2024年山西省太原市万柏林区中考数学二模试卷(含解析)
展开1.计算﹣3+1的结果是( )
A.2B.﹣2C.﹣4D.﹣3
2.如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
3.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5B.a3•a2=a5
C.(a+2)2=a2+4a+2D.(﹣a3)2=a5
4.根据Verizn的测试模型,5G网络理论下载速度为每秒1300000KB左右,已知某个视频按5G网络理论下载速度需花费20秒完成下载,则该视频的大小用科学记数法表示为( )
A.2.6×106KBB.2.6×108KBC.26×106KBD.2.6×107KB
5.一副直角三角板按如图所示的位置摆放(90°角的顶点与45°角的顶点重合),若AB∥DE,则∠ACE的度数是( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
6.某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种表面展开图,那么在原正方体中,与“伏”字所在面相对面上的汉字是( )
A.文B.羲C.弘D.化
7.下列调查方式适合用普查的是( )
A.检测一批LED灯的使用寿命
B.检测一批家用汽车的抗撞击能力
C.测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况
D.中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率
8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知经过闭合电路的电流I(单位:A)与电路的电阻R(单位:Ω)之间的关系如表所示,则下列说法中错误的是( )
A.m的值为2.5
B.I与R之间的函数表达式为
C.当I≤20A时,R≤5Ω
D.I随R的增大而减小
10.如图,扇形AOB中,OA=4,∠AOB=90°,C为上一点,∠BOC=60°,过点B作OC的垂线交OA于D,连接DC.则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.计算×的结果是 .
12.如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和等边三角形组成,其中正方形涂有阴影.依此规律,第n个图案中有 个涂有阴影的正方形(用含有n的代数式表示).
13.为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神,某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看,则这两个年级选择的影片相同的概率为 .
14.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点(与点A,B不重合),过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若BD=3,CD=4,则⊙O的直径为 .
15.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,CD⊥AB,D为垂足,延长BC至E,使,连接DE交AC于点F,则DF的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)(1)计算:.
(2)先化简,再求值:,其中.
17.(8分)如图,在▱ABCD中,AB<CD.
(1)实践与操作:利用尺规作图完成下面作图:
①在BC边上截取BE=AB,连接AE;
②作∠ABC的角平分线,交AE于点O,交AD于点F(要求:不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)猜想与证明:试猜想线段BO与OF的数量关系,并加以证明.
18.(7分)2024年植树节来临之际,某学校计划采购一批树苗,参加“保护环境,远离雾霾”植树节活动.已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元.用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元?
(2)学校决定购买甲,乙两种树苗共100棵,实际购买时,甲种树苗打九折,乙种树苗的售价不变.学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元,求最多可购买多少棵甲种树苗.
19.(7分)某校德育处为了编撰一本学生感兴趣的山西传统文化校本课程读物,设计了如下的调查问卷,并在全校学生中随机抽取部分学生进行了调查,随后根据调查结果绘制了统计图(均不完整).
下列山西传统文化中,你最感兴趣的是?(单选)
A.炎帝农耕文化 B.尧舜德孝文化 C.关公忠义文化 D.能吏廉政文化 E.晋商诚信文化
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的总人数是 人,并把条形统计图补充完整.
(2)在扇形统计图中,C选项的人数百分比是 ,E选项所在扇形的圆心角的度数是 .
(3)若该校共有学生2500名,则其中大约有多少名学生对“尧舜德孝文化”感兴趣?
20.(7分)阅读与思考
下面是小明同学的数学日记,请仔细阅读并完成相应的任务.
任务一;
请你补充完整小明的日记:① ,② ,③ .
任务二:
若多项式x2﹣(2n﹣4)x+(n+10)是一个完全平方式,利用以上结论求出n的值;
任务三:
除因式分解外,初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式,例如:用配方法解一元二次方程,请你再举出一例.
