福建省厦门市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求）
1. 下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理对各选项进行判断作答即可．
详解】解：A中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
B中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
C中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
D中，能构成直角三角形，故符合要求；
故选：D．
2. 下列各式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质、及同类二次根式，根据二次根式的性质及同类二次根式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、与不能进行合并，故不符合题意；
B、，则能与进行合并，故符合题意；
C、，则不能与进行合并，故不符合题意；
D、，则不能与进行合并，故不符合题意；
故选B．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的减法，二次根式的除法．熟练掌握算术平方根，二次根式的减法，二次根式的除法是解题的关键．
根据算术平方根，二次根式的减法，二次根式的除法对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A中，故不符合要求；
B中，故不符合要求；
C中，故不符合要求；
D中，故符合要求
故选：D．
4. 如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可．
详解】解：由勾股定理得，
，
，
，
表示应为线段．
故选：B．
【点睛】本题考查在网格中表示无理数的长，掌握勾股定理求线段的长是解题关键．
5. 在中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．
由，可知，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，已知，则的长为（ ）．
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质，熟练矩形的性质得到，是解题的关键．根据矩形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
故选：A．
7. 小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽搁了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离S（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为（ ）
A. 米 B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象．从图象中获取正确的信息是解题的关键．
由图象可知，从图书馆到家距离为米，从图书馆到家骑行时间为（分钟），从文具店到家的骑行时间为（分钟），则骑行的速度为（米/分钟），根据文具店与小张家的距离为，计算求解即可．
【详解】解：由图象可知，从图书馆到家距离为米，从图书馆到家骑行时间为（分钟），从文具店到家的骑行时间为（分钟），
∴骑行的速度为（米/分钟），
∴文具店与小张家的距离为（米），
故选：B．
8. 如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．连接．由，F是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即．
【详解】解：如图，连接．
∵，F是的中点，
∴．
在中，
∵，E是的中点，，
∴．
故选：D．
9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题以“赵爽弦图”为背景，考查勾股定理，三角形的面积计算，完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题关键．
根据勾股定理求出等于大正方形的面积，求出四个直角三角形的面积，得出的值，求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9．
∴一个小三角形的面积是．三角形的斜边为．
，
，
故选：C．
10. 如图，在正方形OABC中，OA＝6，点E、F分别在边BC，BA上，OE＝，若∠EOF＝45°，则点F的纵坐标为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长BA到点M，使AM=CE，连接OM，由题意易得△OCE≌△OAM，则有OE=OM，∠COE=∠AOM，然后可得∠EOF=∠MOF，进而可得△EOF≌△MOF，则有FM=EF，根据勾股定理可得CE=3，设AF=x，则EF=3+x，BE=3，BF=6-x，最后根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：延长BA到点M，使AM=CE，连接OM，如图所示：
∵四边形OABC是正方形，OA＝6，
∴，
∴△OCE≌△OAM，
∴OE=OM，∠COE=∠AOM，
∵∠EOF＝45°，
∴，
∴，
∴∠EOF=∠MOF，
∵OF=OF，OE=OM，
∴△EOF≌△MOF（SAS），
∴，
∵OE＝，
∴在Rt△OEC中，，
设AF=x，则EF=3+x，BE=3，BF=6-x，
∴在Rt△EBF中，，
∴，
解得：，
∴点F的纵坐标为2；
故选A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及图形与坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ________．
【答案】x≥2
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x-4≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
12. 已知正比例函数，当时，函数值_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数值，掌握自变量和函数值之间的一一对应关系是解题的关键．把代入解析式，即可求解．
【详解】解：当时，函数值．
故答案为：
13. 如图，在平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是，的中点，若，则的长是__________．

【答案】8
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理，得，由平行四边形性质，得．
【详解】解：∵点E，F分别是，的中点，
∴．
平行四边形中，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质；由相关性质得出线段间数量关系是解题的关键．
14. 命题“如果，那么”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”）
【答案】 ①. 如果a2=b2，那么a=b ②. 假
【解析】
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．
【详解】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2”，
故逆命题如果a2=b2，那么a=b，该命题是假命题．
故答案为：如果a2=b2，那么a=b；假．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
15. 如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】过点作，过点作，根据题意可证，从而推出，，再由得到四边形为矩形，根据矩形性质可得，，进而得到即为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，可求出的长，最终求出的长．
【详解】解：如图，过点作于F，过点作于M，

