安徽省铜陵市第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题4分，满分40分）
1. 判断下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，“可以构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数”，所以只需要验证三个数是否为正整数，且是否符合勾股定理即可．
【详解】解：A． 不是正整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意；
B． ， 是勾股数，故本选项符合题意；
C． ， 不是勾股数，故本选项不符合题意；
D． 不是正整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列选项中，最简二次根式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【详解】解：A．的被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B．的被开方数，则被开方数中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．的被开方数，则被开方数中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：C．
3. 估计与最接近的整数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出与中点与比较大小，进而得到最接近的整数
【详解】解：，，，
，即，
，且，
，
，即，
与最接近的整数是，
故选：C．
【点睛】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取与得中点与比较大小是解决问题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. 5﹣＝5
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意，
B、原式＝，故B不符合题意．
C、原式＝，故C不符合题意．
D、原式＝，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5. 如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在菱形中，，，
∴，
故选：A．
6. 如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度，
∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为，
最长时等于杯子斜对角长度是：，
∴a的取值范围是：，
即，
故选：C．
7. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是BC边上异于BC中点的一点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题（ ）
A. 有一组对边平行的四边形是矩形B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是平行四边形，通过三角形全等证得AB=DE ，∠ABD=∠AED，即可得出答案．
【详解】
在△ADC和△DAE中

∴△ADC≌△DAE（SAS）
∴∠AED=∠ACD DE=AC
又∵AB=AC
∴AB=DE ∠ABD=∠ACD=∠AED
∵四边形ABDE不是平行四边形
一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形是错误的．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定方法，解题的关键是通过三角形全等得出一组对边相等，一组对角相等但四边形不是平行四边形．
8. 如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了中点四边形，以及菱形判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．应添加的条件为，理由为：根据、、、分别为、、、的中点，利用三角形中位线定理及，等量代换得到四条边相等，确定出四边形为菱形．
【详解】解：应添加的条件是，理由为：
、、、分别为、、、的中点，且，
，，，，
，
∴四边形为菱形，
故选：D．
9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可．
【详解】设中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11. 对于代数式，的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查代数式中未知量取值范围．根据题意，被开方数为非负数，分母不为0即可．
【详解】解：根据题意得
解得．
故答案为：．
12. 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查勾股树，根据根据勾股定理的几何意义，可得正方形A，B的面积的和等于正方形E的面积，可得正方形C，D的面积的和等于正方形F的面积，正方形E，F的面积的和等于正方形G的面积．
【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，
，
，
，
故答案为：12．
13. 如图，同一平面内的四条平行直线分别过正方形的四个顶点，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的边长是______．

【答案】
【解析】
【分析】过作，交于点，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据正方形的性质，结合角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出即可．
【详解】解：过作，交于点，交于点，

，，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
在中，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线之间距离、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
14. 如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，正方形的性质，坐标与图形变化—平移，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，由正方形的性质先求出，由平移的性质可得，设，则，由勾股定理得到，则的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和，故当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为，是中点，
∴，
∴，
由平移的性质可得，
设，，
∴，
∴，
，
∴，
∴的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和，
∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，即最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分90分）
15. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式化简,完全平方公式应用．
（1）根据题意先去括号,再将每个二次根式化简进行运算即可;
（2）根据题意先利用完全平方公式对进行运算,再对进行有理化,先算乘法再算加减即可得到本题答案．
【小问1详解】
解:,
,
,
,
,
故答案为:．
【小问2详解】
解:,
,
,
,
,
故答案为:．
16. 如图，在中，，相交于点O，点E，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若的面积为20，直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（）由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（）由平行四边形的性质得，再由三角形面积关系得，然后由平行四边形的性质即可得出结论；
【小问1详解】
解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵的面积为，
∴，
∵点，分别为，的中点，，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴．
17. 如图，在中，于．

