．
22．（14分）小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），求点B的坐标；
【规律初探】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上，点F在边BC上，点G在边CD上，点H在边AD上，若四边形满足EG＝FH，请直接写出四边形EFGH面积S的取值范围；
【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于M，N两点，点M在点N的左侧，P，Q两点在该抛物线上．若以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且MN∥PQ．设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且m＞n，求m的值．
2024年山东省潍坊市寿光市、昌邑市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分.给出的每小题的四个选项中只有一项正确）
1．（4分）在实数1、﹣1、、中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【分析】先求出的近似值，然后根据正负数的大小比较即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故选：D．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
3．（4分）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，错误的是（ ）
A．a＜bB．a+b＞0
C．|b|＜|a|D．（a+1）（b﹣1）＞0
【分析】由数轴得，﹣1＜a＜0，b＞1，进一步判断出a＜b，a+b＞0，|b|＞|a|，（a+1）（b﹣1）＞0，从而作出判断．
【解答】解：由数轴得，﹣1＜a＜0，b＞1，
∴a＜b，a+b＞0，|b|＞|a|，（a+1）（b﹣1）＞0，
故选：C．
4．（4分）某物体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
5．（4分）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．（ 2，﹣1）B．（ 2， ）C．（2，2﹣）D．（，1）
【分析】设AB与y轴交于点E，AD与x轴交于点F，DC与y轴交于点G，根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝2，再根据题意可得：AD＝AD′＝2，DC＝D′C′＝2，GE＝AD＝2，AE＝AB＝1，然后利用平行线的性质可得∠AED′＝∠FOD′＝90°，从而在Rt△AED′中，利用勾股定可求出D′E的长，再根据题意可得：D′C′∥x轴，OE＝EG＝1，从而可求出D′O的长，即可解答．
【解答】解：如图：设AB与y轴交于点E，AD与x轴交于点F，DC与y轴交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝2，
由题意得：AD＝AD′＝2，DC＝D′C′＝2，GE＝AD＝2，AE＝AB＝1，
∵AB∥x轴，
∴∠AED′＝∠FOD′＝90°，
在Rt△AED′中，D′E＝＝＝，
由题意得：D′C′∥x轴，OE＝EG＝1，
∴OD′＝D′E﹣OE＝﹣1，
∴C′的坐标为（2，﹣1），
故选：A．
6．（4分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD⊥BC，垂足为点D，点P从点B出发，沿B→D→A的路径运动，运动到点A停止，过点P作PE∥AC交边AB于点E，过点P作PF∥AB交边AC于点F，设点P运动的路程为x，四边形AEPF的面积为y，则能正确反映y与x之问函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据△ABC是等边三角形，AB＝2，AD⊥BC，可得BD＝1，那么AD＝．根据所给选项判断出点P在线段BD及AD上，那么分别计算出0≤x≤1，1＜x≤1+时y与x的函数解析式即可判断出正确选项．
【解答】解：①当0≤x≤1时，点P在线段BD上．
∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴BC＝AB＝2，∠B＝∠C＝∠BAC＝60°．
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°．
∴∠B＝∠BEP＝∠BPE．
∴△BPE是等边三角形．
∵BP＝x，
∴S△BPE＝x2．
同理：△PFC是等边三角形．
∵PC＝BC﹣BP＝2﹣x．
∴S△PFC＝（2﹣x）2．
∵四边形AEPF的面积为y，
∴y＝×22﹣x2﹣（2﹣x）2＝（4﹣x2﹣4+4x﹣x2）＝（﹣2x2+4x）＝﹣x2+x．
∴此段函数图象是开口向下的二次函数图象．
②当1＜x≤1+时，点P在线段AD上．
∵AD⊥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝1．
∴AD＝．
∵PE∥AC，
∴∠APE＝∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝∠APE．
∴AE＝EP．
∵点P运动的路程为x，
∴AP＝1+﹣x．
作EN⊥AD于点N，
∴∠ANE＝90°，AN＝．
∴EN＝AN•tan30°＝•＝，
∴S△APE＝AP•EN＝×（1+﹣x）．
同理可得：S△APF＝×（1+﹣x）．
∴y＝（1+﹣x）．
观察x的二次项系数为正数，那么该范围内的函数图象为开口向上的二次函数图象．
故选：B．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.）