四边形为正方形，
，，
，
由，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
四边形为矩形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
解得：，
，
则，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．
16. 如图，，矩形的顶点分别在边上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状大小保持不变，其中，在运动过程中，点D到点O的最大距离是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系，勾股定理的应用，确定过点E时，点D到点O的距离最大．取的中点E，连接、、，根据直角三角形斜边中线定理可得，利用勾股定理求出，根据三角形任意两边之和大于第三边可知当过点E时，点D到点O的距离最大．
【详解】解：如图，取的中点E，连接、、，
∵，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
根据三角形三边关系，，
∴当过点E时，等号成立，的值最大，最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先将括号展开，计算零指数幂，再合并．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18. 已知：如图，在中平分，过点A作，过点C作，垂足为点E，连接交于点F．
求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键．
由平分，可得，即，由，，可得，即，进而结论得证．
【详解】证明：∵平分，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
19 先化简再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据二次根式的性质得出答案．
【详解】解：


，
当时，
原式
．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
20. 如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距离，求树折断处与地面的距离（即的长）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．由题意知，，，即，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，即，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴ 树折断处与地面的距离（即的长）为．
21. 如图，在中，作的平分线交于点E，以A为圆心，长为半径画弧交于F．
（1）请用直尺和圆规完成题中的作图（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，若，求出线段的长度．
【答案】（1）画图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是作角平分线，作一条线段等于已知线段，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，化为最简二次根式，熟练的作图是解本题的关键；
（1）先作的角平分线 交于，再作线段即可；
（2）如图，连接，记与的交点为，证明为等边三角形，可得，，，证明，而，可得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，作图如下：
．
【小问2详解】
如图，连接，记与的交点为，
由作图可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴；
22. 如图所示，在中，点分别为的中点，点F在线段上，连接，点分别为的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）如图，连接，证明，再证明，可得是等边三角形，再进一步可得答案．
【小问1详解】
证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
如图，连接，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键．
23. 材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，由，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由，平方得，整理可得：，即．
所以
请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，则_____________，_____________；
（2）若，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）2；2 （2）8
（3）2022
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，分式的化简求值：
（1）根据完全平方公式求出，把代入计算求出；
（2）把进行恒等变形，从而得到，代入计算即可；
（3）先进行分母有理化，可得，从而得到，进而可得，然后再代入计算即可；
掌握代数式的恒等变形方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，
故答案为：2；2．
【小问2详解】
，
，，，
，
，
．
【小问3详解】
，
，
，
，
，
，
．
24. 如图，在正方形中，点E在对角线上，连接，点F在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）用等式表示线段的数量关系并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，证明，，，再进一步可得结论；
（2）如图，连接交于，过作于，交于，则四边形为矩形，证明，，可得，再进一步可得结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵正方形是轴对称图形，直线是对称轴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
．理由如下：
如图，连接交于，过作于，交于，
则四边形为矩形，
∴，，，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是轴对称图形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
25. 在菱形中，．
图1 图2 图3
（1）如图1，点E为线段的中点，连接，若，求线段的长；
（2）如图2，P为对角线上一点，连接，点F在上，连接与交于点T，若，求的度数；
（3）如图3，M为对角线上一点（M不与重合），以为边，构造如图所示等边，线段与交于点G，连接为线段的中点，连接，请说明．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质。菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质：
（1）如图1，连接对角线，先证明是等边三角形，根据E是的中点，由等腰三角形三线合一得：，利用勾股定理依次求和的长；
（2）先证得是等边三角形，再利用证得，进而可得，再根据进而可求解；
（3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明是等边三角形，再由是等边三角形，得条件证明，则，根据是的中位线，得，由等量代换可得结论；
熟练掌握相关知识的联系与性质，添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键．
【小问1详解】
解：连接，如图：
则平分，
四边形是菱形，，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【小问2详解】
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
．
【小问3详解】
证明：延长至，使得，连接，如图：
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
．