2024年山东省淄博市沂源县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分．
1. 倒数是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的积等于1解答．
【详解】∵，
∴的倒数是．
故选：B．
2. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了对称图形定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，涉及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，熟记相关运算法则逐项验证是解决问题的关键．
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项正确，符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 下列变形中，不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据等式的性质即可求出答案，等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．
【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确；
B、若，则，故本选项变形正确；
C、若，则，故本选项变形正确；
D、若，则当时，故本选项变形错误；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
5. 下列调查中，最适合采用普查方式进行的是（ ）
A. 对深圳市居民日平均用水量的调查
B. 对一批LED节能灯使用寿命的调查
C. 对央视“新闻60分”栏目收视率的调查
D. 对某中学教师的身体健康状况的调查
【答案】D
【解析】
【分析】由普查得到的结果数据准确，但不适合基数大的情况，抽样调查适合于基数大的情况，但得到是近似结果，由此判断即可．
【详解】解：A．对深圳市居民日平均用水量的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
B．对一批LED节能灯使用寿命的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
C．对央视“新闻60分”栏目收视率的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
D．对某中学教师的身体健康状况的调查，适合全面调查，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了普查和抽样调查的区别；在选择调查方式时，要通过观察要考查的对象的特征灵活选用方式来得到可靠的结果．
6. 近似数精确到（ ）
A. 百分位B. 百位C. 十位D. 个位
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求近似数，先将科学记数法还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数，将科学记数法还原是解题的关键．
【详解】解：近似数，中的在十位上，
因此精确到十位上，
故选C．
7. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，
∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），
故选：B．
【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
8. 观察下列分式：，，，，…，按此规律第10个分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是单项式，此题属规律性题目，找到变化规律是解题的关键，根据题中所给的分式找出规律即可．
【详解】解：，，，，
故第n个分式为，
∴第10个分式是．
故选：D．
9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A. 1米B. 米C. 3米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】连接交于D，根据圆的性质和垂径定理可知，，根据勾股定理求得的长，由即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接交于D，
则，，
中，，，
∴，
∴，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
10. 已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，下列结论：①；②；③；④；上述结论中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线开口向下，可得；结合抛物线的对称轴为直线，可得，；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得，可判断①不符合题意；由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在与之间，可得，可判断②符合题意；③符合题意；由时，y有最大值，可得当时，，可判断④符合题意．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，所以①不符合题意；
由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在与之间，
∴，
∴，
∴，所以②符合题意；
∴，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，y有最大值，
∴当时，，
∴，所以④符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．
11. 图中有_____条线段．
【答案】6
【解析】
【分析】先数出以A为端点的线段，再分别数出以C、D为端点的线段相加即可．
【详解】以A为端点的线段：AC、AD、AB；
以C为端点的线段CD、CB；
以D为端点的线段DB．
共6条．
故答案为6．
【点睛】本题考查了线段的数法，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．
12. 分解因式______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键．
利用十字相乘法进行分解因式即可得到结果．
【详解】解：
故答案为：．
13. 用相同小正方体摆成某种模型，其三视图如图所示，则这个模型是由_____个小正方体摆放而成的．
【答案】5
【解析】
【分析】由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下层有4个，即可得出答案．
【详解】解：由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下层有4个，
∴这个模型是由5个小正方体摆放而成，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键是掌握三视图的定义，根据三视图还原几何体．
14. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表：
由以上信息可计算出两幢楼楼顶B，D之间的距离为______米．
【答案】608
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角的应用，勾股定理，过点作于，由等腰三角形的判定及性质得，由正切三角函数可求，由勾股定理得 ，即可求解；掌握解法，能根据题意作出辅助线构造直角三角形求解是解题的关键．
【详解】解：过点作于，如图：
由测量步骤得：四边形、四边形
四边形、四边形均是矩形，
米，米，
米，米，
（米），
米，
，
，
米，
在中，，，
米，
（米），
在中，由勾股定理得：
（米），
答：两幢楼楼顶B，D之间的距离约为米，
故答案为：．
15. 如图，把一个等腰直角三角形ACB放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C(﹣2,0)，点B在反比例函数的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，由等腰直角三角形的性质可求∠CEO=45°，CE=2，由角平分线的性质和外角的性质可得∠ECA=∠OAC=22.5°，可证CE=AE=2，由“AAS”可证△OAC≌△DCB，可得AO=CD=2+2，OC=BD=2，可得点B坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，
∵点C(-2,0)，
∴CO=2，
∴CO=EO=2，
∴∠CEO=45°，CE=2，
∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△OAC和△DCB中
，
∴△OAC≌△DCB(AAS)，
∴AO=CD，OC=BD=2，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAO=22.5°，
∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，
∴∠ECA=∠OAC=22.5°，
∴CE=AE=2，
∴AO=2+2=CD，
∴DO=2，
∴点B坐标为(2,-2)，
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴k=(-2)×2=-4，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质，求得B的坐标是解题关键．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 化简求值： ，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可．
【详解】解：原式
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．
17. 已知于点E，于点G，，请判定与的大小关系，并说明理由．

【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】根据平行线的判定求出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质和判定得出即可．
【详解】．
理由：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解题关键．
18. 某市联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.
