2023-2024学年江苏省无锡市经开区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市经开区八年级（下）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列标点符号中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各式：，2πr，，中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（3分）为了解我校八年级600名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（ ）
A．被抽取的100名学生的数学成绩是总体
B．样本容量是600
C．被抽取的100名学生是总体的一个样本
D．样本容量是100
4．（3分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，∠1＝45°，则∠2的度数是（ ）
A．105°B．90°C．75°D．30°
5．（3分）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角相等D．对边平行
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，点E、F、G、H分别是边CD、DA、AB、BC的中点，四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
8．（3分）若分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣D．
9．（3分）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…，第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（ ）
A．升B．升C．0升D．升
10．（3分）如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF．以下说法：
①∠EAF＝45°；
②DF最小值为；
③FE平分∠AFC；
④当DF最小时，四边形ECFA的面积是3．
其中一定正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）若分式的值为0，则x＝ ．
12．（3分）小明在水果店购买葡萄，为了解葡萄的口味，征求店家同意后，他取了一颗品尝．这种了解方式属于 （填“普查”或“抽样调查”）．
13．（3分）分式，，的最简公分母是 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝10，AC＝6，则△AOB的周长为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，其中点A、D的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），点B在x轴上，则点C的坐标为 ．
16．（3分）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
17．（3分）如图，在菱形ABCD中，BD＝BC＝2，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的动点，连接PB、PE，则PB+PE的最小值是 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点O是BD的中点，点E在BC边上，BE＝3．已知点P是AD边上动点（DP≤4），线段OP绕点O逆时针旋转一定的度数，使点P落在线段AE上的点Q处．连接PQ，则PQ2的最小值是 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）化简：
（1）；
（2）．
20．（10分）计算：
（1）解分式方程：．
（2）先化简，然后从﹣1，1，﹣2，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝4，AB＝5，求CF．
22．（8分）在“世界读书日”前夕，学校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了 名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
23．（8分）如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（0，1）．
（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C；
（3）四边形BCB1C1的面积为 ．
24．（8分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后每天比更新前多生产25件产品，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同，求更新设备后每天生产多少件产品．
25．（8分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），点D为对角线OB的中点．点P是OC边上一动点，直线PD交AB边于点E．
（1）求证：四边形OPBE为平行四边形；
（2）若△ODP的面积与四边形OAED的面积之比为1：3，求点P的坐标；
（3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以点O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
26．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形AOBC边长为2，点C的坐标为（2，2）．
（1）如图1，动点D在OB边上，将△BCD沿直线DC折叠，点B落在点B′处，连接DB′并延长，交AO于点E．
①当B′D＝OD时，点D的坐标是 ；
②若点E是线段OA的中点，求此时点D与点B′的坐标；
（2）如图2，动点D，G分别在边OB，AC上，将四边形DBCG沿直线DG折叠，使点B的对应点B′始终落在边OA上（点B′不与点O，A重合），点C落在点C′处，B′C′交AC于点E．设OB′＝t，四边形AB′DG的面积为S，直接写出S与t的关系式．
2023-2024学年江苏省无锡市经开区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列标点符号中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列各式：，2πr，，中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义得出答案即可．
【解答】解：分式有，，共2个．
故选：B．
3．（3分）为了解我校八年级600名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（ ）
A．被抽取的100名学生的数学成绩是总体
B．样本容量是600
