2024年海南省临高县九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1. 实数2024的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：实数2024的倒数是，
故选：D．
2. 据报道，今年国际圆周率日（3月14日），计算机存储公司Slidigm发布声明称，该公司已将圆周率计算到小数点后约105万亿位，打破此前100万亿位的世界纪录．数据105万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】105万亿用科学记数法表示为，
故选D．
3. 如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】俯视图是从上面看到的图形，这个由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形是，故选D.
4. 估计的值应在（ ）
A. 和4之间B. 4和之间
C. 和5之间D. 5和之间
【答案】C
【解析】
【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】∵，
∴，排除A和D，
又∵23更接近25，
∴更接近5，
∴在和5之间，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6. 将进行因式分解，正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】多项式有公因式，首先用提公因式法提公因式，提公因式后，得到多项式，再利用平方差公式进行分解．
【详解】，
故选C．
【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；
7. 为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明与小华从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明与小华恰好选中同一门课程的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据题意画出树状图求出概率即可．
【详解】解：把“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程分别记为，画出树状图如下：
共有16种等可能得结果，其中小明与小华恰好选中同一门课程的结果共有4种，
小明与小华恰好选中同一门课程的概率，
故选：B．
8. 如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，进而根据即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
9. 如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，掌握反比例函数中的几何意义．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点在函数的图象上，
∴，
∵轴于点，轴，点在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故选：B．
10. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．
【详解】解：∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40︒，
∴∠ODC=∠OCD=，
∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40︒，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70︒=40︒+∠CDE，
∴∠CDE=30︒，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．
11. 如图，的顶点坐标分别为、、，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化-旋转，规律型-点的坐标，根据旋转找到规律是解题的关键．
观察图形可知与重合，6次一个循环利用规律即可得出答案．
【详解】解：画图可知：
，，，，，
6次一个循环，
故选C．
12. 如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，证明，得出，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，是解题的关键．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13. 若，则代数式的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：．
14. 分式方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入，
∴是原方程的解．
故答案为：．
15. 如图，直线AB与半径为8的相切与点C，点D在上，连接，且，弦，则的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】连接与．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知；又，可知，最后由勾股定理可将的长求出．
【详解】解：连接与，且与的交点为M．
∵，
∴．
∵直线AB与半径为8的相切，
∴，
又∵，
∴，即为直角三角形．
在中，，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
16. 如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点，若，，则______，的长是______．
【答案】 ①. ##30度 ②.
【解析】
【分析】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，根据菱形中，可知是等边三角形，结合三线合一可得，求出，可得，则是直角三角形，借助勾股定理求出的长即可．
【详解】解：菱形，
，
，
，
，
，
将沿直线翻折，得到，
，，
，
，
，
，
中，由勾股定理得：
，
故答案为：；．
三、解答题（本大题满分72分）
17. （1）计算：
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，平方差公式，单项式乘以多项式，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键．
（1）利用算术平方根的定义以及负整数指数幂化简计算即可；
（2）根据平方差公式，以及单项式乘以多项式计算法则化简计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式．
18. 临高县渔业资源丰富．某商家销售两种临高县盛产的鱿鱼，如果购买1箱种鱿鱼和2箱种鱿鱼需花费元；如果购买2箱种鱿鱼和3箱种鱿鱼需花费元．每箱种鱿鱼和每箱种鱿鱼各是多少元？
【答案】每箱种鱼的价格是元，每箱种鱼的价格是元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】解：设每箱种鱼的价格是元，每箱种鱼的价格是元，
由题意得：，解得，
答：每箱种鱼的价格是元，每箱种鱼的价格是元．
19. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】（1）100，图形见解析
（2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【解析】
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【小问1详解】
这次调查的样本容量是：25÷25%=100，
D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
【小问2详解】
在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
小问3详解】
1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为
（2）检查点和之间的距离为
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【小问1详解】
解：如图，根据题意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
【小问2详解】
过点A作，垂足为．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
21. （1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点．点是线段上一点（与点、不重合），连结．
①求证：；
②将线段绕点逆时针旋转，点落在的延长线上的点处．当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②的大小不发生变化，，理由见解析；③，理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质证明, 即可得到结论;
②作, 垂足分别为点, 如图, 可得, 证明四边形是矩形, 推出,证明, 得出, 进而可得结论;
③作交于点, 作于点, 如图, 证明, 即可得出结论；
（2）先证明, 作交于点,交于点, 如图, 则四边形是平行四边形, 可得,都是等边三角形, 进一步即可证得结论.
【详解】①证明：四边形是正方形，
，，
，
；
②的大小不发生变化，；
证明：作，，垂足分别为点，如图，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，即；
③；
证明：作交于点，作于点，如图，
四边形是正方形，
，，
，四边形是矩形，
，，，
，，
，
作于点，则，，
，
，，
，
；
（2）；
证明：四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，垂直平分，
，，
，，
作交于点，交于点，如图，则四边形平行四边形，
，，
，，都是等边三角形，
，
作于点，则，，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键.
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点、的坐标分别是、，与轴交于点，连结，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作交抛物线的对称轴于点，当时，求的值；
（3）设以为顶点的四边形的面积为，当点在轴右侧的抛物线上时，求与之间的函数关系式；
（4）是轴上的一点，若以为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）或
（3）
（4）点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分在对称轴左右两侧讨论，利用平移的性质即可得答案；
（3）分点在点的上方或下方两种情形讨论即可解决问题．
（4）以为顶点的四边形是平行四边形有四种情形，分别求解即可．
【小问1详解】
解：把，代入，
可得
解得，，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：抛物线的解析式为的对称轴为，
如图1中，当点在对称轴左侧时，
∵，，
∴由平移性质得：，
解得：．
同理，当点在对称轴右侧时，如图2中，，
解得：．
综上所述：或．
【小问3详解】
解：过点作于点．
当时，如图3中，．
当时，．
【小问4详解】
解：①如图5中，
当与重合时，四边形是平行四边形，
∴，
．
②如图6中，当四边形是平行四边形时，作轴于．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
当时，，
解得：，
，．
③如图7中，当是平行四边形的对角线时，
∴，
∴．
④如图8中，当四边形是平行四边形时，同法可得．
点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，二次函数的性质，平行四边形的性质和判定，四边形的面积计算，一元二次方程等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．