2023-2024学年广东省佛山市顺德一中高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德一中高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共13页。试卷主要包含了化简1+ 3tan10∘=等内容，欢迎下载使用。

A. 2B. 2或−2C. −2D. −4
2.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，则|AB+AC+AD|=( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
3.为了得到y=12cs(2x−π7)的图像，需要把函数y=cs2x−12的图象向右平移的单位数是( )
A. π14B. π7C. 6π7D. 13π14
4.设z=3−i1+2i，则|z|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=π6，边BC上的高等于 36a，则csA=( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
6.化简1+ 3tan10∘=( )
A. 2sin40∘cs10∘B. 1cs40∘C. cs40∘sin10∘D. 1sin80∘
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30∘，ac=6，且sinA+sinC=2sin(A+C)，则b的值为( )
A. 4+2 3B. 4−2 3C. 3−1D. 3+1
8.已知向量a，b均为单位向量，且a⋅b=12.向量a−c与向量b−c的夹角为π6，则|a−c|的最大值为( )
A. 32B. 1C. 2 33D. 2
9.设复数z0=12+ 32i，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是( )
A. z0⋅z0−=−12
B. z0在复平面内对应的点在第一象限
C. z0是方程x2−x+1=0的一个根
D. 若复数z满足|z−z0|=1，则|z|最大值为2
10.已知0<α<β<π，且csα=45，sin(β−α)=1，则( )
A. sin2α=2425B. sinβ=45
C. csβ=−45D. cs(α+β)=−2425
11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccsB+bcsC=a2，则下列说法正确的是( )
A. 若A=π3，则△ABC周长的最大值为3
B. 若A=π4，且△ABC只有一解，则b的取值范围为(0,1]
C. 若△ABC为锐角三角形，且C=2A，则c的取值范围为( 2, 3)
D. 若△ABC的外心为O，则BC⋅BO=12
12.已知向量a=(2,5)，b=(λ,4)，若a//b，则λ=__________.
13.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若asinA=bcsB=csinB，则∠A=______.
14.函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在(π2,π)上单调，且在(0,π3)上存在对称轴，则ω的取值范围是______.
15.如图，在方格纸(每个小方格边长为1)上有A，B，C三点，已知向量a以A为始点.
(1)试以B为始点画出向量b，使b在a方向上的投影向量为2a，且|b|=2 5，并求a⋅b的值；
(2)设点D是线段AC上的动点，求BD⋅CD的最大值.
16.已知α∈(0,π)，sin2α=−45，sinα< 22.
(1)求tanα的值；
(2)若β∈(π2,π)，且csβ=−3 1010，求α+β的值.
17.设函数f(x)=2sin(x−π3)，g(x)=f(x−π6)⋅f(x+π6).
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)在区间[0,m]上有最小值−1，求实数m的取值范围.
18.如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知b=3，c=6，sin2C=sinB，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．
(1)求线段BC的长；
(2)求△ADE的面积．
19.如图，A、B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=60∘.点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.
(1)设∠BOC=α，求CA⋅CB的取值范围；
(2)设OM=tOB(0答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：复数z=a2−4+(a−2)i为纯虚数，则a2−4=0a−2≠0，解得a=−2.
故选：C.
根据纯虚数的定义，得到方程组a2−4=0a−2≠0，求解即可．
本题考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∴AC=5，
∴|AB+AC+AD|=|2AC|=10.
故选：C.
根据向量的线性运算，向量的模的概念，即可求解．
本题考查向量的线性运算，向量的模的概念，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：y=cs2x−12=cs2x+12−12=12cs2x，故要得到函数y=12cs(2x−π7)的图象，只需将函数y=12cs2x，向右平移π14个单位即可．
故选：A.
首先利用倍角公式把函数的关系式变换为y=12cs2x，进一步利用函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识点：函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
直接利用复数商的模等于模的商求解．
【解答】
解：由z=3−i1+2i，
得|z|=|3−i1+2i|=|3−i||1+2i|= 10 5= 2.
故选C.
5.【答案】D
【解析】解：△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=π6，边BC上的高等于 36a，
∴S△ABC=12a⋅ 36a=12acsinB，可得c= 33a，
∴b2=a2+c2−2accsB，即b2=a2+( 33a)2−2×a× 33a× 32=a23，
故csA=b2+c2−a22bc=13a2+13a2−a22×13a2=−12.
