海南省海口中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A）

这是一份海南省海口中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知复数z1＝2+ai（a∈R），z2＝1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|＝（ ）
A．B．C．2D．
2．（5分）已知△ABC中，，则角A的值是（ ）
A．B．C．或D．或
3．（5分）已知圆锥的底面半径是1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
4．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝4，A＝，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则•的值为（ ）
A．2B．﹣2C．6D．﹣6
5．（5分）在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为（ ）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
6．（5分）已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则λ＝（ ）
A．B．﹣2C．D．6
7．（5分）已知三棱锥P﹣ABC三条侧梭PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝6，则该三棱锥的内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝bc，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．是单位向量B．
C．D．
（多选）10．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则下列与△ABC有关的结论，正确的是（ ）
A．若a＝10，c＝9，，则这样的三角形有且只有两个
B．若acsA＝bcsB，则△ABC为等腰直角三角形
C．若b＝4，c＝2，O为△ABC外心，则
D．的最大值为
（多选）11．（6分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点均在球Q的表面上，A1P＝4，则（ ）
A．该正四棱台的高为3
B．该正四棱台的侧面面积是
C．球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为
D．动点P的轨迹长度是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，a＝2，则c＝ ．
13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E为棱CC1中点，过A1，B，E三点的平面截正方体，所得截面面积为 ．
14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AC＝BC＝，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且AD＝DB＝EF＝1．若•≤，则•的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知在△ABC中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记，．
（1）用，表示向量，；
（2）若，，求的余弦值．
16．（15分）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，且_____，求△ABC的周长．请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答．①△ABC的面积为；②•＝；③sinAsinB＝．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：F为PD的中点；
（3）在棱AB上是否存在点N，使得FN∥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．（17分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上的一点．
（1）若D为BC的中点，，．
①证明：；
②求角B的最大值；
（2）若，，AD平分∠BAC，求AD的取值范围．
19．（17分）某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF∥CE，且BC＝BF＝1，CE＝2，，将平面图形ADEF以AD所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形PMNQ（该矩形内接于图形BDEF，M在弧DE上，N在线段EF上，PQ在AD上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE＝θ（），
①请用θ表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（5分）已知复数z1＝2+ai（a∈R），z2＝1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|＝（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：∵z1＝2+ai（a∈R），z2＝1﹣2i，
∴，
由为纯虚数，则，解得a＝1，
则z1＝2+i，
∴|z1|＝．
故选：D．
2．（5分）已知△ABC中，，则角A的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【解答】解：由正弦定理，得，
所以，
解得，
因为A∈（0，π），所以或，
又b＞a，所以B＞A，所以．
故选：A．
3．（5分）已知圆锥的底面半径是1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【解答】解：设圆锥的母线长为l，由圆锥的底面半径是r＝1，侧面展开图是半圆，
则πl＝2πr＝2π•1，解得l＝2；
所以该圆锥的表面积为
S＝πrl+πr2＝π•1•2+π•12＝3π．
故选：B．
4．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝4，A＝，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则•的值为（ ）
A．2B．﹣2C．6D．﹣6
【解答】解：由题意，BE为边AC上的高，
则由数量积的几何意义可得：
，
，
又AD为边BC上的中线，
则有，又，
所以
＝
＝﹣8+||﹣|
＝﹣8＝﹣8＝﹣6．
故选：D．