（1）求的长．
（2）求的面积．
【答案】（1）4.8 （2）24
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形面积计算：
（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再利用等面积法求出的长即可；
（2）根据直角三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
是直角三角形，
，
，
的面积，
，
，
，
的长为4.8；
【小问2详解】
解：，
的面积，
的面积为24．
18. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若正方形的面积为72，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；
（2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形是菱形得到，，菱形的面积．
【小问1详解】
证明：菱形的对角线和交于点，
，，，
∵，
∴，
即，
又，
四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形是正方形；
【小问2详解】
解：正方形的面积为72，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．
19. 如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点为内一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，画格点，连接，，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平分四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，在图2中，画的角平分线，再画点关于直线的对称点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）将点C向左平移4个单位长度，即可得到点D；连接点P和四边形对角线的交点，并延长，交于点Q，点和点即为所求；
（2）将点C向左平移5个单位长度得到点，连接，与相交于点E；将点B向左平移5个单位长度，连接，与相交于点G，连接并延长，交于点F，直线和点即为所求．
小问1详解】
解：如图，点和点即为所求；
【小问2详解】
解：如图，射线和点即为所求．
【点睛】本题主要考查了格点作图，平行四边形的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质以及平行四边形和全等三角形的判定，并利用相关性质和定理完成作图．
20. 如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为．
（1）求证：；
（2）求和的长．
【答案】（1）见详解 （2），
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是，熟练应用折叠的性质及勾股定理，表示出线段的长度，列出等量关系式．
（1）根据折叠的性质，可得，由长方形可得，，利用等边对等角，即可得出；
（2）设的长度为，为，在中应用勾股定理，列出一元二次方程，即可求出的长度，过点作，在中应用勾股定理，即可求出的长度．
【小问1详解】
解：根据折叠的性质，可得，
是长方形，
，
，
，
．
【小问2详解】
设，则，
在中，
，即：，
解得：，
，
过点作，垂足为，
由（1）可知，，
又，，
，，
，
在中，
，即，
解得：，（舍），
故：，．
21. 定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）请直接写出＋的对偶式_________；
（2）已知m＝，n＝，求的值；
（3）利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由定义直接可得答案；
（2）先化简m、n，求出m+n、m-n，mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案；
（3）方程的两边同时乘以，得到，两式相加即可求解．
【小问1详解】
解：＋的对偶式是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵
∴
；
【小问3详解】
解：∵①，
∴，
∴，
①+②得：
20-x=25，
∴x=-5，
经检验，x=-5是原方程的解，
∴原方程的解是x=-5．
【点睛】本题考查二次根式的及相关的运算，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A，C两点的坐标分别为A（0，m），C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+ =0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动的时间为ts．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）连接PA，若△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当点P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（0，4），C（3，0）；（2）（﹣0.9，0）或（5，0）；（ ﹣5，0）；（3）存在，当t=1秒，点Q的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；当t=秒，点Q的坐标为（0，3）或（0，﹣3）
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出n、m的值，即可求得点A、C两点的坐标；（2）分BA=BP、AB=AP、PA=PB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算求解即可；（3）分△QOP≌△AOC和△POQ≌△AOC两种情况求解即可．
【详解】（1）∵（n﹣3）2+=0，
∴n﹣3=0，3m﹣12=0，
解得，n=3，m=4，
∴点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（3，0）；
（2）由勾股定理得，AB==，
当BA=BP时，点P的坐标为（﹣5，0）；
当AB=AP时，点P的坐标（5，0）；
当PA=PB时，设PA=x，则OP=5﹣x，
在Rt△AOP中，AP2=OP2+OA2，即x2=（5﹣x）2+42，
解得，x=4.1，
则OP=0.9，
∴点P的坐标（﹣0.9，0）；
综上所述，△PAB为等腰三角形，点P的坐标为（﹣0.9，0）或（5，0）；（ ﹣5，0）；
（3）当△QOP≌△AOC时，OP=OC=3，OQ=OA=4，
∴BP=2，
则t=1秒，点Q的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
当△POQ≌△AOC时，OP=OA=4，OQ=OC=3，
则t=秒，点Q的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、非负数的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
23. 如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、．
求证：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证明，，可得，即可证明；
（2）连接，取的中点P，连接，根据三角形中位线的定义可得，，，，利用三角形外角可得，从而根据平行线的性质即可证明；
（3）连接，根据和中点的定义可得四边形为平行四边形，即可证明．
【小问1详解】
证明：∵是角平分线，
∴
∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
【小问2详解】
连接，取的中点P，连接
∵是的中点，
∴
∴，
∵是的中点，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
小问3详解】
证明：连接

∵
∴
∵是的中点，
∴
∴，
∵
∴四边形为平行四边形
∴
∴
∵，
∴
【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及到角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线等，正确作出辅助线是关键．