21.(10分)“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一,在我们的身边也经常能见到“风电”的身影.某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下:
请利用表中提供的信息,求风力发电机的塔杆高度PD.
(参考数据:sin18°≈0.309,cs18°≈0.951,tan18°≈0.325)
22.(13分)综合与实践
问题情境:
如图1,在正方形ABCD中,BD是对角线,过点A作AE⊥BD,E为垂足,过点D作AE的平行线,过点A作BD的平行线,两线相交于点F.
问题解决:
(1)判断四边形AEDF的形状,并说明理由;
深入探究:
(2)如图2,将四边形AEDF绕着点A逆时针方向旋转α(0°<α<90°),得到四边形AE′D′F′,且C,E′,F′三点在同一条直线上,过点B作BG⊥CE′,G为垂足,连接BE′并延长交DF′于点H,
①求证:G是CE′的中点;
②若正方形ABCD的边长为2,请直接写出BH的长.
23.(13分)综合与探究
如图,二次函数y=ax2+bx+6图象与一次函数y=x+2的图象相交于A(﹣2,0),D(2,n)两点,与x轴交于另一点B,与y轴交于点C.
(1)求二次函数的表达式及点B的坐标;
(2)如图1,点M是线段AB上一个动点,过点M作MN∥AD交BD于点N.设点M的横坐标为m.若△BMN的面积是四边形AMND面积的.求m的值;
(3)如图2,连接BC,在抛物线上是否存在点P,使∠BAP+∠ABC=90°?若存在,请直接写出点P的坐标:若不存在,请说明理由.
2024年山西省太原市万柏林区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.计算﹣3+1的结果是( )
A.2B.﹣2C.﹣4D.﹣3
【分析】根据绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可.
【解答】解:﹣3+1=﹣(3﹣1)=﹣2,
故选:B.
2.如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义,逐项判断即可求解.
【解答】解:A、该图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B、该图形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项符合题意;
D、该图形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:C.
3.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5B.a3•a2=a5
C.(a+2)2=a2+4a+2D.(﹣a3)2=a5
【分析】根据完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方法则进行计算,逐一判断即可解答.
【解答】解:A、a3与a2=不能合并,故A不符合题意;
B、a3•a2=a5,故B符合题意;
C、(a+2)2=a2+4a+4,故C不符合题意;
D、(﹣a3)2=a6,故D不符合题意;
故选:B.
4.根据Verizn的测试模型,5G网络理论下载速度为每秒1300000KB左右,已知某个视频按5G网络理论下载速度需花费20秒完成下载,则该视频的大小用科学记数法表示为( )
A.2.6×106KBB.2.6×108KBC.26×106KBD.2.6×107KB
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.
【解答】解:20×1300000=26000000=2.6×107.
故选:D.
5.一副直角三角板按如图所示的位置摆放(90°角的顶点与45°角的顶点重合),若AB∥DE,则∠ACE的度数是( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
【分析】根据平行线的性质可得∠AFE=∠E=45°,再根据三角形的外角性质可得∠ACE的度数.
【解答】解:∵AB∥DE,
∴∠AFE=∠E=45°,
∴∠ACE=∠AFE﹣∠A=45°﹣30°=15°.
故选:B.
6.某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种表面展开图,那么在原正方体中,与“伏”字所在面相对面上的汉字是( )
A.文B.羲C.弘D.化
【分析】根据正方体的展开图的特点,得出相对的面,进而得出答案.
【解答】解:根据正方体表面展开图可知,“相间、Z端是对面”,因此“伏与化”相对,“弘与文”相对,“扬与羲”相对,
故选:D.
7.下列调查方式适合用普查的是( )
A.检测一批LED灯的使用寿命
B.检测一批家用汽车的抗撞击能力
C.测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况
D.中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率
【分析】根据抽样调查和全面调查的区别判断即可.