C．被抽取的100名学生是总体的一个样本
D．样本容量是100
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、我校八年级600名学生的数学成绩是总体，故A不符合题意；
B、样本容量是100，故B不符合题意；
C、被抽取的100名学生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、样本容量是100，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，∠1＝45°，则∠2的度数是（ ）
A．105°B．90°C．75°D．30°
【分析】根据平行四边形的对角相等可以推知∠B＝∠D＝60°；然后由三角形内角和定理求得答案．
【解答】解：在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，则∠B＝∠D＝60°．
在△ABC中，∠B＝60°，∠1+∠2+∠B＝180°，∠1＝45°，则∠2＝75°．
故选：C．
5．（3分）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的加减法运算法则和性质计算并判断即可．
【解答】解：A、，故选项A符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、+a＝，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：A．
6．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角相等D．对边平行
【分析】首先总结出矩形的各个性质，然后总结出菱形的性质，最后比较可得矩形具有菱形不具有的性质．
【解答】解：矩形的对角线相等，对边平行且相等，对角也相等，
菱形的对角相等，对角线互相垂直平分，对边平行且相等，
于是可得矩形具有菱形不具有的性质是对角线相等．
故选：A．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，点E、F、G、H分别是边CD、DA、AB、BC的中点，四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【分析】根据三角形中位线定理和菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵点E、F、G、H分别是边CD、DA、AB、BC的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EF＝AC，GH＝AC，FG∥BD，EH∥BD，FG＝BD，EH＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵BD＝AC，
∴EF＝GH＝FG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形，
故选：C．
8．（3分）若分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣D．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：x+1＝m，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：m＝2+1＝3．
故选：A．
9．（3分）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…，第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（ ）
A．升B．升C．0升D．升
【分析】根据题意易知倒出水的规律，第n次倒出的水为升，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可．
【解答】解：根据题意可知，第一次倒出：（升），
第二次倒出：（升），
第三次倒出：（升），
…
第n次倒出：所以n次共倒出：+++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝（升），
所以第n次倒出水后，还剩下水1﹣＝（升）．
故选：A．
10．（3分）如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF．以下说法：
①∠EAF＝45°；
②DF最小值为；
③FE平分∠AFC；
④当DF最小时，四边形ECFA的面积是3．
其中一定正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
【分析】通过证明点A，点F，点C，点E四点共圆，可得∠AEF＝∠ACF＝90°，可求∠DCF的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求CG，CE，CH的长，由面积和差关系可求四边形AECF的面积．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝∠AFE＝45°，故①正确；
∴∠AFE＝∠ACE，
∴点A，点F，点C，点E四点共圆，
∴∠AEF＝∠ACF＝90°，∠CFE＝∠CAE≠45°＝∠AFE，
∴∠DCF＝45°，EF不平分∠AFC，故③错误；
∴当DF⊥CF时，DF有最小值，
过点F作NH∥CD，交AD的延长线于N，BC的延长线于H，
∵DF⊥CF，∠DCF＝45°，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴FD＝FC，
∵AB＝CD＝AD＝BC＝2，
∴DF＝FC＝，故②正确；
∵NH∥CD，
∴∠NFD＝∠FDC＝45°，∠HFC＝∠FCD＝45°，∠N＝∠ADC＝90°＝∠BCD＝∠H，
∴NF＝DN＝1，FH＝CH＝1，
∵DC∥NH，
∴△ADG∽△ANF，
∴，
∴，
∴DG＝，
∴GC＝，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEH＝90°＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠FEH，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴BE＝FH＝1，AB＝EH＝2，
∴四边形ECFA的面积＝（1+2）×（2+1）﹣×1×1﹣×2×1＝3，故④正确；
故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）若分式的值为0，则x＝ 1 ．
【分析】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得x＝1．
故答案为：1．
12．（3分）小明在水果店购买葡萄，为了解葡萄的口味，征求店家同意后，他取了一颗品尝．这种了解方式属于 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”）．
【分析】根据抽样调查和全面调查的概念判断即可．
【解答】解：种了解方式属于抽样调查，
故答案为：抽样调查．
13．（3分）分式，，的最简公分母是 6x ．