故选：D.
根据三角形面积相等，求得c，再结合余弦定理即可求解结论．
本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：1+ 3tan10∘=1+ 3sin10∘cs10∘=cs10∘+ 3sin10∘cs10∘=2cs50∘cs10∘=2sin40∘cs10∘.
故选：A.
由已知结合同角基本关系，辅助角公式，诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，辅助角公式，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵sinA+sinC=2sin(A+C)，
∴sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得：a+c=2b，
由余弦定理：b2=a2+c2−2accsB
=(a+c)2−2ac− 3ac=4b2−12−6 3，
解得：b2=4+2 3，
∴b=1+ 3.
故选：D.
利用正弦定理及题设中sinA+sinC=2sinB，可知a+c的值，代入到余弦定理中求得b.
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵由a⋅b=12，向量a，b为单位向量，可得a，b的夹角为60∘.设OA=a，OB=b，OC=c.由向量a⋅b=12，向量a，b均为单位向量
∴1×1×cs=12，
∴=π3.
设OA=a，OB=b，OC=c.
∵向量c满足a−c与b−c的夹角为π6，
∴∠ACB=π6.
由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．
可知：当AC时是弧AB所在圆(上述圆弧)的直径时，|a−c|取得最大值|AC|，
在△ABC中，由正弦定理可得：AC=ABsin30∘=2.
∴|，|a−c|取得最大值|AC|取得最大值是2.
故选：D.
由a⋅b=12，向量a，b为单位向量，可得a，b的夹角为60∘.设OA=a，OB=b，OC=c.由向量a⋅b=12，向量a，b均为单位向量由向量夹角为π3，可得∠ACB=π6.由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．因此：当AC时是弧AB所在圆(上述圆弧)的直径时，|a−c|取得最大值|AC|.
本题考查了向量的数量积运算性质、向量的减法运算及其几何意义、圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由复数z0=12+ 32i，得z0⋅z0−=|z0|2=(12)2+( 32)2=1，选项A错误；
对于B，复数z0=12+ 32i在复平面内对应的点(12, 32)，在第一象限，选项B正确；
对于C，因为z02−z0+1=(12+ 32i)2−(12+ 32i)+1=(−12+ 32i)−(12+ 32i)+1=0，所以选项C正确；
对于D，因为1=|z−z0|≥|z|−|z0|=|z|−1，所以|z|≤2，即|z|的最大值为2，选项D正确．
故选：BCD.
选项A中，根据z0⋅z0−=|z0|2，求解即可；
选项B中，写出复数z0在复平面内对应点的坐标，判断即可；
选项C中，把z0代入方程验证即可；
选项D中，根据绝对值不等式求解即可．
本题考查了复数的定义与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为0<α<β<π，
所以0<β−α<π，
因为sin(β−α)=1，
所以β−α=π2，即β=α+π2，
因为csα=45，
所以sinα=35，
所以sin2α=2sinαcsα=2×35×45=2425，A正确；
sinβ=csα=45，B正确；
csβ=−sinα=−35，C错误；
cs(α+β)=cs(2α+π2)=−sin2α=−2425，D正确．
故选：ABD.
由已知先求出β−α=π2，然后结合诱导公式，同角基本关系及二倍角公式检验各选项．
本题主要考查了同角基本关系，诱导公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由正弦定理可得sinCcsB+sinBcsC=sinA=asinA，
因为0若B+C=2A，且B+C+A=π，所以A=π3，
由余弦定理得csA=csπ3=b2+c2−a22bc=b2+c2−12bc，
由b>0，c>0，可得b2+c2=bc+1，
则(b+c)2=3bc+1≤3⋅(b+c2)2+1，
所以b+c≤2，当且仅当b=c=1时等号成立，
则△ABC周长的最大值为3，故A正确；
对于B，若A=π4，且a=1，由正弦定理得bsinB=1sinπ4，
所以sinB=bsinπ4= 22b，当sinB=1即 22b=1,b= 2时有一解，故B错误；
对于C，若C=2A，所以B=π−A−2A=π−3A，且△ABC为锐角三角形，
所以0由正弦定理asinA=csinC得c=1×sinCsinA=sin2AsinA=2csA∈( 2, 3)，故C正确；
对于D，如图做OD⊥BC交BC于点D点，则D点为BC的中点，且BC=1，
设∠OBD=α，所以csα=BDBO，
所以BC⋅BO=|BC|⋅|BO|csα=|BC|⋅|BO|×|BD||BO|=|BC|⋅|BD|=12|BC|2=12，故D正确．
故选：ACD.
