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    2024温州新力量联盟高一下学期期中考试数学含解析

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    这是一份2024温州新力量联盟高一下学期期中考试数学含解析,共19页。试卷主要包含了考试结束后,只需上交答题纸,设向量,则下列叙述正确的是,已知为坐标原点,点,则等内容,欢迎下载使用。

    高一年级数学学科试题
    考生须知:
    1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.
    2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
    3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.
    4.考试结束后,只需上交答题纸.
    选择题部分
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
    1.已知,把向量按向量平移后,所得向量的坐标是( )
    A. B. C. D.
    2.在中,“”是“”的( )
    A.充要条件 B.必要不充分条件
    C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
    3.已知,向量在上的投影向量的模长是4,则可能为( )
    A.12 B.8 C.-8 D.2
    4.有一块多边形菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),其中,则这块菜地的面积为( )
    A. B. C. D.
    5.已知锐角三边长分别为,则实数的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    6.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,侧棱.若侧面水平放置时,水面恰好过,的中点.那么当底面水平放置时,水面高为( )
    A.7 B.6 C.4 D.3
    7.在中,由下面的条件能得出为钝角三角形的是( )
    A. B.
    C. D.
    8.在钝角中,分别是的内角所对的边,点是的重心,若,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分)
    9.设向量,则下列叙述正确的是( )
    A.若,则与的夹角为钝角
    B.的最小值为2
    C.与垂直的单位向量只能为
    D.若,则
    10.已知为坐标原点,点,则( )
    A. B.
    C. D.
    11.下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
    A.直径为的球体
    B.所有棱长均为的四面体
    C.底面直径为,高为的圆柱体
    D.底面直径为,高为的圆柱体
    非选择题部分
    三、填空题:(本大题共3小题,每题5分,共15分)
    12.在正四棱台中,,则该棱台的体积为__________.
    13.为了测量一古塔的高度,某人在塔的正西方向的地测得塔尖的仰角为,沿北偏东前进100米到达地(假设地和地在海拔相同的地面上),在地测得塔尖的仰角为,则塔高为__________米.
    14.如图,在中,为上不同于B,C的任意一点,点满足,若,则的最小值为__________.
    四、解答题:(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    15.(本小题满分13分)已知向量,且.
    (1)求与;
    (2)若,求向量的夹角的大小.
    16.(本小题满分15分)记的内角的对边分别为,已知.
    (1)求;
    (2)若,求面积.
    17.(本小题满分15分)求一个棱长为的正四面体的体积,常有如下解法:构造一个棱长为1的正方体,我们称之为该四面体的“生成正方体”(如图一),则四面体是棱长为的正四面体,四面体的体积.
    (1)求四面体的体积;
    (2)模仿(1),对一个已知四面体,构造它的“生成平行六面体”,记两者的体积依次为和,试给出这两个体积之间的一个关系式,不必证明;
    (3)一个相对棱长都相等的四面体,通常称之为等腰四面体(如图二),其三组对棱长分别为,,,求此四面体的体积.
    18.(本小题满分17分)设是虚数,是实数,且;
    (1)求的值以及的实部的取值范围;
    (2)若,求证为纯虚数;
    (3)在(2)条件下求的最小值.
    19.(本小题满分17分)在直角梯形中,已知,对角线交于点,点在上,且.
    (1)求的值;
    (2)若为线段上任意一点,求的取值范围.
    绝密★考试结束前
    2023学年第二学期温州新力量联盟期中联考
    高一年级数学学科参考答案
    一、单选题
    二、多选题
    三、填空题
    12. 13.50 14.
    1.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查了向量的坐标和平移,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
    把向量按向量平移后,所得向量的坐标不变,即可得出.
    【解答】
    解:,把向量按向量平移后,
    所得向量仍然为.
    故选:.
    2.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查充分、必要、充要条件的判断,属于基础题.
    由正弦定理知,由,知,所以,反之亦然,故可得结论.
    【解答】
    解:在中,由正弦定理知(为外接圆的半径),

    故.
    故“”是“”的必要条件;
    反之,,
    由正弦定理得,

    故“”是“”的充分条件;
    综上所述,“”是“”的充要条件.
    故选:.
    3.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题主要考查向量的数量积和投影向量,关键是知道向量的数量积的计算方法.
    设与夹角为,根据投影向量的模长为4可得,进而可得.
    【解答】
    解:设与夹角为,由题意知,则
    又,
    .
    故选.
    4.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查了斜二测画法,直观图,属于基础题.
    由所给条件求出,将斜二测直观图还原成直角梯形,利用梯形的面积公式即可求解.
    【解答】
    解:如图1所示,过点作垂直于于点,

    ,四边形是正方形,则,
    将斜二测直观图还原成图2所示直角梯形,其中,
    所以这块菜地的面积为.
    故选:.
    5.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.
    由题意利用余弦定理可得,即可解得的取值范围.
    【解答】
    解:因为锐角三边长分别为,
    由题意有,解得.
    故选:.
    6.【答案】B
    【解析】【分析】
    本题主要考查棱柱的体积.
    设三棱柱的底面面积为,高为,则.当侧面水平放置时,水的形状呈直四棱柱形,由于水面恰好经过的中点,则直四棱柱的底面积是,求出水的体积,从而可求当底面水平放置时,求出水面的高度.
    【解答】
    解:设三棱柱的底面的面积为,高为,则.
    当侧面水平放置时,水的形状呈直四棱柱形,
    由于液面恰好经过的中点,则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的,即直四棱柱的底面积是,
    水的体积是,
    当底面水平放置时,设水面高为,
    则,从而有,