（多选）7．（5分）抽查部分用户的用电量，统计数据如图所示，横轴为用电量（单位：千瓦时），纵轴为户数，关于这些用户的用电量的描述正确的是（ ）
A．中位数是40
B．平均值是42.6
C．众数是45
D．每户的用电量都增加10千瓦时，其方差也会增加10
【分析】根据众数、中位数、平均数的定义及方差的性质求解即可．
【解答】解：抽查的用户一共有1+2+2+5+8+2＝20（户），
关于这20户居民用电量的中位数是＝42.5，
平均数为×（30+35×2+36×2+40×5+45×8+60×2）＝42.6，
众数是45，
每户的用电量都增加10千瓦时，其平均数增加10千瓦时，但是方差不变．
故选：BC．
（多选）8．（5分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点（1，4），与x轴负半轴交于点（﹣1，0），则下列结论中正确的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＝0
C．关于x的方程ax2+bx+c＝5有两个不等的实数根
D．当y＞0时，﹣1＜x＜3
【分析】根据函数的图象和二次函数的性质逐项判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点（1，4），与x轴负半轴交于点（﹣1，0），
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，故A正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＝4，故B不正确；
∵抛物线开口向下且顶点为（1，4），
∴直线y＝5与抛物线y＝ax2+bx+c没有交点．
∴关于x的方程ax2+bx+c＝5没有实数根，故C不正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于点（﹣1，0），
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴另一交点为（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，
故D正确．
故选：AD．
（多选）9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按照以下步骤进行尺规作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于长为半径画圆弧，相交于E，F，连接EF交BC，AB于点D，G．（2）连接AD，CG．则下列说法一定正确的是（ ）
A．AD是△ABC的中线B．CG平分∠AGD
C．S△ADC＝2S△ADGD．若∠B＝30°，则
【分析】根据线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知EF为BC的垂直平分线，
∴点D为BC中点，
∴AD为△ABC的中线，故①正确．
∴BG＝CG，
∴∠BDD＝∠CGD，
如果CG平分∠AGD，
则∠AGC＝∠CGD＝∠BGD＝60°，
∴∠B＝30°，
而题目中没有这个条件，故②错误；
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
∴S△ADC＝S△ABD，故③正确；
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝，BC＝AB，
∵CD＝BC＝AB，
∴＝＝，故D错误，
故选：AC．
（多选）10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形（图中阴影部分），过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．则下列说法一定正确的是（ ）
A．四边形AFDB为矩形
B．
C．
D．两月牙形的面积等于四边形AFDB面积的
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得∠D＝∠F＝90°，再根据DF∥AB即可对选项A进行判断；先证∠CAF＝∠ABC，在Rt△ACF中，tan∠CAF＝，由此可对选项B进行判断；过点C作CH⊥AB于H，取AB的中点M，连接CM，从而得AF＝CH≤CM＝AB，证△ACF∽△CBD得CF•CD＝BD•AF＝AF2，由此可对选项C进行判断；先证S△ABC＝S矩形AFDB，再通过计算得S阴影＝S△ABC，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵点D，F分别在以BC，AC为直径的圆上，
∴∠D＝∠F＝90°，
∵DF∥AB，
∴∠ABD+∠D＝180°，∠BAF+∠F＝180°，
∴∠ABD＝90°，∠BAF＝90°，
∴∠D＝∠F＝∠ABD＝∠BAF＝90°，
∴四边形AFDB为矩形，
故选项A正确；
∵∠BAF＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠CAF＝90°，∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CAF＝∠ABC，
∴tan∠CAF＝tan∠ABC，
在Rt△ACF中，tan∠CAF＝，
∴tan∠ABC＝，
故选项B正确；
过点C作CH⊥AB于H，取AB的中点M，连接CM，如下图所示：

根据“垂线段最短”得：CH≤CM，
∵∠ACB＝90°，
∴CM＝AB，
∴CH≤AB，
∵四边形AFDB为矩形，
∴AF＝BD，四边形AFCH为矩形，
∴CH＝AF≤AB，
∵∠F＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝90°，∠ACF+∠BCD＝90°，
∴∠CAF＝∠BCD，
又∵∠F＝∠D＝90°，
∴△ACF∽△CBD，
