2024年山东省潍坊市高密市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分，每小题四个选项中只有一项正确）
1. 从国家统计局网站获悉，2024年1—2月份，全国规模以上工业企业实现利润总额9140.6亿元，同比增长，9140.6亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：9140.6亿；
故选C．
2. 如图，俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是从上往下看，即可得到结果，正确得到俯视图是解题的关键．
【详解】解：从上往下看，是一个矩形，看不见的线为虚线，所以左右两边为两条虚线，在两条虚线的中间有两条实线，
故选：C．
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将化简为是解题的关键．
先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出，再利用夹值法即可求出的范围．
【详解】解：．
即．
故选：B．
4. 如图，在中，是边的中点，是的平分线，于点，连接，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长交于点，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，再根据线段和差即可得出结果．
【详解】如图，延长交于点，
∵平分，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
又∵是的中点，
∴，
∴是中位线，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题主要考查了三角形中位线，角平分线定义，垂直定义，线段和差和全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
5. 某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米．学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划的平均速度为千米/时，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列分式方程，设大巴车原计划的平均速度为千米/时，根据因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地，列出方程即可．
【详解】解：设大巴车原计划的平均速度为千米/时，由题意，得：
；
故选D．
6. 如图，矩形中，，点E是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点F，连接交于点G，若G是的中点，则等于（ ）
A. B. 12C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“”证明可得，设，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后列出方程求出x的值，从而求出BF，再在中利用勾股定理求解即可．
【详解】∵矩形中，G是的中点，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则，
在中，
，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∵的垂直平分线交的延长线于点F，
∴，，
∴
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
7. 如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的倍得到，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. ，，三点在同一条直线上
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，关键是掌握位似三角形的性质．
【详解】、∵把的各边长放大为原来的倍得到，
∴，符合题意；
、根据位似的性质可知：，符合题意；
、∵，
∴，不符合题意；
、根据位似的性质可知：，，三点在同一条直线上，符合题意；
故选：．
8. 已知抛物线（）的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 关于的方程有实根
【答案】BD
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】、∵抛物线的开口方向向下，
∴，
∵对称轴在轴左侧，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
∴，
∴，故此选项错误；
、∵对称轴为，与轴的一个交点的横坐标在和之间，
∴与轴的另一个交点的横坐标在和之间，
∴当时，，故此选项正确；
、∵对称轴为，
∴，
当时，，故此选项错误；
、∵抛物线的顶点坐标为，
∴则，
设与，则与必有交点，
∴关于的方程有实根，故此选项正确；
故选：．
9. 如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，与交于点，交于点，交于点，连接．下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. 垂直平分D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质和垂直平分线的判定，利用角平分线的性质，平行线的性质和垂直平分线的判定对选项一一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴， 故正确；
过作于，于，于，

∴，
∴平分，
∴，故错误；
∵，平分，
∴垂直平分 ， 故正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故正确，
故选：．
10. 若有前后依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，…，依次进行作差，然后化简得到新的整式．则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意得到整式加减的规律代入求解即可得到答案．
【详解】解：由题意，得：，
，
，
，
，
，故选项A正确；
，
，
∴每6次一个循环，
∵，，
∴，故选项B错误；
∵，
∴；故选项C正确；
∵，
∴；故选项D正确；
故选：ACD．
三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11. 某厂生产一种产品起初的成本为225元/件，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了29元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，根据以上信息列关于x的一元二次方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据降低率的等量关系：，列出方程即可．
【详解】解：设每次技术改进产品的成本下降率均为x，由题意，得：；
故答案为：．
12. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点，，在同一条直线上，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为_____米．（结果精确到，参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】由题意得：，
在中，米，，
∴（米），
∵米，
∴（米），
在中，，
∴（米）
∴（米），
∴警示牌的高约为米，
故答案为：．
13. 关于x的方程的两实根为和，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由一元二次方程根与系数的关系可得，代入求得答案．
【详解】解：根据题意得，，
∵，
∴，
解得，
∵关于x的方程有两实根，
∴，且，
∴且，
∴．
故答案为： ．
14. 如图，在坐标系中，点A，B在反比例函数（）的图象上，点C在y轴上，轴，于点D，若点A的横坐标为10，，则______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式是解答本题的关键．
延长交x轴于点E，过点B作轴于点G，过点A作轴于点F，设，可得，根据勾股定理求出，进一步得出，再根据求出，即可得出结论．
【详解】解：延长交x轴于点E，过点B作轴于点G，过点A作轴于点F，
则四边形均为矩形，
∴，
设，则有，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，或(不符合题意，舍去)，
∴，
∴，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：15．
四、解答题 （共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值计算即可.
【详解】解：



