2023-2024学年福建省福州市福清市七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年福建省福州市福清市七年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）如图所示，在所标识的角中，内错角是（ ）
A．∠1和∠2B．∠2和∠3C．∠1和∠3D．∠2和∠4
3．（4分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．0.24D．2024
4．（4分）下列选项计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）在解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A．3x﹣2x﹣3＝8B．3x﹣2x﹣6＝8C．3x﹣4x﹣3＝8D．3x﹣4x+6＝8
6．（4分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，那么点A到直线BC的距离是（ ）
A．线段AD的长度B．线段AB的长度
C．线段CD的长度D．线段BD的长度
7．（4分）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上的一点O由原点到达点O′，点O′在数轴上所表示的数是（ ）
A．πB．﹣πC．2πD．﹣2π
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）若实数a，b满足a+b＝6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，AB∥CD，∠ABF＝∠EBF，∠CDF＝∠FDE，如果∠BFD＝α，那么∠BED的度数是（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．360°﹣3αD．360°﹣4α
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“两直线平行，同位角相等”的题设是 ．
12．（4分）已知方程5x+y＝11，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
13．（4分）已知某正数的两个平方根分别是3和2a﹣9，则a＝ ．
14．（4分）如图是一款折叠LED护眼灯示意图，点C在底座AB上，CD、DE分别是长臂和短臂，若DE∥AB，∠DCA＝70°，则∠CDE＝ ．
15．（4分）已知y＝ax+b，下表列出了部分对应值，则m的值为 ．
16．（4分）已知，则s的整数部分是 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（10分）（1）解方程组；
（2）求x的值：（x﹣2）2﹣25＝0．
19．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝50°，射线OF平分∠AOC，求∠AOF的大小．
20．（6分）完成下面的推理过程，补全括号中的推理依据：
如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
证明：∵∠A＝∠F（已知），
∴AC∥DF（ ），
∴∠C+∠ ＝180°（ ），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠D+∠ ＝180°（ ），
∴BD∥CD（ ）．
21．（8分）关于x，y的方程组的解满足2x+y＝1，求m的值．
22．（10分）如图，将△ABC中的边AB沿着AC方向平移到ED，ED交BC于点O，连接BD，BE．
（1）若∠AEB＝70°，∠CBD＝60°，求∠EBC的大小；
（2）若AB＝7，BC＝8，AC＝3，边AB在平移的过程中，点E始终在边AC上（不与点A，点C重合），求△EOC与△BOD周长的和．
23．（10分）福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最省？
24．（12分）阅读材料，并完成下列问题：
寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数．问题再发现：
（1）小刚受到小明的启发，把图2①剪拼成图2②后，找到无理数，请你在图2①中画出裁剪线（用实线）；
（2）参考小明、小刚的作法，请你将图3中长为5，宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个正方形；
①求该正方形的边长；②请在图3中画出一种满足条件的裁剪线（用实线）．
25．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，DG平分∠ADC交BC于点G．
（1）求证：∠CDG＝∠CGD；
（2）如图2，线段AB与DG的延长线相交于点E，连接EC，过点G作MG⊥DE交AE于点M，若∠ADE：∠BCE＝5：3，猜想∠BGM与∠DEC之间的数量关系并证明；
（3）如图3所示，点H是线段AD上一点，BH∥DG，若线段DG上有一点P，满足∠DCP＝3∠GCP，∠ABC＝90°，在直线DG上取一点M，使得∠PCM＝∠ABH，求的值．
2023-2024学年福建省福州市福清市七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，进而可得答案．
【解答】解：A、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
B、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