∴CF：BD＝AF：CD，
即CF•CD＝BD•AF＝AF2，
∵AF≤AB，
∴AF2≤AB2，
∴CF•CD≤AB2，
故选项C正确；
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
即AC2+BC2﹣AB2＝0，
∵S△ABC＝AB•AF，S矩形AFDB＝AF•AB，
∴S△ABC＝S矩形AFDB，
∵直径为AC的半圆面积＝•AC2，直径为BC的半圆面积＝•BC2，直径为AB半圆的面积＝•AB2，
又∵S阴影＝直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC﹣直径为AB半圆的面积
＝•AC2+π•BC2+S△ABC﹣•AB2
＝•（AC2+BC2﹣AB2）+S△ABC
＝S△ABC
＝S矩形AFDB，
故选项D不正确．
综上所述：正确的选项是ABC．
故选：ABC．
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。只写最后结果）
11．（4分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．∠ABE＝145°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是 65° ．
【分析】由平角得∠ABP＝30°，∠CDP＝20°，由平行线性质得∠BPN＝∠ABP＝30°，∠NPD＝∠CDP＝20°，故∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝50°．
【解答】解：∵∠ABE＝145°，
∴∠ABP＝35°，
∵∠CDF＝150°，
∴∠CDP＝30°，
∵AB∥MN∥CD，
∴∠BPN＝∠ABP＝35°，∠NPD＝∠CDP＝30°，
∴∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝65°，
故答案为：65°．
12．（4分）若关于x，y的方程的解满足x﹣y＝3，则m＝ 2 ．
【分析】将两个方程相减，得到x﹣y与m的关系式，将x﹣y＝3代入，求出m的值即可．
【解答】解：，
①﹣②，得x﹣y＝（1+2m）﹣（4﹣m），即x﹣y＝3m﹣3．
当x﹣y＝3时，3m﹣3＝3，解得m＝2．
故答案为：2．
13．（4分）若x1与x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则＝ 4 ．
【分析】利用根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2，再用整体思想即可解决问题．
【解答】解：∵x1与x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：4．
14．（4分）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当AB取最小值时，△APB的面积为 ．
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点P′作P′H⊥AB于点H．
则OQ＝6，MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝6，
∴AB＝2OP′＝12，
∵P′H∥MQ，
∴＝，
∴＝，
∴P′H＝，
∴△P′AB的面积＝•AB•P′H＝×12×＝．
故答案为：．
四、解答题（本题共8小题，共90分.解答应写出必要文字说明或演算步骤.）
15．（12分）（1）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
（2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
【分析】（1）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）
＝÷
＝•
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝﹣1；
（2），
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣2，
∴该不等式组的解集是﹣2≤x＜2，
其解集在数轴上表示如下：
．
16．（12分）为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
初二1班体育模拟测试成绩分析表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这个班共有男生 20 人，共有女生 25 人．
（2）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
（3）若1班恰有3名女生和1名男生在体育测试中表现优异，预计从这4名学生中随机选取2名学生参加区运动会，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
【分析】（1）由条形统计图可知，男生有20（人），故女生有45﹣20＝25（人）；
（2）由女生队的平均数较高，表示女生队测试成绩较好；女生队的众数较高，表示女生队的测试成绩高分较多可知女生表现更突出；
（3）画树状图，用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）由条形统计图可知，男生有1+2+6+3+5+3＝20（人），
∴女生有45﹣20＝25（人）；
故答案为：20，25；
（2）我认为女生队表现更突出，理由如下：
女生队的平均数较高，表示女生队测试成绩较好；
女生队的众数较高，女生队的众数为8，中位数也为8，而男生队众数为7低于中位数8，表示女生队的测试成绩高分较多；
（3）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好为一名男生、一名女生的有6种，