，
当时，原式=．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，．
（1）请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标；
（2）连接，，则的度数为______度；
（3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【答案】（1）见解析，点；
（2）；
（3）圆锥的底面半径．
【解析】
【分析】（）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，再写出点坐标即可；
（）利用利用网格特点和勾股定理定理和逆定理即可求解；
（）设该圆锥的底面半径，根据圆周长和弧长公式即可求解；
本题考查了垂径定理，勾股定理及逆定理，圆周长和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，如图，
∴点即为所求，点，
【小问2详解】
如图，
根据网格可知：，，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
设该圆锥的底面半径，
∵，
∴，
则，
解得：．
17. 某校把一分钟跳绳列为学生大课间的运动项目，为了解跳绳运动效果，学校分别在学期初和学期末对九年级共名学生进行了一分钟跳绳测试，学生成绩均为整数，满分分，大于分为优秀，现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析，成绩得分用表示，共分成五组：．，．，．，．，．．学期初抽取学生的成绩在D组中的数据是：，，，，，，，学期末抽取学生的成绩满分分有人．
学期末抽取学生成绩统计表
分析数据：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中，，的值，并补全条形统计图；
（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了多少人？
（3）已知学期末测试成绩组中得满分分的共有名男同学，名女同学，从这个组中任意抽取名同学，请用画树状图法或列表法，求含有一名女同学的概率．
【答案】（1），，，补全条形统计图见解析；
（2）估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了人；
（3）含有一名女同学的概率为．
【解析】
【分析】（）利用学期初组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出的值，利用众数的定义，出现了次，出现次数最多，从而得到的值；利用学期末组满分分有人，分有人，则根据中位数的定义可确定的值，然后计算出学期初组人数，从而补全条形统计图；
（）用分别乘以样本中学期末和学期初成绩优秀的学生人数的百分比，然后求它们的差即可；
（）列表展示所有种等可能的结果，再找出含有一名女同学的结果数，然后根据概率公式计算；
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
【小问1详解】
调查学生的总人数为 （人），
∴，，
学期末组有人，其中满分分有人，分有人，；
学期初B组人数为 (人)，补全条形统计图为：
【小问2详解】
(人),
答：估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了人；
【小问3详解】
列表为:
共有种等可能的结果，其中含有一名女同学的结果数为种,
所以含有一名女同学的概率为．
18. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）连接，证明，，可得，即，则结论得证；
（）连接，由勾股定理求得，再利用，求出，则，再根据求面积即可；
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理和解直角三角形，解此题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【小问1详解】
证明：连接，

则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，

∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
解得，
在，∵，，
∴,
∴，
∴，
∴．
19. “数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用．
例：求的最小值．
解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．

【类比求值】
（1）类比上面解题思路，完成下面的填空：
①求的最小值为______；
②求（a，b，c为正数，）的最小值为______．
【解决问题】
（2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．

①请用（1）中的结论，求最小值是多少？
②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来．
【答案】（1）①13②（2）①100②见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，利用轴对称求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关键．
（1）类比题干给出的方法，进行求解即可；
（2）①直接利用结论求解即可；②作点关于的对称点，连接，得到，进行求解即可．
【详解】解：（1）①如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为13．

故答案为：13.
②如图，同法①可得：的最小值为：；

故答案：
（2）①∵矩形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，
∴
由（1）中结论可得：的最小值为：；
②作点关于的对称点，连接，