C、能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项符合题意；
D、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（4分）如图所示，在所标识的角中，内错角是（ ）
A．∠1和∠2B．∠2和∠3C．∠1和∠3D．∠2和∠4
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，故A不符合题意；
B、∠2和∠3是内错角，故B符合题意；
C、∠1和∠3是同位角，故C不符合题意；
D、∠2和∠4是同位角，故D不符合题意；
故选：B．
3．（4分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．0.24D．2024
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：﹣，0.24是分数，2024是整数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：B．
4．（4分）下列选项计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据立方根、平方根以及算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：A、＝5，故该项不正确，不符合题意；
B、＝±3，故该项不正确，不符合题意；
C、＝2，故该项正确，符合题意；
D、＝1，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
5．（4分）在解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A．3x﹣2x﹣3＝8B．3x﹣2x﹣6＝8C．3x﹣4x﹣3＝8D．3x﹣4x+6＝8
【分析】利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：将方程①代入②得：3x﹣2（2x﹣3）＝8，
整理得：3x﹣4x+6＝8，
故选：D．
6．（4分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，那么点A到直线BC的距离是（ ）
A．线段AD的长度B．线段AB的长度
C．线段CD的长度D．线段BD的长度
【分析】由AD⊥BC，∠BAC＝90°，可推断线段AD的长度即点A到直线BC的距离．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴线段AD的长度即点A到直线BC的距离，
故选：A．
7．（4分）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上的一点O由原点到达点O′，点O′在数轴上所表示的数是（ ）
A．πB．﹣πC．2πD．﹣2π
【分析】圆的周长为π•d＝π×1＝π，圆从原点沿数轴向左滚动一周时OO′＝π，以此进行解答．
【解答】解：∵圆的周长为π•d＝π×1＝π
∴圆从原点沿数轴向左滚动一周时OO′＝π，即点O′在数轴上所表示的数是﹣π，
故选：B．
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴．
∴所列方程组为．
故选：B．
9．（4分）若实数a，b满足a+b＝6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意列式计算即可．
【解答】解：由题意得6﹣（3﹣）＝6﹣3+＝3+，
故选：A．
10．（4分）如图，AB∥CD，∠ABF＝∠EBF，∠CDF＝∠FDE，如果∠BFD＝α，那么∠BED的度数是（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．360°﹣3αD．360°﹣4α
【分析】过F点作FN∥AB，则FN∥AB∥CD，根据平行线的性质证得∠BFD＝α＝∠ABF+∠CDF，再根据∠ABF＝∠EBF，∠CDF＝∠FDE证得∠EBF+∠CDF＝3α，再根据四边形的内角和求出∠BED即可．
【解答】解：过F点作FN∥AB，
∴∠ABF＝∠BFN，
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠CDF＝∠DFN，
∴∠BFN+∠DFN＝∠BFD＝α＝∠ABF+∠CDF，
∵∠ABF＝∠EBF，∠CDF＝∠FDE，
∴∠EBF+∠CDF＝3α，
∵∠BFD+∠EBF+∠CDF+∠BED＝360°，
∴4α+∠BED＝360°，
∴∠BED＝360°﹣4α．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“两直线平行，同位角相等”的题设是 两直线平行 ．
【分析】把命题改成“如果...那么...”，“如果”后面的就是题设．
【解答】解：命题“两直线平行，同位角相等”可改成“如果两直线平行，那么同位角相等”，
∴题设是：两直线平行，
故答案为：两直线平行．
12．（4分）已知方程5x+y＝11，用含x的代数式表示y，则y＝ 11﹣5x ．
【分析】通过移项即可用含x的代数式表示y．
【解答】解：∵5x+y＝11，
∴y＝11﹣5x，
故答案为：11﹣5x．
13．（4分）已知某正数的两个平方根分别是3和2a﹣9，则a＝ 3 ．
【分析】根据平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是3和2a﹣9，
∴2a﹣9＝﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
14．（4分）如图是一款折叠LED护眼灯示意图，点C在底座AB上，CD、DE分别是长臂和短臂，若DE∥AB，∠DCA＝70°，则∠CDE＝ 110° ．