∴恰好为一名男生、一名女生的概率是＝．
17．（8分）在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和BC的中点D，AB＝6，点A的坐标为（a，8）．
（1）求a和k的值；
（2）若点M是四边形OABC内部反比例函数图象上一动点（不含边界），当直线y＝x+m经过点M时，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意求得C（6，0），点A，B的纵坐标是8，设A（a，8），则B（a+6，8），根据反比例函数系数k＝xy得出8a＝4×，解得a＝4，即可求得A（4，8），D（8，4），利用待定系数法即可求得反比例函数的表达式；
（2）分别求得直线y＝x+m经过点A和点D时的m的值，结合图象即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵AB＝6，
∴AB＝OC＝6，点A，B的纵坐标是8，
∴C（6，0）．
设A（a，8），则B（a+6，8），
∵点D为BC的中点，
∴D（，4）．
∵反比例函数 的图象经过点A和点D，
∴8a＝4×，解得a＝4，
∴点A，D的坐标分别是（4，8），（8，4），
∴k＝4×8＝32；
（2）把A（4，8）代入y＝x+m得，8＝4+m，解得m＝4，
把D（8，4）代入y＝x+m得，4＝8+m，解得m＝﹣4，
∴点M是四边形OABC内部反比例函数y＝（x＞0）图象上一动点（不含边界），当直线y＝x+m经过点M时，m的取值范围是﹣4＜m＜4．
18．（10分）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0．lcm．参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【分析】（1）过点E作EG⊥CD于点G，根据64°的正弦值可得DE的长，加上半径的长即为坐垫E到地面的距离；
（2）算出坐垫E′到CD的舒适距离，根据64°的正弦值可得CE′长度，减去CE长即为EE′的长度．
【解答】解：过点E作EG⊥CD于点G，
∴∠EGC＝90°．
∵BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm，
∴CE＝70（cm）．
∵∠ABC＝64°，AB∥CD，
∴∠ECD＝64°．
∴EG＝EC•sin64°≈70×0.90＝63（cm）．
∵CD∥l，CF⊥l，l与⊙D相切，车轮半径为32cm，
∴CF＝32（cm）．
∴坐垫E到地面的距离为：63+32＝95（cm）．
答：坐垫E到地面的距离为95cm；
（2）过点E′作E′G′⊥CD于点G′，
∴∠E′G′C＝90°．
∵小明的腿长约为84cm，
∴E′G′＝84×0.8＝67.2（cm）．
∵∠ECD＝64°，
∴CE′＝＝≈74.67（cm）．
∴EE′＝CE′﹣CE＝74.67﹣70＝4.67≈4.7（cm）．
答：EE′长4.7cm．
19．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，点H是CD的中点，连接HE、FH．
（1）判断四边形DFHE的形状，并证明；
（2）连接EF，若，求CD的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质得出DF＝DE，进而利用直角三角形的性质得出FH＝DH＝EH，进而利用菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出DH，进而解答即可．
【解答】解：（1）四边形DFHE是菱形，理由如下：
∵CD平分∠ACB，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，∠ACB＝60°，
∴DF＝DE，∠FCD＝∠DCE＝30°，
∵点H是CD的中点，
∴FH＝CH＝DH，EH＝CH＝DH，
∴FH＝HE，
∵∠DCE＝30°，DE⊥CB，
∴∠HDE＝60°，
∴△DHE是等边三角形，
∴DE＝HE＝DH，
∴DF＝DE＝HE＝FH，
∴四边形DFHE是菱形；
（2）连接EF，交DH于点O，
∵四边形DFHE是菱形，
∴OH＝OD＝DH，OF＝OE＝EF＝，EF⊥DH，
∵∠HDE＝60°，
∴OD＝，
∴CD＝2DH＝4OD＝4．
20．（10分）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y＝0.3x．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求二次函数的表达式；
（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
【分析】（1）由抛物线过原点可设y与x间的函数关系式为y＝ax2+bx，再利用待定系数法求解可得；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W万元，根据：A产品利润+B产品利润＝总利润可得W＝﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m），配方后根据二次函数的性质即可知最值情况．
【解答】解：（1）根据题意，设销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y＝ax2+bx，
将（1，1.4）、（3，3.6）代入解析式，
得：，
解得：，
∴销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y＝﹣0.1x2+1.5x；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W万元，
则W＝﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m），
