广东省广州市培英中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1、本次学情调查分为问卷和答题卷两部分，试题卷全卷三大题共25小题，满分120分，考试时间为120分钟．
2、答卷前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在密封线内，用黑色纲笔、签字笔作答，作图题用2B铅笔作答；考试不能使用计算器．
3、所有试题答案都答在答题卷上，答在问卷上不给分，考试结束后，只交答题卷，不交问卷．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 下列实数是无理数的是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的概念求解即可．
【详解】A．是有理数，故此选项不符合题意；
B．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C．1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念．
2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各个象限内的点的坐标特征逐一判断即可．
【详解】由图可知，小手盖住的点的坐标位于第三象限，
，，，中，只有在第三象限，
所以，小手盖住的点的坐标可能为．
故选：A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3. 二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据加减消元法，可得方程组解．
详解】，
①+②，得 2x=4，
解得x=2，
把x=2代入①，得2-y=1，
y=1，
所以原方程组的解为.
故选A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．本题还可以根据二元一次方程组的解的定义，将四个选项中每一组未知数的值代入原方程组进行检验．
4. 如图，将向右平移得到，已知A，D两点距离为1，，则的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】将向右平移得到，可得图形中每一点都沿平移方向平移了相同的距离，从而可得答案．
【详解】解：∵将向右平移得到，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是利用平移的性质解决问题，熟记平移的性质是解本题的关键．
5. 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定结合图形逐项判断即可．
【详解】解：A、由，得，故不符合题意；
B、由，得，故符合题意；
C、由，得，故不符合题意；
D、由，得，故不符合题意；
故选：B．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根和立方根的定义进行求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键．
7. 一个正方体的体积为，估计这个正方体的棱长在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握立方根的计算方法是解题的关键．
【详解】解：设正方体的棱长为，
∴，
∴，
∵，即，
∴正方体的棱长在和之间，
故选：A ．
8. 下列命题属于真命题的是( )
A. 同旁内角相等，两直线平行B. 相等的角是对顶角
C. 平行于同一条直线的两条直线平行D. 同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．
【详解】A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；
B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
D、两直线平行，同位角相等，是假命题；
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9. 把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上(如图所示)，则下列关于与的等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两条直线平行，同旁内角互补，即可得∠1与∠2的关系．
【详解】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
∴∠2=∠3，∠1+∠4=90°，
∵直尺的两边平行，
∴∠3+∠4=180°，
∴∠2+90°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=90°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
10. 对于实数，定义新运算“⊗”： （是常数）．已知，，那么的值是（ ）
A. 17B. 14C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，二元一次方程组的计算，理解定义新运算的规律，有理数的运算法则，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据定义新运算的规律算出的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∴，
故选：C ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 平面直角坐标系中，点P(3，－4)到x轴的距离是________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点的坐标表示方法得到点P(3，﹣4)到x轴的距离是纵坐标的绝对值即|﹣4|，然后去绝对值即可．
【详解】解：点P(3，-4)到x轴的距离为|﹣4|=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了点到坐标上的距离，正确掌握点的坐标性质是解题关键．
12. 若，则________；若，则________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】本题考查了根据立方根，平方根的计算求方程的解，掌握立方根，平方根的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的解为；
∵，
∴的解为；
故答案为： ．
13. 把方程2x﹣y＝5写成用含x的式子表示y的形式 _________．
【答案】y＝2x﹣5
【解析】
【分析】对二元一次方程通过移项变形可得y＝2x﹣5．
【详解】解：∵2x﹣y＝5，
∴﹣y＝5﹣2x，
∴y＝2x﹣5，
故答案为：y＝2x﹣5．
【点睛】本题考查了二元一次方程，正确的利用等式的性质进行变形是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据在y轴上的点横坐标为0进行求解即可．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了在y轴上的点的坐标特点，熟知在y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
15. 如图，直线与相交于点，于点平分，且，则的度数为________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角度的计算，理解图示，掌握垂直的定义和性质，角平分线的性质是解题的关键．
根据垂直可得，可算出，结合平角，角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为： ．
16. 一长方形纸带（如图①），沿折叠，相交于点（如图②），再沿折叠，、相交于点（如图③），若图③中度数为，则图①中________．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握以上知识确定角的关系是解题的关键．