(1)分别表示出y1与x,y2与x的函数关系式.
(2)月通话时间为多长时,A,B两种套餐收费一样?
(3)什么情况下A套餐更省钱?
【答案】(1) y1=0.1x+15; y2=0.15x；(2)300；(3) 当月通话时间多于300分钟时,A套餐更省钱.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式即可；（2）根据两种收费相同列出方程，求解即可；（3）根据（2）的计算结果，小于收费相同时的时间选择B套餐，大于收费相同的时间选择A．
试题解析：解：（1）A套餐的收费方式：y1=0．1x+15；
B套餐的收费方式：y2=0．15x；
（2）由0．1x+15=0．15x，得到x=300，
答：当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；
（3）当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．
考点：一次函数的应用．
19. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长．
①求k的值；
②求的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（2）①直接将代入方程中求解即可；②求方程的另一个根，根据等腰三角形的定义，结合三角形三边关系求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解①：把代入方程，得：
，
解得；
②方程为，
解得，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，又，
所以这个等腰三角形三边分别为、5、5，
所以的周长为．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义，理解方程解的定义，熟练掌握根的判别式是解答的关键．
20. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．；D．，E．），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？
【答案】（1）；96；90
（2）325人
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形圆心角度数，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求出中位数和众数即可；再用360度乘以甲校C等级的占比即可得到答案；
（2）用甲乙两校的人数分别乘以其样本中得分在90分以上的人数占比，然后求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：E的人数：（人）,
把甲校的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为91分，92分，
∴甲校的中位数；
∵乙校得分中，得96分的人数最多，
∴乙校的众数；
，
故答案为：；96；90；
【小问2详解】
解：人，
∴估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有325人．
21. 反比例函数的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，我们可以利用这些性质解决问题：如图1，直线与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点，
（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，当点为时，四边形是矩形，试求和的值．
【答案】（1）平行四边形，证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质得出，证明，根据平行线的判定得出答案即可；
（2）根据点在的图象上，求出，过点作轴于点，得出，，根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，得出．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，证明如下：
反比例函数是中心对称图形，且与正比例函数交与点、，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：点在的图象上，
，
，
过点作轴于点，则，，
在中，由勾股定理得，，
∵四边形是矩形，
，
∵，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握反比例函数的性质．
22. 如图，是的直径，是的切线，是上的一点，且．

（1）求证：；
（2）连接，试说明是的切线；
（3）若，，求的长．（结果保留根号）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据圆周角定理和切线的定义可得，由平行线的性质可得，即可证明；
（2）证明，推出，可得是的切线；
（3）先利用勾股定理求出，再根据，得出，代入数值即可求解．
【小问1详解】
解： 是的直径，
，
是的切线，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：是的直径，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
是的切线；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，即，
．
23. 如图，已知抛物线经过A(，0)，B(，)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，P(，)，②存在，P(，)或(0，5)
【解析】
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①根据S△PBC=PG（xC-xB），即可求解；
②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5…①，
令y=0，则x=-1或-5，
即点C（-1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y=x+1…②，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
，
∵−＜0，
∴S△PBC有最大值，当t=-时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（-，-），
过该点与BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：y=-x+m，将点（-，-）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y=-x-4…③，
同理直线CD的表达式为：y=2x+2…④，
联立③④并解得：x=-2，即点H（-2，-2），
同理可得直线BH的表达式为：y=x-1…⑤，
联立①⑤并解得：x=-或-4（舍去-4），
故点P（-，-）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y=2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s=5，
即直线BP′的表达式为：y=2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（-，-）或（0，5）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．活动课题
测量两幢楼楼顶之间的距离
活动工具
测角仪、皮尺等
测量过程
【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内；
【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角，楼顶D的仰角；
【步骤三】利用皮尺测出米，米．
解决问题
根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离．
参考数据
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
乙
92
b