2023-2024学年四川省成都十八中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都十八中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a5D．a6÷a3＝a3
3．（4分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．0.14×10﹣8B．14×10﹣7C．1.4×10﹣8D．1.4×10﹣9
4．（4分）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝15°，则∠F的度数为（ ）
A．25°B．60°C．70°D．95°
6．（4分）用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
7．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，5，9B．6，7，14C．4，6，10D．8，8，15
8．（4分）如图，∠ABC＝∠DCB，下列条件中不能判断△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．AB＝DCD．∠A＝∠D
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
9．（4分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则b＝ ．
10．（4分）若x2+8x+n是完全平方式，则n的值为 ．
11．（4分）已知∠A与∠B互余，且∠A＝47°，则∠B的补角是 度．
12．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为 ．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADB＝ 度．
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14．（14分）计算下列各题：
（1）（2020﹣π）0+（﹣）﹣3﹣（﹣1）2021+|1﹣3|；
（2）（﹣3xy2）2•（﹣6x3y）÷（9x4y5）；
（3）先化简，再求值：[（2x+y）2﹣4（x﹣y）（x+y）]÷（2y），其中x＝4，y＝﹣2．
15．（8分）如图，点E，F分别在线段AB，CD上，连接AD、CE，BF、其中CE交AD于点G、BF交AD于点H．若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则可推得AB∥CD，其推导过程和推理依据如下，请完善推导过程和推理依据，并按照序号顺序将相应内容填写在下列横线上．
解：∵∠1＝∠2（已知），
且∠1＝∠CGD（ ），
∴∠CGD＝ （等量代换），
∴CE∥ （ ），
∴∠HFD＝ （ ），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠HFD＝∠B（ ），
∴AB∥CD（ ）．
16．（8分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；
（3）直接写出△ABC的面积．
17．（8分）如图在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝40°，求∠DEC的度数．
18．（10分）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值
一、填空题（本大题共5小题，共20分）
19．（4分）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为 ．
20．（4分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是 cm．
21．（4分）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积展开式中不含x2和x项，则m﹣n的值为 ．
22．（4分）如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点F、E，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是 ．
23．（4分）如图，△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝20°，则∠BAC＝ ，∠CAD＝ ．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．
25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；
（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．
26．已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC．
（1）证明：△ABC是等腰直角三角形；
（2）如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD于点E，若CD＝2BE．求∠BCD的度数；
（3）如图2，若点D是线段BC上一点，且，过点A作AM⊥AD，AD＝AM，连接BM交AC于点N，求值为多少．
2023-2024学年四川省成都十八中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，共32分）
1．（4分）下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a5D．a6÷a3＝a3
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故C不符合题意；
D、a6÷a3＝a3，故D符合题意；
故选：D．
3．（4分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．0.14×10﹣8B．14×10﹣7C．1.4×10﹣8D．1.4×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：C．
4．（4分）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
5．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝15°，则∠F的度数为（ ）
A．25°B．60°C．70°D．95°
【分析】根据BE＝CF，可以得到BC＝EF，利用全等三角形的判定证图中的两个三角形全等，再根据全等三角形的性质可以得到∠F的度数．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
∴∠D＝∠A＝95°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝70°，
故选：C．
6．（4分）用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根据尺规作角的平分线的过程即可得结论．
【解答】解：根据作图的过程可知：
OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE
∴△OCE≌△ODE（SSS）
∴∠COE＝∠DOE
故选：A．
7．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，5，9B．6，7，14C．4，6，10D．8，8，15
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，4+5＝9，不能组成三角形；
B中，6+7＝13＜14，不能组成三角形；
C中，4+6＝10，不能够组成三角形；
D中，8+8＝16＞15，能组成三角形．
故选：D．
8．（4分）如图，∠ABC＝∠DCB，下列条件中不能判断△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．AB＝DCD．∠A＝∠D
【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．
【解答】解：A、添加AC＝DB不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
B、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加AB＝DC可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
9．（4分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则b＝ ﹣6 ．
【分析】先按多项式乘多项式进行计算，然后对照运算结果中常数项与原式当中b可得结果．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）
＝x2﹣2x+3x﹣6
＝x2+x﹣6．