【分析】利用平行线的性质，即可解答．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠DCA+∠CDE＝180°，
∵∠DCA＝70°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DCA＝11°，
故答案为：110°．
15．（4分）已知y＝ax+b，下表列出了部分对应值，则m的值为 ﹣ ．
【分析】先根据待定系数法求出一次函数解析式，再将点（m+n，2n）坐标代入解析式求出m值即可．
【解答】解：由表格数据可知，一次函数y＝ax+b的图象过点（1，3），（4，9），
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：y＝2x+1，
又∵点（m+n，2n）在函数y＝2x+1图象上，
∴2（m+n）+1＝2n，
解得：m＝﹣．
故答案为：﹣．
16．（4分）已知，则s的整数部分是 2023 ．
【分析】先把s整理成，再估算出的范围，从而得出答案．
【解答】解：∵s＝＝＝，
∴2023＜＜2024，
∴s的整数部分是2023．
故答案为：2023．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用立方根的性质以及算术平方根化简，进而得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）
＝﹣2+4
＝2；
（2）
＝2﹣+3
＝2+2．
18．（10分）（1）解方程组；
（2）求x的值：（x﹣2）2﹣25＝0．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1），
①﹣②得：2y＝﹣8，
解得：y＝﹣4，
将y＝﹣4代入②得：x﹣4＝2，
解得：x＝6，
故原方程组的解为；
（2）由原方程得（x﹣2）2＝25，
则x﹣2＝±5，
解得：x＝7或x＝﹣3．
19．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝50°，射线OF平分∠AOC，求∠AOF的大小．
【分析】因为OE⊥CD，所以∠EOD＝90°，已知∠BOE＝50°，可得∠BOD的度数，因为∠BOD＝∠AOC，可得∠AOC的度数，因为射线OF平分∠AOC，可得∠AOF的度数．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝50°，
∴∠BOD＝40°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝40°，
∵射线OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF＝20°．
20．（6分）完成下面的推理过程，补全括号中的推理依据：
如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
证明：∵∠A＝∠F（已知），
∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠C+∠ DEC ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠D+∠ DEC ＝180°（ 等量代换 ），
∴BD∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】证明：∵∠A＝∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠C+∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠D+∠DEC＝180°（等量代换），
∴BD∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；DEC；两直线平行，同旁内角互补；DEC；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
21．（8分）关于x，y的方程组的解满足2x+y＝1，求m的值．
【分析】两个方程直接相加即可得出2x+y＝3+2m，结合已知条件2x+y＝1，即可求出m的值．
【解答】解：，
①+②，得2x+y＝3+2m，
∵2x+y＝1，
∴3+2m＝1，
解得m＝﹣1．
22．（10分）如图，将△ABC中的边AB沿着AC方向平移到ED，ED交BC于点O，连接BD，BE．
（1）若∠AEB＝70°，∠CBD＝60°，求∠EBC的大小；
（2）若AB＝7，BC＝8，AC＝3，边AB在平移的过程中，点E始终在边AC上（不与点A，点C重合），求△EOC与△BOD周长的和．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质求解；
（2）利用平移的性质，证明△EOC与△BOD周长的和＝AB+BC+AC．
【解答】解：（1）∵边AB沿着AC方向平移到ED，
∴AC∥DB，
∴∠C＝∠CBD＝60°，
∵∠AEB＝∠C+∠EBC，
∴∠EBC＝70°﹣60°＝10°；
（2）∵AB＝ED，AE＝DB，
∴△EOC与△BOD周长的和＝CE+CO+EO+OD+OB+DB＝DE+BC+EC+AE＝AB+BC+AC＝7+8+3＝18．
23．（10分）福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最省？
【分析】（1）设49座的客车每辆每天的租金是x元，35座的客车每辆每天的租金是y元，根据“49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆49座的客车，n辆35座的客车，根据租用的两种客车满载可乘坐700人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各方案所需租金，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设49座的客车每辆每天的租金是x元，35座的客车每辆每天的租金是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元；