【解答】解:A、检测一批LED灯的使用寿命,适合用抽样调查,不符合题意;
B、检测一批家用汽车的抗撞击能力,适合用抽样调查,不符合题意;
C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况,适合用普查,符合题意;
D、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率,适合用抽样调查,不符合题意;
故选:C.
8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
【解答】解:由3﹣x>0得:x<3,
由x+2≥1得:x≥﹣1,
则不等式组的解集为﹣1≤x<3,
故选:B.
9.已知经过闭合电路的电流I(单位:A)与电路的电阻R(单位:Ω)之间的关系如表所示,则下列说法中错误的是( )
A.m的值为2.5
B.I与R之间的函数表达式为
C.当I≤20A时,R≤5Ω
D.I随R的增大而减小
【分析】根据等量关系“电流=电压÷电阻”,即可求出反比例函数解析式,再利用反比例函数性质分析得出答案.
【解答】解:∵闭合电路的电流I(单位:A)与电路的电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,
∴40m=5×20,
∴m=2.5,
故选项A不合题意;
∵闭合电路的电流I(单位:A)与电路的电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,
则I=,把(20,5)代入得:
故U=20×5=100,
即I=(R>0),
故选项B不合题意;
当I随R的增大而减小,故此选项D不合题意.
故选:C.
10.如图,扇形AOB中,OA=4,∠AOB=90°,C为上一点,∠BOC=60°,过点B作OC的垂线交OA于D,连接DC.则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
【分析】根据等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系求出DE,OD,再由扇形面积、三角形面积的计算方法以及图形各个部分面积之间的和差关系进行计算即可.
【解答】解:如图,连接BC,
∵∠BOC=60°,OB=OC,
∴△BOC是正三角形,
∴OB=OC=BC=4,
∵CD⊥OC,
∴OE=CE=OC=2,
在Rt△ODE中,OE=2,∠DOE=90°﹣60°=30°,
∴DE=OE=,
OD=2DE=,
∴S阴影部分=S扇形OBC+S△COD﹣S△BOD
=+×4×﹣×4×
=﹣.
故选:A.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.计算×的结果是 4 .
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案.
【解答】解:×==4.
故答案为:4.
12.如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和等边三角形组成,其中正方形涂有阴影.依此规律,第n个图案中有 (2+2n) 个涂有阴影的正方形(用含有n的代数式表示).
【分析】根据题目中的图形可以发现正方形个数的变化规律,可以求得第n个图案中正方形的个数.
【解答】解:∵第1个图案中有4个涂有阴影的正方形,
第2个图案中有6=2×2+2个涂有阴影的正方形,
第3个图案中有8=2×3+2个涂有阴影的正方形,
…
∴第n个图案中有 (2+2n)个涂有阴影的正方形,
故答案为:(2+2n).
13.为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神,某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看,则这两个年级选择的影片相同的概率为 .
【分析】画出树状图,找出满足条件的结果即可得到答案.
【解答】解:将影片分别记为A,B,C,
共有九种结果,其中两个年级选择的影片相同的结果有3种,
故这两个年级选择的影片相同的概率为.
故答案为:.
14.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点(与点A,B不重合),过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若BD=3,CD=4,则⊙O的直径为 .
【分析】根据切线的性质以及勾股定理求出半径即可.
【解答】解:连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
在Rt△COD中,设OC=x,则OD=x+3,由勾股定理得,
OC2+CD2+OD2,
即x2+42=(x+3)2,
解得x=,
即半径为,
所以直径为,
故答案为:.
15.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,CD⊥AB,D为垂足,延长BC至E,使,连接DE交AC于点F,则DF的长为 .
【分析】过点E作EM⊥AB于M,交AC于N,则AB=,CD=BD=AD=,△BEM和△AEN均为等腰直角三角形,进而得CE=BC=2,BE=BC+CE=8,EN=,证△BCD∽△BEM得BM=EM=,则DM=,ED=,再证△ENF∽△DCF得EF:DF=2:3,进而得DF=ED,据此可得DF的长.