∵（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，
∴b＝﹣6．
故答案为：﹣6．
10．（4分）若x2+8x+n是完全平方式，则n的值为 16 ．
【分析】根据完全平方式的特征求n．
【解答】解：∵x2+8x+16＝（x+4）2．
∴若x2+8x+n是完全平方式，则：n＝16．
故答案为：16
11．（4分）已知∠A与∠B互余，且∠A＝47°，则∠B的补角是 137 度．
【分析】根据余角的和补角的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，∠B＝90°﹣∠A＝43°．
∴∠B的补角是180°﹣∠B＝180°﹣43°＝137°．
故答案为：137．
12．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为 80° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．
故答案为：80°．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADB＝ 60 度．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠C＝30°，再证明∠C＝∠DAC＝30°，利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣120°）＝30°，
由作图可知MN垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．
故答案为：60．
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14．（14分）计算下列各题：
（1）（2020﹣π）0+（﹣）﹣3﹣（﹣1）2021+|1﹣3|；
（2）（﹣3xy2）2•（﹣6x3y）÷（9x4y5）；
（3）先化简，再求值：[（2x+y）2﹣4（x﹣y）（x+y）]÷（2y），其中x＝4，y＝﹣2．
【分析】（1）先算乘方，再算加减；
（2）先算乘方，再从左到右依次计算；
（3）先算括号内的再算除法，化简后将x＝4，y＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣8﹣（﹣1）+2
＝1﹣8+1+2
＝﹣4；
（2）原式＝9x2y4•（﹣6x3y）÷（9x4y5）
＝﹣549x5y5•÷（9x4y5）
＝﹣6x；
（3）原式＝（4x2+4xy+y2﹣4x2+4y2）÷（2y）
＝（﹣4xy+5y2）÷（2y）
＝﹣2x+y；
当x＝4，y＝﹣2时，
原式＝﹣2×4+×（﹣2）
＝﹣8﹣5
＝﹣13．
15．（8分）如图，点E，F分别在线段AB，CD上，连接AD、CE，BF、其中CE交AD于点G、BF交AD于点H．若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则可推得AB∥CD，其推导过程和推理依据如下，请完善推导过程和推理依据，并按照序号顺序将相应内容填写在下列横线上．
解：∵∠1＝∠2（已知），
且∠1＝∠CGD（ 对顶角相等 ），
∴∠CGD＝ ∠2 （等量代换），
∴CE∥ BF （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠HFD＝ ∠C （ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠HFD＝∠B（ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
且∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∴∠CGD＝∠2（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠HFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠HFD＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；BF；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
16．（8分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；
（3）直接写出△ABC的面积．
【分析】（1）由轴对称的性质，直接可作图；
（2）由作出的图，直接可求BB'；
（3）△ABC的面积＝长方形面积减去三个直角三角形面积．
【解答】解：（1）如图：
（2）由图可求BB'＝6；
（3）S＝4×5﹣﹣﹣＝；
17．（8分）如图在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝40°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE＝∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，从而可以得到结论成立；
（2）根据三角形内角和和角平分线的定义可以得到∠AEB的度数，进而求解∠DEC的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
AB＝DB，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
∵△ABE≌△DBE，
∴∠AEB＝∠DEB，
∴∠DEC＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
18．（10分）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值
【分析】（1）证△AOD≌△BOD（SAS），即可得出结论；
（2）证△ECD≌△ACD（SAS），得EC＝AC，DE＝AD，∠CED＝∠A＝60°，再证BE＝DE，则BE＝AD，即可得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG，证△ACB≌△ACF（SAS），得CB＝CF＝3，AF＝AB＝9，∠BCA＝∠FCA．同理可证△CGE≌△CDE（SAS），得CG＝CD＝3，GE＝DE＝1，∠DCE＝∠GCE，再证△CFG是等边三角形，得FG＝CG＝3，即可求解．
【解答】（1）证明：∵射线OP平分∠MON，
∴∠AOD＝∠BOD，
又∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD；
（2）证明：在CB上截取CE＝AC，连接DE，如图2所示：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
又∵CD＝CD，
∴△ECD≌△ACD（SAS），
∴EC＝AC，DE＝AD，∠CED＝∠A＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
又∵∠CED＝∠EDB+∠B，
∴∠EDB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠EDB＝∠B，
∴BE＝DE，
∴BE＝AD，
∵BC＝EC+BE，
∴BC＝AC+AD；
（3）解：在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG，如图3所示：
∵C是BD边的中点，BD＝6，
∴CB＝CD＝BD＝3，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC，
又∵AC＝AC，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CB＝CF＝3，AF＝AB＝9，∠BCA＝∠FCA．
同理可证：△CGE≌△CDE（SAS），
∴CG＝CD＝3，GE＝DE＝1，∠DCE＝∠GCE，
∵CB＝CD，
∴CG＝CF，
∵∠ACE＝120°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠FCA+∠GCE＝60°，
∴∠FCG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FG＝FC＝3，
∴AE＝AF+GE+FG＝9+1+3＝13．
一、填空题（本大题共5小题，共20分）
19．（4分）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为 9 ．
【分析】由m+2n﹣2＝0可得m+2n＝2，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：∵m+2n﹣2＝0，
∴m+2n＝2，
∴3m•9n＝3m•32n＝3m+2n＝32＝9．
故答案为：9．
20．（4分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是 15 cm．
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和6cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：
