山东省泰安市2024届高三下学期高考模拟（三模）数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码、考场号、座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在革稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由倍角公式可得，根据题意结合齐次式问题分析求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
2. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可.
【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为，
由奇函数性质得，，解得，经过检验符合题意，
所以当时，，
所以.
故选：D.
3. 已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出圆台的轴截面，利用其周长和两底面圆半径的关系列方程，求出，代入公式，即可求得圆台的表面积.
【详解】
如图，作出圆台的轴截面,设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是，
故轴截面周长为，解得，
所以上、下底面圆的面积分别为，，圆台侧面积，
所以圆台的表面积为.
故选:C.
4. 已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案.
【详解】设的公差为，因为，，
可得 ，解得，所以，
可得，
当时，；当时，，
所以当时，取得的最小值.
故选：D.
5. 已知为双曲线（，）的右焦点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，是面积为4的直角三角形，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求出渐近线方程，再结合给定面积计算得解.
【详解】由为直角三角形，及双曲线的对称性知，且，
则的渐近线方程为，即，由的面积为4，得，解得，
又，因此，
所以的方程为.
故选：B
6. 在中，内角所对的边分别为，，，且，延长至点，使得，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再由余弦定理，得到，求得，再中，由余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】因为，可得，
由正弦定理得，即，
所以，又因为，所以，
如图所示，由，且，，
在中，由余弦定理得，
解得或（负值舍去）.
故选：C.
7. 盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（ ）
A. 与相互独立B. 与相互独立
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件的定义依次分析即可.
【详解】依题意得，，，故A项错误；
，，故B项错误；
，故C项错误；
，，故D项正确.
故选：D.
8. 在三棱锥中，为的中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直角三角形性质可得为的外心，结合球体性质可知平面，由等腰三角形性质可知的外心在上且，进而可得直线与平面所成角与互余，结合正弦定理可得，勾股定理可得，进而可得、，结合球的表面积公式计算即可.
【详解】如图，设球心为，的外接圆圆心为，连接，，
因为为的中点，，所以为的外心，
由为的外心，得三点共线，且.
由题意得平面，面，则，
故直线与平面所成角为的余角，
所以，所以.
在中，由题设可得，
由正弦定理得，
所以，
所以在Rt中，，
所以球的表面积.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A.
B. 样本质量指标值的平均数为75
C. 样本质量指标值的众数小于其平均数
D. 样本质量指标值的第75百分位数为85
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可.
详解】对于A项，由题意知，解得0.030，故A项正确；
对于B项，样本质量指标值的平均数为，故B项错误；
对于C项，样本质量指标值的众数是，故C项正确；
对于D项，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，
故第75百分位数位于第4组，设其为，
则，解得，
即第75百分位数为85，故D项正确.
故选：ACD项.
10. 已知满足，且在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的模的公式结合已知求出的关系，即可判断AB；根据的关系结合复数的模的公式即可判断CD.
【详解】由题意可得，则，
所以，整理得，故A项正确，B项错误；
，
当时，取得最小值，故C项正确，D项错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 若的图象向右平移个单位长度后与的图象重合，则的最小值为1
B. 若的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5
C. 若函数的最小正周期为，则
D. 当时，若的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则方程有无穷多个解
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，B，根据图象平移规则得到的取值，再由，即可得到的最值；对于C，根据函数的最小正周期求解即可；对于D，先求出的解析式，再对方程进行换元化简，讨论即可得到方程解的个数.
【详解】对于A项，因为，
所以，，即，，又，所以的最小值为8，故A项错误；
对于B项，因为，
所以，，即，，又，所以的最小值为，故B项正确.
对于C项，因为函数的最小正周期是的最小正周期的一半，所以的最小正周期为，所以，解得，故C项正确.
对于D项，当时，，所以，方程.
令，则，，当时，，即，所以（舍）或（舍）；
当时，，即，无解.
综上，无解，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】求出集合，根据包含关系确定范围即可.
【详解】由，得，
所以，则或，
由，得，
又，所以，
解得.
故答案为：.
13. 已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出的图象，数形结合得到答案.
【详解】当时，，其在上单调递减，在上单调递增，且，则；
当时，，，其在上单调递减，且.
作出的图像，如图，易知的取值范围是.
故答案为：
14. 已知抛物线，点在的准线上，过的焦点的直线与相交于两点，则的最小值为__________，若为等边三角形，则__________.