【解答】解:过点E作EM⊥AB于M,交AC于N,如下图所示:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,
∴AB==,∠B=45°,
∵CD⊥AB,
∴CD=BD=AD=AD=,
∵EM⊥AB,∠B=45°,
∴△BEM为等腰直角三角形,
∴∠BEM=∠B=45°,EM=BM,
又∠ACB=90°,
∴△AEN也是等腰直角三角形,
∵CE=BC=×6=2,
∴BE=BC+CE=6+2=8,
在Rt△AEN中,CE=CN=2,
由勾股定理得:EN=√=,
∵CD⊥AB,EM⊥AB,
∴CD∥EM,
∴△BCD∽△BEM,
∴CD:EM=BC:BE
即:EM=6:8,
∴EM=,
∴BM=EM=,
∴DM=BM﹣BD==,
在Rt△EMD中,由勾股定理得:ED==,
∵CD∥EM,
∴△ENF∽△DCF,
∴EF:DF=EN:CD,
即,
∴DF=ED=.
故答案为:.
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)(1)计算:.
(2)先化简,再求值:,其中.
【分析】(1)根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质计算;
(2)根据分式的除法法则、减法法则把原式化简,把x的值代入计算得到答案.
【解答】解:(1)原式=1﹣4+2﹣=﹣1﹣;
(2)原式=÷(﹣)
=÷
=•(x﹣1)
=x+1,
当x=﹣1时,原式=﹣1+1=.
17.(8分)如图,在▱ABCD中,AB<CD.
(1)实践与操作:利用尺规作图完成下面作图:
①在BC边上截取BE=AB,连接AE;
②作∠ABC的角平分线,交AE于点O,交AD于点F(要求:不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)猜想与证明:试猜想线段BO与OF的数量关系,并加以证明.
【分析】(1)按基本作图“作一条线段等于已知线段”和“作已知角的平分线”的要求作出图形即可;
(2)连接EF,由AD∥BC,得∠AFB=∠CBF,而∠ABF=∠CBF,所以∠AFB=∠ABF,则AF=AB,因为BE=AB,所以AF=BE,则四边形ABEF是平行四形,所以BO=OF.
【解答】解:(1)作法:①在BC边上截取BE=AB,连接AE;
②分别以点A、E为圆心,以大于AE的长为半径作弧,两弧交于点G,作射线BG交AE于点O,交AD于点F.
(2)BO=OF,
证明:连接EF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠AFB=∠CBF,
∵BG平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
∴∠AFB=∠ABF,
∴AF=AB,
∵BE=AB,
∴AF=BE,
∵AF∥BE,且AF=BE,
∴四边形ABEF是平行四形,
∴BO=OF.
18.(7分)2024年植树节来临之际,某学校计划采购一批树苗,参加“保护环境,远离雾霾”植树节活动.已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元.用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元?
(2)学校决定购买甲,乙两种树苗共100棵,实际购买时,甲种树苗打九折,乙种树苗的售价不变.学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元,求最多可购买多少棵甲种树苗.
【分析】(1)根据用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同,可以列出相应的分式方程,然后求解即可;
(2)根据题意和(1)中的结果,可以列出相应的不等式,然后求解即可.
【解答】解:(1)设乙种树苗每棵的价格是x元、则甲种树苗每棵的价格是(x+10)元,
由题意可得:,
解得x=30.
经检验,x=30是原方程的根,
∴x+10=40,
答:甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元;
(2)设可购买a棵甲种树苗,
由题意可得:0.9a×40+30×(100﹣a)≤3200.
解得:,
∵a为正整数,
∴a的最大值为33,
答:最多可购买33棵甲种树苗.
19.(7分)某校德育处为了编撰一本学生感兴趣的山西传统文化校本课程读物,设计了如下的调查问卷,并在全校学生中随机抽取部分学生进行了调查,随后根据调查结果绘制了统计图(均不完整).