对于A，由正弦定理可得a，根据B+C=2A求出A，再由余弦定理和基本不等式可判断A；由正弦定理得sinB= 22b，利用sinB=1可判断B；求出B=π−3A，利用△ABC为锐角三角形得A的范围，由正弦定理得c=2csA，求出c的范围可判断C；做OD⊥BC交BC于点D点，则D点为BC的中点，设∠OBD=α可得csα=BDBO，利用BC⋅BO数量积公式计算可判断D.
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
12.【答案】85
【解析】【分析】
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．
根据题意，由a//b，可得关于λ的方程，再求出λ即可．
【解答】
解：因为a=(2,5)，b=(λ,4)，a//b，
所以8−5λ=0，解得λ=85.
故答案为：85.
13.【答案】π2
【解析】解：因为asinA=bcsB=csinB，
所以sinB=csB=sinC，结合B、C为三角形的内角，可得tanB=1且B=C，
因为tanB=1且B∈(0,π)，所以B=C=π4，可得A=π−B−C=π2.
故答案为：π2.
根据题意利用正弦定理，可得出sinB=csB=sinC，从而得到∠B=∠C=π4，进而可得∠A的大小．
本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．
14.【答案】(12,76]
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在(π2,π)上单调，
所以π−12π≤πω，
所以0<ω≤2，
因为f(x)在(0,π3)上存在对称轴，
所以ωx+π3=π2+kπ，k∈Z，
则x=π6+kπω为函数的最值点，
所以π6ω<π3，
所以ω>12，此时7π6ω≥7π12>π2，
要使得f(x)在(π2,π)上单调，
所以7π6ω≥π，即ω≤76，
故12<ω≤76.
故答案为：(12,76].
由已知结合正弦函数的单调性及对称性即可求解．
本题主要考查了正弦函数的对称性及单调性的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由图知，a=(2,0)，|a|=2，
因为b在a方向上的投影向量为2a，所以b在a方向上投影数量为2|a|=4，
设b=(x,y)，则a⋅b|a|=2x2=4，即x=4，
又因为|b|= 42+y2=2 5，所以y=±2，所以b=(4,±2)，
故以B为始点的向量b为如图所示的BM,BN，所以a⋅b=2×4=8；
(2)由图知，BC=(3,−1)，CA=(−2,3)，
设CD=λCA，(0≤λ≤1)，则CD=(−2λ,3λ)，BD=BC+CD=(3−2λ,3λ−1)，
所以BD⋅CD=−2λ(3−2λ)+3λ(3λ−1)=13λ2−9λ=13(λ−926)2−8152，
由二次函数性质可知，当λ=1时，BD⋅CD取得最大值4.
【解析】(1)设b=(x,y)，根据投影数量可求得x=4，由|b|=2 5可得y=±2，然后可作出向量b，利用数量积的坐标表示可得a⋅b；
(2)设CD=λCA，(0≤λ≤1)，利用坐标表示BD⋅CD，然后由二次函数性质可得．
本题考查平面向量的数量积与夹角，投影向量与模等，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为α∈(0,π)，sin2α=−45=2sinαcsα=2tanα1+tan2α，
解得，tanα=−2或tanα=−12，
因为sinαcsα<0且sinα< 22，
所以3π4<α<π，
所以tanα>−1，
故tanα=−12；
(2)若β∈(π2,π)，且csβ=−3 1010，
则sinβ= 1010，tanβ=−13，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−12−131−(−12)×(−13)=−1，
因为5π4<α+β<2π，
α+β=7π4.