根据折叠可得，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：根据折叠可得，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是长方形纸袋，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤）
17. 如图，直线CD与直线AB相交于C，解答下列问题.
（1）过点P画PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P画PR⊥CD，垂足为R，连接PC，判断PC与PR大小，并说明理由
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析；PC＞PR；垂线段最短
【解析】
【分析】（1）用直尺和三角板，根据平行线的画法画图即可；
（2）利用三角板的两条直角边作图，然后根据垂线段最短即可判断PC与PR的大小．
【详解】解：（1）如图，PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）如图PR⊥CD，
PC与PR的大小为：PC＞PR，理由是：垂线段最短．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、垂线、垂线段最短、平行线的性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）2
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键．
（1）根据求一个数的算术平方根，立方根的运算化简，再进行有理数的加减即可；
（2）先去绝对值，再加减运算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 如图，是的平分线，，请你说出的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由角平分线的性质可得，根据等量关系可得，再根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：是的平分线，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定：内错角相等，两直线平行．
20. 解下列方程组．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是解题的关键．
（1）运用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）运用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
把①式代入②得，，
解得，，
∴，
∴原方程组的解为．
【小问2详解】
解：，
得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴原方程组的解为．
21. 如图，直线AB与CD相交于点O，，垂足O．
（1）若，则__________°；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用对顶角以及余角的定义得出答案；
（2）直接利用垂直的定义得出答案．
【小问1详解】
解：的对顶角为，
，
，
，
，
故答案为：
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了垂线、对顶角等知识，解题的关键是正确得出的度数．
22. 如图，三角形在平面直角坐标系中，
（1）请写出三角形各顶点的坐标；
（2）若把三角形向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到三角形，请在图中画出三角形；
（3）若线段上一点M的坐标为，请直接写出点M平移后的对应点的坐标；
（4）求出三角形的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）7
【解析】
【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义直接写出的坐标；
（2）根据平移的方向和距离，确定的坐标，然后描出，连接，则即为所求；
（3）根据（2）的平移方式，写出的坐标即可；
（4）将图形补全成一个长方形，然后利用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求得．
【详解】（1）根据平面直角坐标系的定义直接写出的坐标为：；
（2）作图如下：
平移的方式为：向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
则横坐标减2，纵坐标加3，
，
，
再平面直角坐标系中描出点，连接，
即为所求．
（3）根据（2）可知，平移的方式为：向上平移3个单位，再向左平移2个单位
则横坐标减2，纵坐标加3，
上一点M的坐标为平移后的坐标，
（4）如图，
．
【点睛】本题考查了平移的作图，平面直角坐标系的定义，点的坐标，根据平移的性质作图是解题的关键．
23. 如图，，平分平分．
（1）证明：；
（2）请判断与是否平行？请说明理由．
【答案】（1）证明过程见详解
（2），理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，，由此即可求证；
（2）根据，可得，结合同旁内角互补两直线平行即可求解．
【小问1详解】
证明：已知，平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴．
24. 若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于，的方程，则称点为该方程的相关点．如是方程的相关点．
（1）已知是方程的相关点，求a的值；
（2）已知点在第一象限，点是方程的相关点，且．写出2个符合条件的点P的坐标；
（3）已知点在第二象限，点是方程的相关点，将点向下平移个单位后到点，点是方程的相关点，求的坐标．
【答案】（1）；
（2）点P的坐标为或；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组求解，算术平方根，点的平移，理解题意解题的关键．
（1）根据题意，将点代入方程，即可求解；
（2）根据算术平方根的非负性求得，根据点在第一象限，点是方程的相关点，可得，进而即可求解；
（3）根据点是方程的相关点，可得①，根据将点向下平移个单位后到点，得出，由点是方程的相关点，可得②，联立①②解方程组即可求解．
【小问1详解】
解：∵是方程的相关点，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
解得：，
∵点在第一象限，点是方程的相关点，
∴，且，
∴，
解得：；
当时，，此时点P的坐标为；
当时，，此时点P的坐标为；
∴点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：∵点在第二象限，
∴，
∵点是方程的相关点，
∴①，
∵将点向下平移个单位后到点，
∴，
∵点是方程的相关点，
∴②，
联立①②，
解得：，
∴．
25. 如图，直线，点为直线上的一个定点，点为直线、之间的定点，点为直线上的动点．

（1）当点运动到图1所示位置时，求证：；
（2）点在直线上，且，平分．
①如图2，若点在的延长线上，，求的度数；
②若点不在的延长线上，且点在直线的右侧，请直接写出与之间的数量关系．（本问中的角均为小于的角）
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点B向右作，则，由平行线的性质可得，，进而得到，从而可得结论；
（2）①证明，可得，结合，可得，可得，从而可得答案；②如图，证明，结合，可得，由（1）得，从而可得答案.
【小问1详解】
证明：如图所示，过点B向右作，
∵，
∴，
∴，，

∴，即；
【小问2详解】
解：①∵平分，点D在的延长线上，
∴，
∵，，
∴
由（1）知，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：

∵平分，
∴，
∵，
∴
，
由（1）得，
∴
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，邻补角的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.