＝﹣0.1m2+1.2m+3，
＝﹣0.1（m﹣6）2+6.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当m＝6时，W取得最大值，最大值为6.6万元，
答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
21．（12分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝CD；
（3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD交BC于H，根据圆周角定理和切线的判定即可证明；
（2）连接BD，由点E是△ABC的内心，得到∠ABE＝∠CBE，∠DBC＝∠BAD，推出∠BED＝∠DBE，根据等角对等边得到BD＝DE，即可得到结论；
（3）根据垂径定理和勾股定理即可求出结果．
【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
即∠BED＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∵，
∴BD＝CD，
∴DE＝CD；
（3）解：连接OD，OB，如图，
由（1）得OD⊥BC，BH＝CH，
∵BC＝8，
∴BH＝CH＝4，
∵DE＝2，BD＝DE，
∴BD＝2，
在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2，
∴（2）2＝42+HD2，解得：HD＝2，
在Rt△BHO中，
r2＝BH2+（r﹣2）2，解得：r＝5．
22．（14分）小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），求点B的坐标；
【规律初探】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上，点F在边BC上，点G在边CD上，点H在边AD上，若四边形满足EG＝FH，请直接写出四边形EFGH面积S的取值范围；
【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于M，N两点，点M在点N的左侧，P，Q两点在该抛物线上．若以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且MN∥PQ．设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且m＞n，求m的值．
【分析】（1）过点B作BK⊥y轴于点K，可证得△OBK≌△ACO（AAS），得出BK＝OC，OK＝OA，进而可求得点B的坐标；
（2）当四边形EFGH的顶点分别与正方形ABCD的顶点重合时，S四边形EFGH最大，当四边形EFGH的顶点E、F无限趋近B或E、H无限趋近A，G、H无限趋近D或F、G无限趋近C时，S四边形EFGH最小，分别确定S的最大值和最小值即可；
（3）求出点P和点Q的坐标，分点P，Q在x轴上方和点P，Q在x轴下方两种情况，求出一次函数的解析式，联立二次函数求交点即可得到m的值．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BK⊥y轴于点K，
则∠OKB＝90°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OKB＝∠AOC，
∵四边形OABC是垂等四边形，
∴OB＝AC，OB⊥AC，
∴∠OAC+∠AOB＝90°，
又∵∠KOB+∠AOB＝90°，
∴∠KOB＝∠OAC，
∴△OBK≌△ACO（AAS），
∴BK＝OC，OK＝OA，
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴OA＝4，OC＝3，
∴BK＝3，OK＝4，
∴点B的坐标为（3，4）；
（2）当四边形EFGH的顶点分别与正方形ABCD的顶点重合时，S四边形EFGH最大，S四边形EFGH＝S正方形ABCD＝a2，
当四边形EFGH的顶点E、F无限趋近B或E、H无限趋近A，G、H无限趋近D或F、G无限趋近C时，S四边形EFGH最小，无限趋近于0，
∴0＜S≤a2；
（3）把y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，
得﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴点M的坐标为（﹣1，0），点N的坐标为（3，0），
∵以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且MN∥PQ，
∴PM⊥QN，且PM＝QN，
若点P，Q在x轴上方，
设MP与NQ交于点K，过点K作KL⊥x轴，垂足为L，
由二次函数的对称性，且PM＝QN，PM⊥QN，
得∠KMN＝∠KNM＝45°，
∵∠MKN＝90°，
∴△KMN是等腰直角三角形，
∵MN＝4，KL⊥MN，
∴KL＝ML＝NL＝MN＝2，
∵OM＝1，
∴OL＝1，
∴点K的坐标为（1，2），
设直线PM的解析式为y＝k1x+b1，
代入M（﹣1，0），K（1，2），
得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
联立方程组得，
解得，（点M的坐标，舍去），
∴m的值为2；
若点P，Q在x轴下方，如图，
同理可得直线PM的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立，
解得，（点M的坐标，舍去），
∴m的值为4；
综上所述，m的值为2或4．
平均分
方差
中位数
众数
男生
7.9
1.99
8
7
女生
7.92
1.9936
8
8
平均分
方差
中位数
众数
男生
7.9
1.99
8
7
女生
7.92
1.9936
8
8