【解析】(1)由已知结合二倍角公式及同角基本关系即可求解tanα；
(2)结合同角平方关系先求出tanβ，结合两角和的正切公式求出tan(α+β)，进而可求．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由于f(x)=2sin(x−π3)，
所以g(x)=f(x−π6)⋅f(x+π6)=2sin(x−π2)⋅2sin(x−π6)=−4csx( 32sinx−12csx)=2cs(2x+π3)+1.
令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π(k∈Z)，
整理得kπ−π6≤x≤kπ+π3，(k∈Z)，
故函数的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z).
(2)函数g(x)在区间[0,m]上有最小值−1，令2x+π3=π，解得x=π3，
故当m≥π3时，函数的最小值为−1.
故实数m的取值范围为[π3,+∞).
【解析】(1)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调减区间；
(2)利用余弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵sin2C=sinB，∴2sinCcsC=sinB，
∴2ccsC=b，∴csC=14，
在△ABC中，由余弦定理得，
c2=b2+a2−2abcsC=9+a2−2×3×a×14=36，
解得a=6，即BC=6.
(2)∵csC=14，C∈(0,π)，∴sinC= 154，
∴S△ABC=12CA⋅CBsinC=9 154
∵AE平分∠BAC，∴ABAC=BECE=2，所以S△AEC=13S△ABC，
∵AD为BC边的中线，∴S△ADC=12S△ABC，
∴S△ADE=S△ADC−S△AEC=16S△ABC=16×9 154=3 158.
【解析】(1)先求出csC=14，再在△ABC中，利用余弦定理计算BC，
(2)根据角平分线定理得ABAC=BECE=2，所以S△AEC=13S△ABC，再由中线的性质得到S△ADC=12S△ABC，得到S△ADE=16S△ABC即可．
本题考查应用余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，角平分线，中线的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)CA⋅CB=(OA−OC)⋅(OB−OC)=OA⋅OB−OA⋅OC−OC⋅OB+OC2，
设∠BOC=α，由题意得α∈[0,2π3]，
则OA⋅OB=12,OA⋅OC=cs(π3+α),OC⋅OB=csα,OC2=1，
所以CA⋅CB=32−cs(π3+α)−csα=32−12csα+ 32sinα−csα
=32−32csα+ 32sinα=32− 3( 32csα−12sinα)=32− 3cs(α+π6)，
因为α∈[0,2π3]，则α+π6∈[π6,5π6]，
所以cs(α+π6)∈[− 32, 32]，所以CA⋅CB的最小值是0，最大值是3，
则CA⋅CB∈[0,3]；
(2)设AM=λAC(0<λ<1)，
则OM=OA+AM=OA+λAC=(1−λ)OA+λOC=tOB，
所以OC=tλOB−1−λλOA，由|OC|=1得|tλOB−1−λλOA|=1，
即(tλ)2+(1−λλ)2−2×tλ×1−λλ×OA⋅OB=1，整理得λ=t2−t+12−t，
所以CMAM=1−λλ=1−t2t2−t+1，
所以S△COMS△BMA=|OM|⋅|CM||MB|⋅|AM|=t1−t×1−t2t2−t+1=t2+tt2−t+1，
令f(t)=t2+tt2−t+1(0令2t−1=a(−1∀a1，a2∈(−1,1)，令a1g(a1)−g(a2)=(1+4a1a12+3)−(1+4a2a22+3)=4(a1−a2)(3−a1a2)(a12+3)(a22+3)，
∵(a12+3)(a22+3)>0,a1−a2<0,3−a1a2>0，则g(a1)−g(a2)<0，即g(a1)∴g(a)=1+4aa2+3在(−1,1)上单调递增，则g(a)∈(0,2)，
所以f(t)=t2+tt2−t+1(0【解析】(1)利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把CA⋅CB用α表示，化简整理后由∠BOC的范围求得CA⋅CB的取值范围即可；
(2)设AM=λAC(0<λ<1)，则OM=OA+AM=OA+λAC=(1−λ)OA+λOC=tOB，所以OC=tλOB−1−λλOA，由|OC|=1得|tλOB−1−λλOA|=1，整理得λ=t2−t+12−t，然后把S△COMS△BMA转化为含有t的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f(t)的值域即可．
本题考查了平面向量数量积、三角函数的恒等变换和导数的综合应用，属于中档题．