    即当底面水平放置时,水面高为6.
    故选.
    7.【答案】B
    【解析】【分析】
    本题主要考查了平面向量的数量积运算,正弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
    由平面向量的数量积判断;将已知等式两边平方即可判断;由判断;利用正弦定理即可求解判断.
    【解答】
    解:.因为,所以,
    ,即角为锐角,角不定,故错误;
    .两边平方得,所以,由,得,
    得,即角为钝角,故正确;
    C.由,可得,则,所以角为锐角,故错误;
    ,因为,
    由正弦定理得,
    因为,所以或,
    则,或,故错误;
    故选.
    8.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查解三角形中的取值范围问题的求解,属较难题.
    延长交于,由重心性质和直角三角形特点可求得,由,利用余弦定理可构造等量关系得到,由此确定为锐角,则可假设为钝角,得到,由此可构造不等式组求得的取值范围,在利用余弦定理可得,利用的范围,结合为锐角可求得的取值范围.
    【解答】
    解:延长交于,如下图所示:
    为的重心,
    为中点,


    在中,;
    在中,;

    即,整理可得:为锐角;
    设为钝角,则,
    ,解得:,

    由余弦定理得:,
    又为锐角,,即的取值范围为.
    故选.
    9.【答案】AB
    【解析】【分析】
    本题考查向量的数量积的应用,向量的模以及单位向量等基本知识,属于中档题.
    根据向量的数量积小于0且不共线可判断;求出向量的模判断;根据单位向量的求法判断;由向量模相等列出方程求解判断D.
    【解答】
    解:当时,,且与不共线,
    则与的夹角是钝角,所以正确;
    ,当且仅当时取等号,所以的最小值为正确;
    设与垂直的单位向量为,
    则,解得或
    与垂直的单位向量为或,所以不正确;
    若,可得:,
    解得或-2,所以不正确;
    故选:.
    10.【答案】AC
    【解析】【分析】
    本题考查平面向量数量积的坐标运算,向量模的坐标表示,考查三角函数的恒等变换,属于中档题.根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可.
    【解答】
    解:,,
    对于正确;
    对于,

    因为不一定相等,所以不一定相等,错误;
    对于;
    对于,
    与不一定相等,错误.
    故选:.
    11.【答案】ABD
    【解析】【分析】
    本题考查正方体内接其它几何体的问题,属于综合题.
    由正方体、球体、四面体、圆柱体的结构特征和棱长、直径的大小关系,逐个分析选项可得解.
    【解答】
    解:对于:因为,即球体的直径小于正方体的棱长,
    所以直径为的球体能够被整体放入正方体内,故正确;
    对于:因为正方体的面对角线长为,且,
    所以所有棱长均为的四面体能够被整体放入正方体内,故正确;
    对于:因为正方体的体对角线长为,且,
    所以底面直径为,高为的圆柱体不能够被整体放入正方体内,故不正确;
    对于:因为,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆,
    如图,过的中点作,设,
    可知
    ,,
    即,解得,
    且,即
    故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱,
    若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切,设圆柱的底面圆心,与正方体的下底面的切点为,
    可知,则,
    即,解得,
    根据对称性可知圆柱的高为
    所以底面直径为,高为的圆柱体能够被整体放入正方体内,故正确.故选:.
    12.【答案】
    【解析】【分析】
    本题考查正四棱台的体积,属于中档题.
    可将正四棱台补成正四棱锥,然后分析求解即可.
    【解答】
    解:如图,
    将正四棱台补成正四棱锥,则,
    ,故,
    .
    13.【答案】50
    【分析】
    本题考查解三角形的应用,画出图形,结合已知条件和正弦定理求解即可.
    【解答】
    解:如下图,
    设塔米,
    由已知有平面米,
    在中,,在中,,
    所以在中,由余弦定理有,
    解得(米)(负值舍去),
    故答案为50.
    14.【答案】
    【解析】【分析】
    本题主要考查的是向量的运算、共线问题及平面向量基本定理,属于中档题.
    设,结合向量的运算求出值,再求的最小值即可.
    【解答】
    解:不妨设,




    当时,有最小值,最小值为.
    故答案为.
    15.【答案】解:(1)由,得,解得.
    由,得,解得
    所以.
    (2)因为,
    所以,
    .
    所以,
    又.
    所以向量的夹角为.
    16.【答案】解:(1)根据余弦定理,,所以
    (2)方法一:根据正弦定理,.


    又,则,
    .
    方法二:,

    ,即,


    .
    17.【答案】解:
    (1)
    .
    (2)设生成平行六面体的底面积为,高为,则其体积为,

    则,
    即.
    (3)如图,构造该四面体的“生成长方体”,设棱长分别为,,,
    则有,解得:.
    则有.
    18.【答案】解:(1)由题意,设,


    因为,所以,
    所以,
    所以,
    所以,
    又,即
    所以,
    故的实部的取值范围;
    (2)由(1)可知,

    因为,所以,
    所以为纯虚数;
    (3)由(1)(2)知
    所以

    当且仅当时,即,
    所以时取等号,
    故的最小值为1.
    19.【详解】(1)因为,
    所以以为坐标原点,分别为轴,建立平面直角坐标系如下图:
    因为,
    所以.
    又因为对角线交于点,
    所以由得,即,
    因此,
    而,所以,解得,
    因此.
    又因为点在上,所以设,
    因此,
    而,所以,
    解得,即,
    因此,而,
    所以,
    即的值为;
    (2)因为为线段上任意一点,
    所以由(1)知:可设(包括端点),
    因此,
    所以.
    因为函数的图象开口上,对称轴为,
    而,
    所以函数的值域为,
    即的取值范围是.
    【解析】方法二
    (1)在梯形中,因为,
    所以,
    (2)令
    则,即,
    令,则,
    所以的取值范围是.1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    C
    A
    A
    D
    A
    B
    B
    C
    9
    10
    11
    AB
    AC
    ABD
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