则：，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为100．
20. 某超市以元每件的价格购进了一批玩具，并以每件不低于进货价且利润率不高于的价格进行销售．设售价为元/件，每天销售量为件，与满足一次函数关系，部分数据如下表所示．
（1）设每天销售利润为元，求与的函数表达式并写出的取值范围；
（2）当这种玩具每天销售利润为元时，求这种玩具的售价；
（3）当这种玩具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）这种玩具的售价元/件
（3）当售价应定为元/件时，可获得最大利润，最大利润是元
【解析】
【分析】（）依据题意，设y与x满足一次函数关系式为，再结合表格数据可得一次函数过(21,380), (22,360), 从而列方程组计算求出，即可得销量与售价的关系，再结合利润每件利润销量，即可得解析式，然后根据售价每件不低于进货价且利润率不高于，可得自变量的范围；
（）依据题意，令，从而，求出后，再结合自变量的范围即可得解；
（）依据题意，由利润，再由 ，，然后根据二次函数的性质即可判断得解；
本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握知识的灵活运用．
【小问1详解】
设关于的表达式为，将，代入，
得，
解得，
∴，
，
∵利润率不高于的价格进行销售，
∴
∴与的函数表达式；
【小问2详解】
∵每天销售利润为元，
∴，
解得，，
∵，
∴，
答：这种玩具的售价元/件；
【小问3详解】
∵，
∴，，
∴当时，取得最大值，此时，
答：当售价应定为元/件时，可获得最大利润，最大利润是元．
21. 已知边长分别为4和3的两个等边三角形和，有如下操作，请作答问题．
（1）如图1，的顶点C是的边的中点，平行，交于点M，交于点N．
①______；
②将图1中的固定，绕点C顺时针旋转（），在旋转过程中的值是否有变化？请说明理由．
（2）如图2，和顶点C与D重合，边在的角平分线上．将图2中的沿方向以每秒1个单位的速度平移，的延长线交于点G，点E运动到点G时停止，，与分别相交于H，I，如图3．设的移动时间为x秒，和重叠部分的面积为y，直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）如图4，将图2中的绕点C（D）顺时针旋转一定的角度，连接，，分别取，的中点M，N，连接，，．求证：是等边三角形．
【答案】（1）；没有变化，理由见详解
（2），
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）①证明，可得，即，问题得解；②按照①的方法，同理可得；
（2）如图，过点D作于点K，根据运动的特点可知：，，先证明，，即可得，，进而可得，则有，再表示出， ， ，可得，结合 ，可得，问题得解；
（3）证明，再根据全等三角形中对应边上的中线也相等有：，将绕点C旋转即可得到，且旋转角为即将绕点C旋转即可得到，可得，问题随之得证．
【小问1详解】
①∵和是等边三角形，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵等边和等边的边长分别为4和3，点C是的边的中点，
∴，
∴，
故答案：；
②的值不变化，，
理由：按照①的方法同理可证；
【小问2详解】
如图，过点D作于点K，
根据运动的特点可知：，，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵的边长为3，
∴，
∴，
∵等边的边长为4，
∴高线，
当点E与点G重合时，，
∴，
∴，
当点D与点C重合时，，
∴，
∴自变量x的取值范围为，
综上：，；
小问3详解】
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∵，的中点分别M，N，
∴是中边上的中线，是中边上的中线，
∵，
∴根据全等三角形中对应边上的中线也相等有：，
∵，
∴将绕点C旋转即可得到，且旋转角为
∴将绕点C旋转即可得到，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含角的三角形的性质，以及一元二次函数等知识，灵活运用旋转的性质解答第三问，是解答本题的关键．
22. 抛物线经过点，点，与轴交于点．直线经过点且与抛物线交于点，点是第四象限内抛物线上的动点，直线轴，分别与轴和直线交于点，，如图．
（1）填空：______，______，______；
（2）连接，，，在点运动过程中，求四边形的面积的最大值；
（3）连接，过点作，垂足为点，如图，直接写出使得与相似的点的坐标．
【答案】（1），，；
（2）四边形面积有最大值为；
（3）或．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）设出点坐标，则可表示出的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得的坐标，过作的垂线，可用表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（）当与相似时，有或两种情况，分别列出和即可求解．
【小问1详解】
∵直线经过轴上的点，且抛物线也经过点，
∴点，；
∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线函数关系式为；
故答案为：，，；
【小问2详解】
联立直线与抛物线关系式可得，
解得或，
∴，，
设（），
∵直线轴，分别与轴和直线交于点，，
∴，，
∵

，
∴当时，四边形面积有最大值，最大值为；
【小问3详解】
∵ ，
∴当与相似时，有或两种情况，
∵，垂足为，
∴，且，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
当时，则，
即，
解得或（舍去），此时；
当时，则，即，
解得或（舍去），此时；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
学生成绩
组
组
组
组
组
人数
平均数
中位数
众数
学期初抽取学生成绩
学期末抽取学生成绩
男
男
男
男
女
女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
女
女男
女男
女男
女男
女女
女
女男
女男
女男
女男
女女
销售单价（元/件）
…
…
每天销售数量（件）
…
…