安徽省合肥市庐江县柯坦中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.
【详解】A. =3，故不是最简二次根式；
B. =，故不最简二次根式；
C. ，是最简二次根式；
D. =，故不是最简二次根式；
故选C.
【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式.
2. 下列条件中，不能判定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，,
∴平行四边形是菱形，
不能判断平行四边形是矩形，故此选项符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
D、，
，
平行四边形是矩形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质等知识．熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
3. 若，则表示实数的点会落在数轴的（ ）
A. 段①上B. 段②上C. 段③上D. 段④上
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果．
【详解】解：，即，
，
，
，即，
故实数的点会落在数轴的段②上，
故选：B．
4. 一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，那么以为三边长的三角形是（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用，根据直角三角形的斜边平方等于直角边平方之和，结合分类讨论思想，进行作答即可．
【详解】解：依题意，
当
则，此时以为三边长的三角形是直角三角形；
当
则，此时以为三边长的三角形是直角三角形；
当，
则，此时以为三边长的三角形是直角三角形；
综上：以为三边长的三角形是直角三角形，
故选：．
5. 如图，在平行四边形中，，，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，由平行四边形的性质可得，，进而得到，，由，可得，由直角三角形两锐角互余即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6. 如图，在中，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度是（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含直角三角形的性质，三角形中位线定理；
根据直角三角形斜边中线的性质和含直角三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理即可求出的长度．
【详解】解：∵在中，点D为斜边中点，，
∴，
∵为的中位线，
∴，
故选：A．
7. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和以及勾股定理的逆定理，如果得出一个内角为90度或者满足勾股逆定理性质，即可证明是直角三角形，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴是直角三角形，故该选项不符合题意；
B、∵，
∴，即，
∴是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴设，
则，
∵，
∴，
解得
∴
∴是直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∵。
∴设
则
∵
∴不直角三角形，故该选项符合题意；
故选：．
8. 如图，在中，，，D是边上任意一点，过点D作于E，于F，则（ ）
A. 3B. 4C. 4.8D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理、三角形面积公式的运用．连接，作，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，进而可以求出，再根据等面积法可以列出，最后求出的值．
【详解】解：如图所示：连接，作，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
9. 如图，在菱形中，，，过点作交的延长线于点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．
【详解】解：如图，设与的交点为，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；推导出不是等边三角形，进而得到，故③错误；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴不是等边三角形，
∴，故③错误；
∵，
∴，
延长交的延长线于，如图，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是斜边的中线，
∴．故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知，则代数式的值是______．
【答案】13
【解析】
分析】由，可得（a-1）2=（）2，有a2-2a=4，即可得a2-2a+9=13．
【详解】解：∵，
∴（a-1）2=（）2，
∴a2-2a=4，
∴a2-2a+9=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出a2-2a=4，再整体代入．
12. 如图所示，平行四边形ABCD中，顶点A、B、D在坐标轴上，AD=5，AB=9，点A的坐标为(﹣3，0)，则点C的坐标为_______．
【答案】（9，4）
【解析】
【分析】先求OD，则点C纵坐标可知，再运用平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，即可求得点C的横坐标．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=9，
∵点A的坐标为（-3，0），
∴OA=3，
∴OD=
∴点C的坐标为（9，4）．
故答案为：（9，4）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出OD是解决问题的关键．
13. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为______．
【答案】64
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再由勾股定理得到，据此结合正方形面积公式即可得到答案．
【详解】解：如图所示，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴阴影部分的面积之和为64，
故答案为：64．
14. 如图，在矩形纸片中，，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点落在AD上时，．则：
（1）______°；
（2）BE的长为______．
【答案】 ①. 45 ②.
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，二次根式的除法运算；
（1）先证明，，求解，再进一步可得答案；
（2）先证明，，设，则，再建立方程求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的计算，正确掌握二次根式的运算法则，合并同类二次根式的法则是解题的关键．
【详解】解：
．
16. 如图，平行四边形中，E，F直线上两点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，，再利用全等三角形的判定方法证明即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，，
，
∴；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
【答案】S△ABC＝84．
【解析】
【分析】设BD＝x，则有CD＝14﹣x，根据AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，列出方程求解即可得到答案.
【详解】解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则有CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解之得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC•AD＝×14×12＝84．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和利用方程的思想解决问题，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.
18. 如图，四边形是平行四边形，、相交于点，是中点，连接，过点作于点，过点作于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，，求长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可知，进而证明是的中位线，得到，再由，，得到，即可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质和勾股定理在中求出，然后利用等面积法求出即可
【小问1详解】
解：证明∶四边形是平行四边形，
，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解∶ ∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米：
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米：
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米.
（1）求风筝的垂直高度：
（2）如果小明想风筝沿方向再上升4米，则他应该再放出多少来线?
【答案】（1）风筝的高度为17.62米
（2）他应该再放出米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米；
【小问2详解】
解：如图所示：延长至M，连接，
由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴米，
∴他应该再放出米．
20. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）四边形是矩形，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等：
（1）由平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，，进而可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形；
（2）延长交于点H，先根据等角对等边证明，再证，推出，根据等腰三角形三线合一可证，结合（1）中结论，即可证明四边形是矩形．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E，F分别为边的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：四边形是矩形，理由如下：
如图，延长交于点H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
六、（本题满分12分）
21. 现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
（1）裁出的正方形纸片A的边长为_____；
（2）求图1中阴影部分的面积；
（3）小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）不能截出，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长；
（2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答．
（3）先计算，则，据此即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，正方形纸片A的边长为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得，截出的正方形纸片B的边长为，
则矩形的长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
【小问3详解】
解：不能截出，理由如下：
∵面积为的正方形纸片的边长为，
则，
∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．
七、（本题满分12分）
22. （1）如图1，在四边形中，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，分别交于点M，N，判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点M，N，求证：．
【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了中位线的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先取的中点H，连接，得出分别是，的中位线，再结合中位线的性质以及，得出，根据等边对等角，得出，即可作答．
（2）连接，取的中点H，连接分别是，的中位线，再结合中位线的性质以及，根据等边对等角以及角的等量代换，即可作答．
【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下：
如图，取的中点H，连接，
∵E，F分别是的中点，
∴分别是，中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）如图，连接，取的中点H，连接
∵E，F分别是的中点，
∴分别是，的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，已知点M是线段上一点，且，则的长为_______．
【答案】（1）见解析 （2）2
（3）或
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理；
（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出，再结合图形即可求出．
【小问1详解】
∵，
，
为的平分线，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
【小问3详解】
如图，
在（2）的条件下，，
∵，
∴，
∴
故答案为：或．