【答案】 ①. 8 ②. 24
【解析】
【分析】设直线的方程及弦的中点，联立直线的方程与抛物线方程可得及坐标，结合抛物线焦点弦公式可得，由等边三角形性质可知，即可设出直线的方程，结合点在准线上可得点坐标，再结合及计算即可.
【详解】由已知得，准线方程为，设直线的方程为，，，弦的中点，如图所示，
联立消去并整理得，
则，，
所以，
所以，，即，
所以.
故当时，.
若为等边三角形，则，如图所示，
则设直线的方程为，即，
所以点，
又，
所以，解得，
所以.
故答案为：8；24.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知函数.
（1）讨论的最值；
（2）若，且，求的取值范围.
【答案】（1）最小值为，无最大值.
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间，进而求得其最值；
（2）把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围.
【小问1详解】
.解：因为的定义域为，可得.
当时，令，可得；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值.
【小问2详解】
解：当时，由，可得，
整理得，即，
令，
则，
由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，取得最大值，即，
故的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
16. 如图，在四棱锥中，，.
（1）证明：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）通过，证平面，即可证面面平行；
（2）通过建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设得点坐标，并计算平面和平面的法向量，根据向量垂直确定，再根据向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
证明：因为，，
所以，，
所以，，
又，
所以四边形为菱形，
所以，，
又，平面，
，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）得平面，
因为平面，
所以，
故四边形为正方形.
不妨设正方形的边长为2，
的中点为，连接.
因为为等边三角形，
所以，
又平面，
又平面平面，
且平面平面，
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
假设存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为，
且，，
由，得，
即，
解得，，，
所以，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，
可取.
设平面的法向量为，
则，
可取，
则，
解得或（舍去），
所以在棱上存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为，
且
17. 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
（2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.
【答案】（1），
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）6道题中小王能答对4道，答错2道，结合超几何分布计算即可，再结合条件概率计算即可.
（2）由，运用导数研究其极大值即可.
（3）分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望，解不等式即可.
【小问1详解】
由题意知，的可能取值为，
则，
，
，
故的分布列为
则.
记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率.
【小问2详解】
（i）由题意知，，
则，
令，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以当时，有极大值，且的极大值为.
（ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，
则的可能取值为，
，
，
，
，
所以，
所以，
即，整理得，
经观察可知是方程的根，
故，
因为恒成立，
所以由可得，解得得，
又，所以的取值范围为.
18. 已知的其中两个顶点为，点为的重心，边，上的两条中线的长度之和为，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点作斜率存在且不为0的直线与相交于两点，过原点且与直线垂直的直线与相交于两点，记四边形的面积为S，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据重心的性质可得重心Q到顶点距离之和为大于的定值，根据椭圆的定义即可求出曲线C的方程；
（2）设出直线的方程并与椭圆标准方程进行联立，进而用弦长公式表示出，再用所设斜率k表示出M的坐标，进而表示出，得到面积S的关系式，化简即可得到函数关系式，求值域即可.
【小问1详解】
因为点为的重心，
的边上的两条中线长度之和为，
所以，
故由椭圆的定义可知曲线是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）.
设分别为该椭圆的长半轴长､短半轴长､半焦距，
所以，所以，
所以的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，
联立整理得，
则，
设，则，即，
代入椭圆方程得，
所以，则，
所以.
由对称性知，
又，
所以.
，
又，
所以的取值范围为，
故的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系，关键在于用所设直线的斜率表示出求面积所需边长，进而用斜率表示出面积，最后化简成函数形式，求取函数值域即可。
19. 对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，.
（1）若为等比数列，求；
（2）求在，，，…，中，3级十全十美数的个数.
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）设的公比为，根据题意，列出方程组，即可求得的值；
（2）由（1）知，得到，和，两式相减得，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合二项展开式的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公比为，
则，即，
由，可得，解得或，
所以或.
【小问2详解】
解：由（1）知，当时，，
当时，，
两式相减得.
当为奇数时，的个位数为1或9，的个位数不可能为0；
当为偶数时，设，则，
要想末尾3个数字为0，需满足被整除，
当时，均不符合题意；
当时，，
自，以后各项均可被125整除，
故只需考虑能否被125整除，
其中不是5的倍数，
故若原式能被整除，需为偶数且能被整除，即需是50的倍数，
在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000，
故在，，…，中，3级十全十美数的个数为40.
【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解；
4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解；
5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进行证明；
6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解.
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