（2）设租用m辆49座的客车，n辆35座的客车，
根据题意得：49m+35n＝700，
∴n＝20﹣m．
又∵m，n均为自然数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用20辆35座的客车，所需租金为600×20＝12000（元）；
方案2：租用5辆49座的客车，13辆35座的客车，所需租金为800×5+600×13＝11800（元）；
方案3：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，所需租金为800×10+600×6＝11600（元）．
∵12000＞11800＞11600，
∴租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车．
24．（12分）阅读材料，并完成下列问题：
寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数．问题再发现：
（1）小刚受到小明的启发，把图2①剪拼成图2②后，找到无理数，请你在图2①中画出裁剪线（用实线）；
（2）参考小明、小刚的作法，请你将图3中长为5，宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个正方形；
①求该正方形的边长；②请在图3中画出一种满足条件的裁剪线（用实线）．
【分析】（1）剪1个边长为1的正方形，4个两直角边分别为2，1的直角三角形即可；
（2）①根据面积为10即可得到边长；②剪1个边长为2的正方形，4个两直角边分别为3，1的直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图2①中的实线即为裁剪线；
（2）①∵拼成一个面积为10的正方形，
∴正方形的边长为；
②如图3①中的实线为裁剪线，拼成的正方形如图3②．
25．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，DG平分∠ADC交BC于点G．
（1）求证：∠CDG＝∠CGD；
（2）如图2，线段AB与DG的延长线相交于点E，连接EC，过点G作MG⊥DE交AE于点M，若∠ADE：∠BCE＝5：3，猜想∠BGM与∠DEC之间的数量关系并证明；
（3）如图3所示，点H是线段AD上一点，BH∥DG，若线段DG上有一点P，满足∠DCP＝3∠GCP，∠ABC＝90°，在直线DG上取一点M，使得∠PCM＝∠ABH，求的值．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质解答即可；
（2）设∠ADE＝5x，则∠BCE＝3x，利用（1）的结论和三角形的内角和定理求得∠DCE，进而得到，代入∠BGM+∠DGC＝90°中，结论可求；
（3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点M在点G的下方时，设∠GCP＝m，则∠DCP＝3m，∠DCG＝4m，利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠ABH＝2m，再利用已知条件求得∠GCM＝m，∠DCM＝5m，结论可得；②当点M在线段DG上时，利用①的方法解答即可．
【解答】（1）证明：∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDG．
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠DGC，
∴∠CDG＝∠CGD；
（2）∠BGM与∠DEC之间的数量关系为：∠BGM+∠DEC＝90°．理由：
∵∠ADE：∠BCE＝5：3，
∴设∠ADE＝5x，则∠BCE＝3x，
由（1）知：∠ADE＝∠CDG＝∠CGD＝5x，
∵MG⊥DE，
∴∠MGD＝90°，
∴∠BGM+∠DGC＝90°．
∵∠DGC＝∠BCE+∠DEC，
∴∠DCE＝∠DGC﹣∠BCE＝5x﹣3x＝2x，
∴，
∴∠DGC＝∠DEC．
∴∠BGM+∠DEC＝90°；
（3）①当点M在点G的下方时，如图，
∵∠DCP＝3∠GCP，
∴设∠GCP＝m，则∠DCP＝3m，
∴∠DCG＝4m．
由（1）知：∠CDG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD＝＝90°﹣2m．
∵BH∥DG，
∴∠HBG＝∠DGC＝90°﹣2m．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABH＝2m．
∵∠PCM＝∠ABH，
∴∠PCM＝2m，
∴∠GCM＝∠PCM﹣∠GCP＝m，
∴∠DCM＝∠DCG+∠GCM＝5m，
∴＝＝5；
②当点M在线段DG上时，如图，
∵∠DCP＝3∠GCP，
∴设∠GCP＝m，则∠DCP＝3m，
∴∠DCG＝4m．
由（1）知：∠CDG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD＝＝90°﹣2m．
∵BH∥DG，
∴∠HBG＝∠DGC＝90°﹣2m．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABH＝2m．
∵∠PCM＝∠ABH，
∴∠PCM＝2m，
∴∠GCM＝∠PCM+∠GCP＝3m，
∴∠DCM＝∠DCG﹣∠GCM＝m，
∴＝．
综上，的值为5或．
x
1
n+m
4
y
3
2n
9
x
1
n+m
4
y
3
2n
9