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贵州省黔东南苗族侗族自治州凯里市第一中学2024届高三下学期4月模拟考试（二模）数学试题
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这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州凯里市第一中学2024届高三下学期4月模拟考试（二模）数学试题，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题；共40分)
1. 若对任意 ， ， 则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A . B . C . D .
2. 已知向量 ， ， 在方向上的投影向量为 ， 则（ ）
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
3. 直线与圆交于 ， 两点，若 ， 则（ ）
A . 2 B . 1 C . D .
4. 已知等比数列的前项和为 ， 若 ， ， 则（ ）
A . 201 B . 121 C . 61 D . 61或121
5. 平面过直三棱柱的顶点 ， 平面平面 ， 平面平面 ， 且 ， ， 则与所成角的正弦值为（ ）
A . B . C . D .
6. 贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“黄小西吃晚饭”．“黄小西”分别指黄果树、荔波小七孔和西江千户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐音对应的三个景区：赤水国家级风景名胜区、万峰林和梵净山．现有甲、乙两位游客慕名来到贵州，都准备从上面6个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件为“甲和乙至少一人选择费果树”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A . B . C . D .
7. 已知 ， 且 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
8. 已知正实数 ， 满足 ， 则的最大值为（ ）
A . 0 B . C . 1 D .
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）(共3题；共18分)
9. 在中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 已知 ， 且 ， 则（ ）
A . ， ， 成等比数列 B . C . ， ， 成等差数列 D . 若 ， 则
10. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本．其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179．则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ， ， ， ， ， ． 记总的样本平均数为 ， 样本方差为 ， 则（ ）
A . 抽取的样本里男生有60人 B . 每一位学生被抽中的可能性为 C . 估计该学校学生身高的平均值为170 D . 估计该学校学生身高的方差为236
11. 定义在上的函数满足 ， 且函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A . 函数的图象关于点对称 B . 4是函数的一个周期 C . D .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 已知复数 ， 则．
13. 已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，双曲线的离心率为2，过作直线的垂线，垂足为 ， 与双曲线右支和轴的交点分别为 ， ， 则；的内切圆在边上的切点为 ， 若双曲线的虚轴长为 ， 则．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破．类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的语音识别和语言理解能力．某机构分别用 ， 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中人工智能大模型回答100个问题，有90个正确；人工智能大模型回答剩下的80个问题，有65个正确．
参考公式及参考数据： ， ．
（1） 完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？
（2） 将频率视为概率，用人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为 ， 求的分布列和数学期望．
16. 已知函数在处的切线为轴．
（1） 求实数的值；
（2） 若 ， 证明： ．
17. 如图，在四棱台中，为的中点， ．
（1） 证明：平面
（2） 若平面平面 ， ， 当四棱锥的体积最大时，求与平面夹角的正弦值．
18. 已知抛物线的焦点为 ， ， ， 为上不重合的三点．
（1） 若 ， 求的值；
（2） 过 ， 两点分别作的切线 ， ， 与相交于点 ， 过 ， 两点分别作 ， 的垂线 ， ， 与相交于点 ．
（i）若 ， 求面积的最大值；
（ii）若直线过点 ， 求点的轨迹方程．
19. 一般地，个有序实数 ， ， ， 组成的数组，称为维向量，记为 ． 类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如 ， 则；若存在不全为零的个实数 ， ， ， 使得 ， 则向量组 ， ， ， 是线性相关的向量组，否则，说 ， ， ， 是线性无关的．
（1） 判断向量组 ， ， 是否线性相关？
（2） 若 ， ， ， 当且时，证明： ．
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(总分：150)
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题量分析
难度分析
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分数：150分
题数：19
难度系数：0
第Ⅰ卷 客观题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9 10 11
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15 16 17 18 19
0.15
0.10
0.05
0.010
2.072
2.706
3.841
6.635
回答正确
回答错误
合计
人工智能大模型
人工智能大模型
合计
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题；共40分)
1. 若对任意 ， ， 则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A . B . C . D .
2. 已知向量 ， ， 在方向上的投影向量为 ， 则（ ）
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
3. 直线与圆交于 ， 两点，若 ， 则（ ）
A . 2 B . 1 C . D .
4. 已知等比数列的前项和为 ， 若 ， ， 则（ ）
A . 201 B . 121 C . 61 D . 61或121
5. 平面过直三棱柱的顶点 ， 平面平面 ， 平面平面 ， 且 ， ， 则与所成角的正弦值为（ ）
A . B . C . D .
6. 贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“黄小西吃晚饭”．“黄小西”分别指黄果树、荔波小七孔和西江千户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐音对应的三个景区：赤水国家级风景名胜区、万峰林和梵净山．现有甲、乙两位游客慕名来到贵州，都准备从上面6个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件为“甲和乙至少一人选择费果树”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A . B . C . D .
7. 已知 ， 且 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
8. 已知正实数 ， 满足 ， 则的最大值为（ ）
A . 0 B . C . 1 D .
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）(共3题；共18分)
9. 在中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 已知 ， 且 ， 则（ ）
A . ， ， 成等比数列 B . C . ， ， 成等差数列 D . 若 ， 则
10. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本．其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179．则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ， ， ， ， ， ． 记总的样本平均数为 ， 样本方差为 ， 则（ ）
A . 抽取的样本里男生有60人 B . 每一位学生被抽中的可能性为 C . 估计该学校学生身高的平均值为170 D . 估计该学校学生身高的方差为236
11. 定义在上的函数满足 ， 且函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A . 函数的图象关于点对称 B . 4是函数的一个周期 C . D .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 已知复数 ， 则．
13. 已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，双曲线的离心率为2，过作直线的垂线，垂足为 ， 与双曲线右支和轴的交点分别为 ， ， 则；的内切圆在边上的切点为 ， 若双曲线的虚轴长为 ， 则．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破．类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的语音识别和语言理解能力．某机构分别用 ， 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中人工智能大模型回答100个问题，有90个正确；人工智能大模型回答剩下的80个问题，有65个正确．
参考公式及参考数据： ， ．
（1） 完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？
（2） 将频率视为概率，用人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为 ， 求的分布列和数学期望．
16. 已知函数在处的切线为轴．
（1） 求实数的值；
（2） 若 ， 证明： ．
17. 如图，在四棱台中，为的中点， ．
（1） 证明：平面
（2） 若平面平面 ， ， 当四棱锥的体积最大时，求与平面夹角的正弦值．
18. 已知抛物线的焦点为 ， ， ， 为上不重合的三点．
（1） 若 ， 求的值；
（2） 过 ， 两点分别作的切线 ， ， 与相交于点 ， 过 ， 两点分别作 ， 的垂线 ， ， 与相交于点 ．
（i）若 ， 求面积的最大值；
（ii）若直线过点 ， 求点的轨迹方程．
19. 一般地，个有序实数 ， ， ， 组成的数组，称为维向量，记为 ． 类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如 ， 则；若存在不全为零的个实数 ， ， ， 使得 ， 则向量组 ， ， ， 是线性相关的向量组，否则，说 ， ， ， 是线性无关的．
（1） 判断向量组 ， ， 是否线性相关？
（2） 若 ， ， ， 当且时，证明： ．
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(总分：150)
总体分析
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难度分析
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分数：150分
题数：19
难度系数：0
第Ⅰ卷 客观题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9 10 11
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15 16 17 18 19
0.15
0.10
0.05
0.010
2.072
2.706
3.841
6.635
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回答错误
合计
人工智能大模型
人工智能大模型
合计
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