下列山西传统文化中,你最感兴趣的是?(单选)
A.炎帝农耕文化 B.尧舜德孝文化 C.关公忠义文化 D.能吏廉政文化 E.晋商诚信文化
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的总人数是 300 人,并把条形统计图补充完整.
(2)在扇形统计图中,C选项的人数百分比是 26% ,E选项所在扇形的圆心角的度数是 36° .
(3)若该校共有学生2500名,则其中大约有多少名学生对“尧舜德孝文化”感兴趣?
【分析】(1)根据题意即可得到结论;把条形统计图补充完整即可;
(2)根据题意即可得到结论;
(3)根据题意列式计算即可.
【解答】解:(1)本次接受调查的总人数是126÷42%=300人,
D选项的人数是300﹣12﹣126﹣78﹣30=54人,把条形统计图补充完整如图所示;
故答案为:300;
(2)在扇形统计图中,C选项的人数百分比是=26%,E选项所在扇形的圆心角的度数是360°×=36°,
故答案为:26%,36°;
(3)2500×42%=1050人,
答:大约有1050名学生对“尧舜德孝文化”感兴趣.
20.(7分)阅读与思考
下面是小明同学的数学日记,请仔细阅读并完成相应的任务.
任务一;
请你补充完整小明的日记:① b2=4ac ,② 两个相等的实数根 ,③ 一 .
任务二:
若多项式x2﹣(2n﹣4)x+(n+10)是一个完全平方式,利用以上结论求出n的值;
任务三:
除因式分解外,初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式,例如:用配方法解一元二次方程,请你再举出一例.
【分析】任务一:①依据题意可得b2﹣4ac=0,进而可以判断得解;
②依据题意可以判断方程有两个相等的实数根;
③依据题意可以判断抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点;
任务二:依据题意,可得方程[﹣(2n﹣4)]2=4×1×(n+10),计算可以得解;
任务三:依据题意,用配方法求二次函数的顶点坐标或求二次函数的最大值或最小值或求二次函数的对称轴等,进而得解.
【解答】解:任务一:①由题意得,b2﹣4ac=0,即b2=4ac;
②由题意得,方程有两个相等的实数根;
③由题意得,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点.
故答案为:b2=4ac;两个相等的实数根;一.
任务二:由题意,[﹣(2n﹣4)]2=4×1×(n+10)
∴n1=﹣1,n2=6.
∴n的值为﹣1或6.
任务三:由题意得,用配方法求二次函数的顶点坐标或求二次函数的最大值或最小值或求二次函数的对称轴等.
21.(10分)“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一,在我们的身边也经常能见到“风电”的身影.某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下:
请利用表中提供的信息,求风力发电机的塔杆高度PD.
(参考数据:sin18°≈0.309,cs18°≈0.951,tan18°≈0.325)
【分析】把PD向两方延长,交BE于点G,交AC的延长线于点F,根据题意可得:BG=AF,AB=FG=53米,DG⊥BE,PF⊥AF,设BG=AF=x米,然后在Rt△DCF中,利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长,再分别在Rt△AFP和Rt△BPG中,利用锐角三角函数的定义求出PF和PG的长,从而列出关于x的方程,进行计算即可解答.
【解答】解:把PD向两方延长,交BE于点G,交AC的延长线于点F,
由题意得:BG=AF,AB=FG=53米,DG⊥BE,PF⊥AF,
设BG=AF=x米,
在Rt△DCF中,∠DCF=30°,CD=18米,
∴DF=CD=9(米),
在Rt△AFP中,∠PAF=45°,
∴PF=AF•tan45°=x(米),
在Rt△BPG中,∠GBP=18°,
∴GP=BG•tan18°≈0.325x(米),
∵GP+PF=GF,
∴0.325x+x=53,
解得:x=40,
∴PF=40米,
∴PD=PF﹣DF=40﹣9=31(米),
∴该通信塔的塔杆PD的高度为31米.