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【解答】解：分式，，的最简公分母是6x．
故答案为6x．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝10，AC＝6，则△AOB的周长为 13 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AO＝3，BO＝5，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴BO＝BD＝5，AO＝AC＝3，
∴△AOB的周长＝AO+BO+AB＝3+5+5＝13，
故答案为：13．
15．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，其中点A、D的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），点B在x轴上，则点C的坐标为 （5，4） ．
【分析】根据勾股定理得出AD，进而利用菱形的性质得出DC＝AD，进而解答即可．
【解答】解：∵点A、D的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），
∴OA＝3，OD＝4，
∴AD＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝AD＝5，
∴点C的坐标为（5，4），
故答案为：（5，4）．
16．（3分）已知非零实数x，y满足，则的值等于 6 ．
【分析】根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可．
【解答】解：∵x，y满足，
∴原式＝+
＝+4
＝2+4
＝6，
故答案为：6．
17．（3分）如图，在菱形ABCD中，BD＝BC＝2，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的动点，连接PB、PE，则PB+PE的最小值是 ．
【分析】连接PD，DE，推出PB+PE的最小值是DE，再判定△BCD是等边三角形，进而判定出DE⊥BC，利用勾股定理求出DE即可解决问题．
【解答】解：连接PD，DE，如图，
∵四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上的点，
∴BD＝CD，PD＝PB，
∴PB+PE＝PD+PE≥DE，
∴PB+PE的最小值是DE，
∵BD＝BC＝2，
∴△BCD是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴DE⊥BC，BE＝BC＝1，
由勾股定理，得DE＝＝＝，
∴PB+PE的最小值是．
故答案为：．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点O是BD的中点，点E在BC边上，BE＝3．已知点P是AD边上动点（DP≤4），线段OP绕点O逆时针旋转一定的度数，使点P落在线段AE上的点Q处．连接PQ，则PQ2的最小值是 ．
【分析】连接OA，作AG⊥BD于G，作OI⊥AD于1，OK⊥AE于K，证明Rt△KOQ≌Rt△IOP，得出，求出OP最小值即可．
【解答】解：连接OA，作AG⊥BD于G，
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，
∴BD＝＝4，
∴，
∵，
∴，
∴sin ，
∵BE＝3，AB＝4，∠ABE＝90°，
∴，
∴sin ，
∴∠AEB＝∠AOB＝2∠OAD，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝2∠OAD，
∴∠QAO＝∠OAD，
作OI⊥AD于I，OK⊥AE于K，
∴OI＝OK，
∵OP＝OQ，
∴Rt△KOQ≌Rt△IOP（HL），
∴∠QOK＝∠POI，
∴∠IOK＝∠POQ，
∵∠IOK+∠EAD＝∠IOK+2∠OAD＝180°，∠POQ+2∠OPQ＝180°，
∴∠OPQ＝∠OAD＝∠ADO，
∴tan∠OPQ＝tan∠ADO＝2，
作OH⊥PQ于H，
∴PQ＝2PH＝4OH，
∴，
∴PQ2＝16OH2，PO2＝5OH2，
∴，
当OP⊥AD时，OP最小，最小值为2，
此时，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分母不变，把分子相加即可；
（2）根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝1；
（2）原式＝•
＝．
20．（10分）计算：
（1）解分式方程：．
（2）先化简，然后从﹣1，1，﹣2，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】（1）方程两边同时乘以2x﹣1，求出x的值，代入最简公分母进行检验即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）两边同乘（2x﹣1）得，x＝2x﹣1+2，
解得x＝﹣1，
经检验：当x＝﹣1时，2x﹣1≠0，
所以原方程的解为x＝﹣1；
（2）原式＝÷
＝×
＝，
∵x﹣2≠0，x2﹣4≠0，x2﹣2x+1≠0，
∴x≠±2，x≠1；
∴x只可取﹣1，当x＝﹣1时，原式＝﹣．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝4，AB＝5，求CF．
【分析】（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，可知∠ADE＝∠CBD，然后根据AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，可知∠AED＝∠CFB＝90°，根据这三个条件即可证明全等；
（2）在Rt△ABE中利用勾股定理求得AE＝3；结合图形求得CF的长度即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB （AAS）．
∴AE＝CF；
（2）解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，
∴AE2＝AB2﹣BE2＝52﹣42＝9，
又∵AE＞0，
∴AE＝3．
∴CF＝AE＝3．
22．（8分）在“世界读书日”前夕，学校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了 200 名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数以及B所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），
故答案为：200名；
（2）D所占百分比为×100%＝15%，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%＝54°；
B所占的百分比是1﹣15%﹣20%﹣30%＝35%，
C的人数是：200×30%＝60（名），
补图如下：
（3）2000×35%＝700（名），
答：估计喜欢B（科技类）的学生大约有700名．
