天津市十二区县重点校2024届高三下学期第一次模拟考试数学

这是一份天津市十二区县重点校2024届高三下学期第一次模拟考试数学，共6页。试卷主要包含了已知函数 f x ，下列说法正确的是，已知双曲线 C ，已知集合U等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将答题卡交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
2．本卷共 9 小题，每小题共 5 分，共 45 分。
参考公式：·如果事件 A、B 互斥，那么 P AB  P A P B
·柱体的体积公式V  Sh ，其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数 z 满足 z 1-i =
1+
，则 z  （
3i
）
A．1  iB．1  i
C． 2  2i
D． 2  2i
2．已知 a, b  R ，则“ b 
a
”是“ a2
 b2 ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．如图是函数 f x的部分图象，则 f x的解析式可能为（
）
A． f x  
sin5x
B． f
x  
cs5x
C． f x  
cs5x
D． f x  
sin5x
2x  2 x
2x  2 x
2 x  2x
2 x  2x
4．已知函数 f x 
1

 1
0.6


2 

1

43
x

，若 a  f


,b
 f lg

，c  f

 ，则 a, b, c 的大小关系为（
）


x


1
e

 2



2
9 


A． a  b  c
B． c  b  a
C． a  c  b
D． b  c  a
5．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4
 4S2 , a2n  2an 1n  N * ，则 a5  （
）
A．6B．9C．11D．14
6．下列说法正确的是（）
A．一组数据 7,8,8,9,11,13,15,17, 20, 22 的第 80 百分位数为 17；
B．根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到  2  4.712 ，根据小概率值  0.05 的独立性检验
x0.05  3.841 ，可判断 X 与 Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05；
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 0；D．若随机变量 , 满足  3  2 ，则 D   3D   2 ．
7．如图是函数 f x   Ksin x   K  0,  0,  2    2  的部分图象， A 是图象的一个最高点， D

是图象与 y 轴的交点， B, C 是图象与 x 轴的交点，且 D 0, 1,△ABC 的面积等于 2 ，则下列说法正确的是
（）
A．函数 f x的图象关于点   6 , 0  对称；

B．函数 f x的最小正周期为 2 ；
C．函数 f x的图象可由 y  2sin 2x的图象向右平移 6 个单位长度得到；
D．函数 f x的单调递增区间是 k  6 , k  3  , k  Z 。

8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异”。这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图 1 是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线 AOC 和 BOD 均是以 2 为半径的半圆，平面 AOC 和平面 BOD 均垂直于平面 ABCD ，用任意平行于帐篷底面 ABCD 的平面截帐簿，所得截面四边形均为正方
形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高
的正四棱锥（如图 2），从而求得该帐篷的体积为（）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共 11 小题，共 105 分。
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，试题中包含两个空的，答对一个的给 3 分，全部答对的给 5 分。
12．已知圆 C1：x2  y2  4 与圆 C2：x2  y2  8x  6 y  m  0 外切，此时直线 l : x  y 1  0 被圆 C2 所截的弦长为_________。
13．甲和乙两个箱子中各装有 4 个大小相同的小球，其中甲箱中有 2 个红球、2 个白球，乙箱中有 3 个红球、
1 个白球，从甲箱中随机抽出 2 个球，在已知抽到白球的条件下，则 2 个球都是白球的概率为_________；掷
一枚质地均匀的骰子，如果点数大于等于 2，就从甲箱子重随机抽出 1 个球；如果点数大于等于 3，就从乙箱子中随机抽出 1 个球，则抽到红球的概率为_________。
3
14．在平行四边形 ABCD 中， E 是线段 CD 的中点，点 F 满足 AE  EF ，若设 BA  a ， BC  b ，则 BF 可用 a, b 表示为_________；点 M 是线段 AD 上一点，且 DM  2 AM ，若 BM  BF ，则 csABC 的最大
A．
8
B．
16
C．
16
D．
32
3
3
3
3
9．已知双曲线 C :
x2

y2
1(a  0, b  0) 与抛物线 C
: y2
 2 px( p  0)
，抛物线 C
的准线过双曲线 C
的
a2
b2
1
2
2
1
焦点 F ，过点 F 作双曲线 C1 的一条渐近线的垂线，垂足为点 M ，延长 FM 与抛物线 C2 相交于点 N ，若
ON  3OF  4OM ，则双曲线 C1 的离心率等于（
）
1
5
A． 3 1
B．
C．
2
D． 2 1
2
10．已知集合U
 2, 1, 0,1, 2, A  0, B  x
x2  x  2  0，则 CU A B  _________。

3x 
1

7
1
11．在 

的展开式中，
的系数为_________。

x 
x
值为_________。
15．己知函数 f (x)  ax2  2x2  ax 1 有且仅有 2 个零点，则实数 a 的取值范围为_________。
三、解答题：本大题 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分 14 分）
已知 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 2a  3c csB  3bcsC 。
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 c  3, a  b  2 ，求 △ABC 的面积；
（Ⅲ）若 b  2a ，求 sin 2 A  B 。
17．（本小题满分 15 分）
如图所示，在三棱柱 ABC  A1B1C1 中， AA1  平面 ABC ，BAC  90, AB  AC  AA1  2 。D 是棱 CC1
的中点， M 为棱 BC 中点， P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点。
（Ⅰ）求证： PB1 ∥平面 BDA1 ；
（Ⅱ）求直线 MP 与平面 BDA1 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面 MPB1 与平面 BDA1 夹角的余弦值。
18．（本小题满分 15 分）
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）点 A, B, P 是椭圆 E 上的三个不同点，线段 AB 交 x 轴于点 Q(Q 异于坐标原点 O) ，且总有 △AQP 的
面积与 △BQP 的面积相等，直线 PA, PB 分别交 x 轴于点 M , N 两点，求 OM  ON 的值。
19．（本小题满分 15 分）
若某类数列an 满足“ n  2, an  2 ，且 an  0 ” n  N * ，则称这个数列an 为“ G 型数列”。 an1
x2
y2


3
已知椭圆 E :

1(a  b  0)
过点 1,
 ，焦距是短半轴长的 2
3 倍，
a
2
b
2

2



（Ⅰ）若数列an 满足 a1  3, an an1  32n1 ，求 a2 , a3 的值并证明：数列an 是“ G 型数列”；
（Ⅱ）若数列an 的各项均为正整数，且 a1 1,an 为“ G 型数列”，记 bn  an 1，数列bn 为等比数列，
公比 q 为正整数，当bn 不是“ G 型数列”时，
20．（本小题满分 16 分）
意大利画家达  芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?
这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 ch x   ex  ex 的图象，定义 2
双曲正弦函数 sh x   ex  ex ，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关 2
系： ch2 x sh2 x 1，②倍元关系： sh 2x  2sh xch x 。
（Ⅰ）求曲线 ch x 在 x  2 处的切线斜率；
（Ⅱ）若对任意 x  0 ，都有 x  a 1sh x   ch x   2sinx  2 x  a csx 恒成立，求实数 a 的取值范围：
（Ⅲ）（i）证明：当 x  0 时， sh x  x ；
n
1
5
, n  N *  。
（i）求数列an 的通项公式；（ii）求证： 

12
k 1ak ak 1

2

sh 2
sh 1
sh 

3
（ii）证明：




 
tan1
1
tan
1
tan
2
3
 2

sh 

4n
 n

 2n
n N
*
。
1
2 n 1
tan
n