22.(13分)综合与实践
问题情境:
如图1,在正方形ABCD中,BD是对角线,过点A作AE⊥BD,E为垂足,过点D作AE的平行线,过点A作BD的平行线,两线相交于点F.
问题解决:
(1)判断四边形AEDF的形状,并说明理由;
深入探究:
(2)如图2,将四边形AEDF绕着点A逆时针方向旋转α(0°<α<90°),得到四边形AE′D′F′,且C,E′,F′三点在同一条直线上,过点B作BG⊥CE′,G为垂足,连接BE′并延长交DF′于点H,
①求证:G是CE′的中点;
②若正方形ABCD的边长为2,请直接写出BH的长.
【分析】(1)证明四边形AEDF是平行四边形.由正方形的判定可得出结论;
(2)①过点A作AM⊥BG,AN⊥CF′,M,N为垂足,证明△AMB≌△BGC(AAS),得出AM=BG,BM=CG.证出E′G=CG.则可得出结论;
②证明△BGE'≌△F'HE'(AAS),得出E'H=E'G,设BM=CG=E'G=x,则BG=x+1,求出x,则可得出答案.
【解答】(1)解:四边形AEDF的形状是正方形.
理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴∠ADE=45°
∵AE⊥BD,
∴∠ADE=∠DAE=45°,∠AED=90°,
∴AE=DE.
∵DF∥AE,AF∥BD,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵∠AED=90°,
∴四边形AEDF是矩形.
∵AE=DE,
∴四边形AEDF是正方形.
(2)①证明:过点A作AM⊥BG,AN⊥CF′,M,N为垂足,
∵BG⊥CE′,
∴四边形AMGN是矩形,
∴AM=GN,AN=GM.
∵四边形AE′D′F′是正方形,AN⊥CF′,
∴△AE′N是等腰直角三角形,
∴AN=E′N=GM.
∵AM⊥BG,
∴∠1+∠ABM=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠2+∠ABM=90°,
∴∠1=∠2.
又∵AB=BC,∠AMB=∠BGC=90°,
∴△AMB≌△BGC(AAS),
∴AM=BG,BM=CG.
∵AM=GN,
∴BG=GN,
∴BM+MG=NE′+E′G,
∵MG=AN=NE′,
∴BM=E′G.
又∵BM=CG,
∴E′G=CG.
∴G是CE′的中点;
②解:BH=.
∵AB=2,
∴AF'=AE'=,
∴E'F'=2,
∵AN⊥E'F',
∴AN=MG=1,
由①可知,BM=CG,BC=BE',
∴BE'=E'F',
∵∠F'E'H=∠BE'G,∠BGE'=∠E'HF'=90°,
∴△BGE'≌△F'HE'(AAS),
∴E'H=E'G,
设BM=CG=E'G=x,则BG=x+1,
∵BG2+E'G2=BE'2,
∴(x+1)2+x2=22,
∴x=(负值舍去),
∴E'G=,
∴E'H=,
∴BH=BE'+E'H=2+=.
23.(13分)综合与探究
如图,二次函数y=ax2+bx+6图象与一次函数y=x+2的图象相交于A(﹣2,0),D(2,n)两点,与x轴交于另一点B,与y轴交于点C.
(1)求二次函数的表达式及点B的坐标;
(2)如图1,点M是线段AB上一个动点,过点M作MN∥AD交BD于点N.设点M的横坐标为m.若△BMN的面积是四边形AMND面积的.求m的值;
(3)如图2,连接BC,在抛物线上是否存在点P,使∠BAP+∠ABC=90°?若存在,请直接写出点P的坐标:若不存在,请说明理由.
【分析】(1)由待定系数法即可求解;
(2)证明△MBN∽△ABD,则,即可求解;
(3)当∠BAP+∠ABC=90°时,则tan∠BAP=,则直线AP的表达式为:y=±(x+2),即可求解.