23．（8分）如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（0，1）．
（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C；
（3）四边形BCB1C1的面积为 6 ．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C即为所求．
（3）四边形BCB1C1的面积为＝6．
故答案为：6．
24．（8分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后每天比更新前多生产25件产品，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产 （x+25） 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同，求更新设备后每天生产多少件产品．
【分析】（1）利用更新设备后每天生产产品的件数＝更新设备前每天生产产品的件数+25，即可用含x的代数式表示出更新设备后每天生产产品的件数；
（2）利用生产时间＝生产总量÷生产效率，结合更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出更新设备前每天生产产品的件数，再将其代入x+25中，即可求出更新设备后每天生产产品的件数．
【解答】解：（1）∵更新设备后每天比更新前多生产25件产品，且设更新设备前每天生产x件产品，
∴更新设备后每天生产（x+25）件产品．
故答案为：（x+25）；
（2）根据题意得：＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+25＝150+25＝175（件）．
答：更新设备后每天生产175件产品．
25．（8分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），点D为对角线OB的中点．点P是OC边上一动点，直线PD交AB边于点E．
（1）求证：四边形OPBE为平行四边形；
（2）若△ODP的面积与四边形OAED的面积之比为1：3，求点P的坐标；
（3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以点O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）证明△OPD≌△BED（AAS），得出OP＝BE，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）设P（0，t），求出S四边形OAED＝S△AED+S△ODA＝﹣+24．根据面积关系可得出答案；
（3）分三种情况，由菱形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠COB＝∠OBA，∠OPE＝∠PEB，
∵D为OB中点，
∴OD＝BD，
∴△OPD≌△BED（AAS），
∴OP＝BE，
又∵OC∥AB，即OP∥BE，
∴四边形OPBE为平行四边形；
（2）解：∵O（0，0），B（6，8），
∴OB中点D坐标为（3，4），
设P（0，t），则OP＝t，
∴S△OPD＝t•3＝，
设PD的直线表达式为y＝kx+t，
∵D在PD上，
∴4＝3k+t，
∴k＝，
∴PD：y＝．
令x＝6，则y＝﹣t+8，
∴E（6，8﹣t）．
∴S四边形OAED＝S△AED+S△ODA＝（8﹣t）+12＝﹣+24．
∵S△OPD：S四边形OAED＝1：3，
∴﹣+24＝3×，
解得：t＝4，
∴P（0，4）．
（3）解：Q的坐标为（3，9）或（﹣3，4）或（3，）．
如图，以OD为边，四边形ODQP为菱形，
∵D（3，4），
∴OD＝＝5，
∴Q（3，9）；
如图，以OD为边，四边形ODPQ为菱形，
∴点D与点Q关于y轴对称，
∴Q（﹣3，4）；
如图，以OD为对角线，四边形OQDP为菱形，延长DQ交x轴于点H，则QH⊥x轴，
设OQ＝DQ＝m，则QH＝4﹣m，
∴32+（4﹣m）2＝m2，
∴m＝，
∴DQ＝，
∴QH＝4﹣＝，
∴Q（3，）．
综上所述，Q的坐标为（3，9）或（﹣3，4）或（3，）．
26．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形AOBC边长为2，点C的坐标为（2，2）．
（1）如图1，动点D在OB边上，将△BCD沿直线DC折叠，点B落在点B′处，连接DB′并延长，交AO于点E．
①当B′D＝OD时，点D的坐标是 （1，0） ；
②若点E是线段OA的中点，求此时点D与点B′的坐标；
（2）如图2，动点D，G分别在边OB，AC上，将四边形DBCG沿直线DG折叠，使点B的对应点B′始终落在边OA上（点B′不与点O，A重合），点C落在点C′处，B′C′交AC于点E．设OB′＝t，四边形AB′DG的面积为S，直接写出S与t的关系式．
【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案；
②连接CE．证明Rt△EAC≌Rt△E′BC（HL），得出EB′＝AE，设D（x，0），则OD＝x，DB＝DB′＝2﹣x，DE＝3﹣x．由勾股定理可求出D点坐标，证出S△OEB′：S△ODB′＝3：2，由可得出答案；
（2）连接B'G，B'B，BG，设OB'＝t，则AB'＝OA﹣OB'＝2﹣t．设BD＝B'D＝m，则OD＝OB﹣BD＝2﹣m，解得．由梯形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）①∵正方形AOBC边长为2，点C的坐标为（2，2），
∴OB＝BC＝AC＝OA＝2，
∵将△BCD沿直线DC折叠，
∴B′D＝BD，
又∵B′D＝OD，
∴BD＝OD，
∴，
∴点D的坐标是（1，0），
故答案为：（1，0）；
②连接CE．
∵折叠，
∴CB′＝CB＝AC＝2．
在Rt△EAC和Rt△E′BC中，
，
∴Rt△EAC≌Rt△E′BC（HL），
∴EB′＝AE，
∵E为OA中点，
∴AE＝OE＝OA＝1，
∴EB′＝AE＝1．
设D（x，0），则OD＝x，DB＝DB′＝2﹣x，DE＝3﹣x．
∵∠EOD＝90°，
∴12+x2＝（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴D（，0），
∵EB′：DB′＝1：（2﹣）＝3：2，
∴S△OEB′：S△ODB′＝3：2，
又∵S△OED＝××1＝，
∴S△OEB′＝S△OED＝，S△ODB′＝S△OED＝，
∴＝×1×xB′，＝××yB′
∴xB′＝，yB′＝，
∴B′（，﹣）．
（2）如图，连接B'G，B'B，BG，
设OB'＝t，则AB'＝OA﹣OB'＝2﹣t．设BD＝B'D＝m，则OD＝OB﹣BD＝2﹣m，
在RtΔOB'D中，OB'+OD2＝B'D2，
∴t2+（2﹣m）2＝m2，
解得．
∴，
设CG＝n，则AG＝AC﹣CG＝2﹣n，
在 Rt△AB'G中，B'G2＝AB'2+AG2＝（2﹣t）2+（2﹣n）2，
在Rt△BCG中，BG2＝CG2+BC2＝n2+22＝n2+4，
由折叠可知DG垂直平分B'B，
∴B'G＝BG，
∴B'G2＝BG2，
即（2﹣t）2+（2﹣n）2＝n2+4，
解得，
∴S梯形DBCG＝×，
∴S＝S正方形OABC﹣S△BOD﹣S梯形DBCG＝2＝+．