（1）当边长为3cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，3cm，6cm，
∵3+3＝6，
∴不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；
（2）当边长为6cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，6cm，6cm，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15（cm）；
综上，这个等腰三角形的周长为15cm，
故答案为：15．
21．（4分）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积展开式中不含x2和x项，则m﹣n的值为 ﹣2 ．
【分析】直接根据多项式乘多项式法则进行计算，由不含某一项就是说这一项的系数为0，得出m，n的值，即可得出答案
【解答】解：∵原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∵乘积展开式中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得m＝2，n＝4，
∴m﹣n＝2﹣4＝﹣2．
故答案为﹣2．
22．（4分）如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点F、E，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是 10 ．
【分析】如图，连接AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，推出AD的长为BM+MD的最小值．
【解答】解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×AD＝16．
∴AD＝8．
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×8＝10．
故答案为：10．
23．（4分）如图，△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝20°，则∠BAC＝ 40° ，∠CAD＝ 70° ．
【分析】过点D作DF⊥BA交BA的延长线于F，DH⊥AC，DT⊥BE，设∠EBD＝α，∠ECD＝β，则∠ABC＝2∠EBD＝2α，∠ACE＝2∠ECD＝2β，由三角形的外角定理得∠ECD＝∠EBD+∠BDC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，即β＝α+∠BDC，2β＝∠ABC+2α，由此得∠ABC＝2∠BDC＝40°，则∠FAC＝140°，证DA平分∠FAC则可得∠CAD的度数．
【解答】解：过点D作DF⊥BA交BA的延长线于F，DH⊥AC，DT⊥BE，如下图所示：
设∠EBD＝α，∠ECD＝β，
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线，
∴∠ABC＝2∠EBD＝2α，∠ACE＝2∠ECD＝2β，
根据三角形的外角定理得：∠ECD＝∠EBD+∠BDC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
即β＝α+∠BDC，2β＝∠ABC+2α，
∴2（α+∠BDC）＝∠ABC+2α，
∴∠ABC＝2∠BDC，
∵∠BDC＝20°，
∴∠ABC＝2∠BDC＝40°，
∴∠FAC＝180°﹣∠ABC＝140°，
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线，
∴DF＝DT，DH＝DT，
∴DF＝DH，
∴DA平分∠FAC，
∴∠CAD＝∠FAC＝×140°＝70°．
故答案为：40°；70°．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．
【分析】（1）根据x2+4xy+5y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y计算即可；
（2）根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．
【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+6y+9＝0，
∴（x2+4xy+4y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x+2y）2+（y+3）2＝0，
∴x+2y＝0，y+3＝0，
∴x＝6，y＝﹣3，
∴x﹣y＝6﹣（﹣3）＝9．
（2）∵a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（2b2﹣4b+2）＝0，
∴（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∵2﹣1＜c＜2+1，
∴1＜c＜3，
∵c为正整数，
∴c＝2．
25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ；
（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；
（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．
【分析】（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；
（2）中间的是边长为c的正方形，因此面积为c2，也可以从边长为（a+b）正方形面积减去四个直角三角形的面积即可；
（3）利用（2）中的结论，代入计算即可．
【解答】解（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；
方法二：阴影部分也可以看作边长为（a+b）的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，
由两种方法看出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）中间正方形的边长为c，因此面积为c2，
也可以看作从边长为（a+b）的面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即c2＝（a+b）2﹣2ab，
也就是c2＝a2+b2，
所以c2＝a2+b2；
（3）∵a+b＝17，ab＝60，
∴c2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝172﹣2×60
＝169，
∴c＝13，
答：斜边的长为13．
26．已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC．
（1）证明：△ABC是等腰直角三角形；
（2）如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD于点E，若CD＝2BE．求∠BCD的度数；
（3）如图2，若点D是线段BC上一点，且，过点A作AM⊥AD，AD＝AM，连接BM交AC于点N，求值为多少．
【分析】（1）由三角形内角和定理证明∠ACB＝90°即可；
（2）由“ASA”可证△CDH≌△BGH，可证CD＝BG，由“SAS”可证△GCE≌△BCE，可求解；
（3）由“AAS”可证△APM≌△DCA，可得MP＝BC，AP＝CD，由“AAS”可证△MPN≌△BCN，可得PN＝CN＝a，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠CBA，
∵∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC，
∴4∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形；
（2）解：如图1，过点C作CH⊥AB于H，延长BE交直线CH于点G，
∵△ACB是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AH＝BH＝CH，∠BCH＝45°，
∵∠CHD＝90°＝∠BED，∠CDH＝∠BDE，
∴∠DCH＝∠GBH，
又∵∠CHD＝∠BHG＝90°，
∴△CDH≌△BGH（ASA），
∴CD＝BG，
∵CD＝2BE，
∴BG＝2BE，
∴EB＝EG，
又∵CE＝CE，∠CEG＝∠CEB＝90°，
∴△GCE≌△BCE（SAS），
∴∠BCD＝∠GCE＝22.5°；
（3）解：如图2，过点M作MP⊥AC于P，
∴∠MPA＝90°＝∠ACB＝∠MAD，
∴∠MAP+∠AMP＝90°＝∠MAP+∠CAD，
∴∠CAD＝∠AMP，
又∵AM＝AD，
∴△APM≌△DCA（AAS），
∴MP＝BC，AP＝CD，
∵，
∴设CD＝2a，BD＝3a，
∴BC＝5a＝AC＝MP，AP＝CD＝2a，
∴CP＝BD＝3a，
∵∠MPN＝∠C＝90°，∠MNP＝∠BNC，MP＝BC，
∴△MPN≌△BCN（AAS），
∴PN＝CN＝a，
∴AN＝a，
∴＝＝．