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广东省深圳市2024届高三第二次调研考试（二模）数学试题
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这是一份广东省深圳市2024届高三第二次调研考试（二模）数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知n为正整数，且 ， 则
A . B . C . D .
2. 已知正方体 ， 过点A且以为法向量的平面为 ， 则截该正方体所得截面的形状为
A . 三角形 B . 四边形 C . 五边形 D . 六边形
3. 对于任意集合M，N，下列关系正确的是
A . B . C . D .
4. 已知 ， 且 ， 则函数的图象一定经过
A . 一、二象限 B . 一、三象限 C . 二、四象限 D . 三、四象限
5. 已知 ， 其中为虚数单位，则
A . B . C . D .
6. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有
A . 72种 B . 96种 C . 144种 D . 288种
7. P是椭圆C：（）上一点，、是C的两个焦点， ， 点Q在的平分线上，O为原点， ， 且 ． 则C的离心率为
A . B . C . D .
8. 设函数 ， ， 若存在 ， ， 使得 ， 则的最小值为
A . B . 1 C . 2 D . e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(共3题；共18分)
9. 已知m，n是异面直线， ， ， 那么
A . 当 ， 或时， B . 当 ， 且时， C . 当时， ， 或 D . 当 ， 不平行时，m与不平行，且n与不平行
10. 已知函数（ ， ）的最大值为2，其部分图象如图所示，则
A . B . 函数为偶函数 C . 满足条件的正实数 ， 存在且唯一 D . 是周期函数，且最小正周期为
11. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 已知样本 ， ， 的平均数为2，方差为1，则 ， ， 的平均数为．
13. 已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为 ， 则该圆锥的表面积为．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
14. 已知△ABC中， ， 双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为；的取值范围为．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且 ， ．
（1） 证明：平面ABC；
（2） 若 ， ， 求平面与平面夹角的余弦值．
16. 已知函数 ， 是的导函数，且 ．
（1） 若曲线在处的切线为 ， 求k，b的值；
（2） 在（1）的条件下，证明： ．
17. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
（1） 从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（2） 为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知 ， 证明： ．
18. 设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意 ， 直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．
（1） 求C的方程；
（2） 若直线 ， 且l＇与C相切于点N，证明：△AMN的面积不小于 ．
19. 无穷数列 ， ， …， ， …的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 ．
（1） 写出这个数列的前7项；
（2） 如果且 ， 求m，n的值；
（3） 记 ， ， 求一个正整数n，满足 ．
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(总分：150)
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分数：150分
题数：19
难度系数：0
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 16 17 18 19
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知n为正整数，且 ， 则
A . B . C . D .
2. 已知正方体 ， 过点A且以为法向量的平面为 ， 则截该正方体所得截面的形状为
A . 三角形 B . 四边形 C . 五边形 D . 六边形
3. 对于任意集合M，N，下列关系正确的是
A . B . C . D .
4. 已知 ， 且 ， 则函数的图象一定经过
A . 一、二象限 B . 一、三象限 C . 二、四象限 D . 三、四象限
5. 已知 ， 其中为虚数单位，则
A . B . C . D .
6. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有
A . 72种 B . 96种 C . 144种 D . 288种
7. P是椭圆C：（）上一点，、是C的两个焦点， ， 点Q在的平分线上，O为原点， ， 且 ． 则C的离心率为
A . B . C . D .
8. 设函数 ， ， 若存在 ， ， 使得 ， 则的最小值为
A . B . 1 C . 2 D . e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(共3题；共18分)
9. 已知m，n是异面直线， ， ， 那么
A . 当 ， 或时， B . 当 ， 且时， C . 当时， ， 或 D . 当 ， 不平行时，m与不平行，且n与不平行
10. 已知函数（ ， ）的最大值为2，其部分图象如图所示，则
A . B . 函数为偶函数 C . 满足条件的正实数 ， 存在且唯一 D . 是周期函数，且最小正周期为
11. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 已知样本 ， ， 的平均数为2，方差为1，则 ， ， 的平均数为．
13. 已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为 ， 则该圆锥的表面积为．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
14. 已知△ABC中， ， 双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为；的取值范围为．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且 ， ．
（1） 证明：平面ABC；
（2） 若 ， ， 求平面与平面夹角的余弦值．
16. 已知函数 ， 是的导函数，且 ．
（1） 若曲线在处的切线为 ， 求k，b的值；
（2） 在（1）的条件下，证明： ．
17. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
（1） 从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（2） 为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知 ， 证明： ．
18. 设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意 ， 直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．
（1） 求C的方程；
（2） 若直线 ， 且l＇与C相切于点N，证明：△AMN的面积不小于 ．
19. 无穷数列 ， ， …， ， …的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 ．
（1） 写出这个数列的前7项；
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（3） 记 ， ， 求一个正整数n，满足 ．
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分数：150分
题数：19
难度系数：0
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
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15 16 17 18 19
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