【解答】解:(1)把D(2,n)代入y=x+2中,得:n=4,
∴D(2,4),
把A(﹣2,0),D(2,4)分别代入y=ax2+bx+6中,得:
,解得,
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+6,
设y=0,则0=﹣x2+x+6,解得x1=﹣2,x2=3,
∴B点的坐标为(3,0);
(2)过点D作DE⊥x轴,E为垂足,
∵A(﹣2,0),B(3,0),D(2,4),
∴AB=5,DE=4,
∴,
∵B(3,0),M(m,0),
∴BM=3﹣m,
∵MN∥AD,
∴∠NMB=∠DAB,
∵∠MBN=∠ABD,
∴△MBN∽△ABD,
∴,
∵△BMN的面积是四边形AMND面积的,
∴,
∴,
解得:m=1,
∴m的值为1;
(3)存在,理由:
由点B、C的坐标得,OC=6,OB=3,
则tan∠CBO==2,
当∠BAP+∠ABC=90°时,
则tan∠BAP==,
则直线AP的表达式为:y=±(x+2),
联立上式和抛物线的表达式得:﹣(x+2)=﹣x2+x+6或(x+2)=﹣x2+x+6,
解得:x=﹣2(舍去)或或,
则点P的坐标为:,.
I/A
……
5
4
m
2
1
0.5
0.25
……
R/Ω
……
20
25
30
40
50
100
200
400
……
×年×月×日星期六
关于完全平方公式的思考
完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛,今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式,并且我和同桌王华都有新的发现:
x2+6x+9=(x+3)2,4x2﹣12x+9=(2x﹣3)2.
我的探索发现:观察以上两个多项式的系数,发现了如下规律:
62=4×1×9;(﹣12)2=4×4×9.
若多项式ax2+bx+c是完全平方式,则系数a,b,c之间存在的关系式为① ;
王华的探索发现:
若多项式是完全平方式,也可以看作是一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况为② 时;
还可以看作抛物线y=ax2+bx+c与x轴有③ 个交点时,
数学真是魅力无穷!知识之间存在许多关联,平日我们要多探索多反思.
活动目的
测量风力发电机的塔杆高度
测量工具
无人机、皮尺等
测量示意图
说明:塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面,用皮尺测量出CD的长度,利用无人机分别在A点、B点(B点在A点的正上方)测量出塔杆顶端P的仰角和俯角
测量数据
斜坡CD的坡角
30°
CD的长度
18米
AB的长度
53米
点A处测量的仰角
45°
点B处测量的俯角
18°
I/A
……
5
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m
2
1
0.5
0.25
……
R/Ω
……
20
25
30
40
50
100
200
400
……
×年×月×日星期六
关于完全平方公式的思考
完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛,今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式,并且我和同桌王华都有新的发现:
x2+6x+9=(x+3)2,4x2﹣12x+9=(2x﹣3)2.
我的探索发现:观察以上两个多项式的系数,发现了如下规律:
62=4×1×9;(﹣12)2=4×4×9.
若多项式ax2+bx+c是完全平方式,则系数a,b,c之间存在的关系式为① b2=4ac ;
王华的探索发现:
若多项式是完全平方式,也可以看作是一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况为② 两个相等的实数根 时;
还可以看作抛物线y=ax2+bx+c与x轴有③ 一 个交点时,
数学真是魅力无穷!知识之间存在许多关联,平日我们要多探索多反思.
活动目的
测量风力发电机的塔杆高度
测量工具
无人机、皮尺等
测量示意图
说明:塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面,用皮尺测量出CD的长度,利用无人机分别在A点、B点(B点在A点的正上方)测量出塔杆顶端P的仰角和俯角
测量数据
斜坡CD的坡角
30°
CD的长度
18米
AB的长度
53米
点A处测量的仰角
45°
点B处测量的俯角
18°
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