重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期4月高考模拟监测（一）数学试题

这是一份重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期4月高考模拟监测（一）数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 若为虚数单位，复数 ， 则（ ）
A . B . C . D .
3. 已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ）
A . 245 B . 244 C . 242 D . 241
4. 洪崖洞是具有重庆特色的吊脚楼式建筑，它的屋顶可近似看作一个多面体，右图是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角 ， ， 则该屋顶的侧面积为（ ）

A . 80 B . C . 160 D .
5. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为 ， 若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为 ， 直线与轴分别交于两点，则（ ）
A . B . C . D .
6. 在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是（ ）
A . B . C . D .
7. 已知与都是非零有理数，则在 ， ， 中，一定是有理数的有（ ）个.
A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
8. 定义 ， 对于任意实数 ， 则的值是（ ）
A . B . C . D .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。(共3题；共18分)
9. 已知 ， ， 且 ， 则（ ）
A . B . C . D .
10. 已知 ， ， 则（ ）
A . 函数在上的最大值为3 B . ， C . 函数在上没有零点 D . 函数的极值点有2个
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ， 左、右顶点分别为 ， ， 为坐标原点，直线交双曲线的右支于 ， 两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，则（ ）
A . 为定值 B . C . 点到两条渐近线的距离之和的最小值为 D . 不存在直线使
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 已知正三角形的边长为2，点满足 ， 且 ， ， ， 则的取值范围是.
13. (2024高三下·武汉模拟) 从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级， ， 第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是．
14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. (2024高二下·潮阳期中) 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1） 求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2） 若 ， ， ， 求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
16. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
（1） 求函数的表达式；
（2） 对任意实数 ， 不等式恒成立，求实数t的取值范围.
17. 三峡之巅景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
（1） 若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2） 记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ， 否则该组标为B ， 记询问的某组被标为B的概率为p ．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
18. 已知椭圆的左、右顶点分别为 ， 直线的斜率为 ， 直线与椭圆交于另一点 ， 且点到轴的距离为 ．
（1） 求椭圆的方程．
（2） 若点是上与点不重合的任意一点，直线与轴分别交于点 ．
①设直线的斜率分别为 ， 求的取值范围．
②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
19. 重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线上的曲线段 ， 其弧长为 ， 当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线 ， 记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A ， 即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为 ， 其中 ．

（1） 求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
（2） 已知函数 ， 求曲线的曲率的最大值；
（3） 已知函数 ， 若曲率为0时x的最小值分别为 ， 求证： ．
难度系数：0.55
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 16 17 18 19
第Ⅱ卷