5．（5分）在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为（ ）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
【解答】解：结合题意作出图形，AC＝BC＝18，AB＝14，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，
△ABC中，由余弦定理得，csθ＝＝，
因为cs2＝＝且cs＞0，
所以cs＝，
△ABM中，由余弦定理得，cs＝＝，
解得，MB＝10公里．
故选：D．
6．（5分）已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则λ＝（ ）
A．B．﹣2C．D．6
【解答】解：∵向量在向量上的投影向量为＝，
∴，∴，
∴，又，是夹角为120°的两个单位向量，
∴，∴λ＝6．
故选：D．
7．（5分）已知三棱锥P﹣ABC三条侧梭PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝6，则该三棱锥的内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝6，
设内切球的半径为r，则内切球的球心到四个面的距离均为r，
由，
得，
解得r＝3﹣．
故选：B．
8．（5分）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝bc，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为a2﹣b2＝bc，得a2＝b2+bc．
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA，
所以b2+bc＝b2+c2﹣2bccsA，即b＝c﹣2bcsA．
由正弦定理得sinB＝sinC﹣2sinBcsA，
因为C＝π﹣（A+B），则sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以sinB＝sinAcsB﹣csAsinB，即sinB＝sin（A﹣B）．
因为△ABC是锐角三角形，所以，，所以．
又y＝sinx在上单调递增，所以B＝A﹣B，则A＝2B．
因为△ABC是锐角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
＝
＝，
令csB＝t，因为，所以．
在上单调递增，
当时，，当时，，
故．
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．是单位向量B．
C．D．
【解答】解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，，，
∴，，
对A选项，∵＝4﹣2×2×2×+4＝4，
∴||＝2，∴A选项错误；
对B选项，∵＝＝3，
∴||＝，∴B选项正确；
对C选项，∵＝＝﹣，∴，∴C选项正确；
对D选项，∵＝＝0，∴，∴D选项正确．
故选：BCD．
（多选）10．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则下列与△ABC有关的结论，正确的是（ ）
A．若a＝10，c＝9，，则这样的三角形有且只有两个
B．若acsA＝bcsB，则△ABC为等腰直角三角形
C．若b＝4，c＝2，O为△ABC外心，则
D．的最大值为
【解答】解：A项，a＝10，c＝9，，asinC＝10×＝＜c＝9，
则这样的三角形有且只有两个，A项正确；
B项，由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，
则2RsinAcsA＝2RsinBcsB，
可得sin2A＝sin2B，故2A＝2B或2A+2B＝π，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，B项错误；
C项，∵取BC的中点D，∴，即，
∴＝，
又＝（+）•（﹣）＝（﹣）＝＝6，
则＝6，C正确；
D项，由题意可得，
，
令＞0，可得，
，∴，D项正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点均在球Q的表面上，A1P＝4，则（ ）
A．该正四棱台的高为3
B．该正四棱台的侧面面积是
C．球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为
D．动点P的轨迹长度是
【解答】解：对于A，取正方形A1B1C1D1的中心O1，正方形ABCD的中心O，连接A1O1，AO，OO1，则O1O⊥平面ABCD，
过点A1作A1M⊥AO于点M，则A1M⊥平面ABCD，A1O1＝OM，A1M＝OO1，
∵，∴，，∴，，可得，
∵，根据勾股定理得，故A项不正确；
对于B，过点A1作A1W⊥AB于点W，则AW＝，A1W＝＝，
正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧面面积是，故B项正确；
对于C，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的外接球球心Q在直线OO1上，连接AQ，A1Q，则AQ＝A1Q＝R，
设OQ＝h，则QO1＝OO1+OQ＝2+h，
由勾股定理得AQ2＝AO2+OQ2＝24+h2，，
即24+h2＝6+（2+h）2，解得，故C项正确；
对于D，由勾股定理得，故点P的轨迹为以M为圆心、半径r＝的圆在正方形ABCD内的部分，如图所示，
其中，故，又，根据勾股定理求得，
由于，故，可得，所以动点P的轨迹长度是，故D项正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，a＝2，则c＝ ．
【解答】解：因为在△ABC中，，，a＝2，
所以sinA＝＝，sinB＝＝，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB＝+＝，
所以由正弦定理，可得c＝＝＝．
故答案为：．
13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E为棱CC1中点，过A1，B，E三点的平面截正方体，所得截面面积为 ．
【解答】解：取C1D1的中点F，连接EF，A1F，如图所示：
∵E，F分别为CC1，C1D1的中点，
∴EF∥A1B，
则过A1，B，E三点的平面截正方体的截面为四边形A1BEF，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，
∴，，，
∴四边形A1BEF为等腰梯形，高h＝＝，
∴等腰梯形A1BEF的面积为＝．
故答案为：．
14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AC＝BC＝，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且AD＝DB＝EF＝1．若•≤，则•的取值范围是 ．
【解答】解：如图所示，
A（1，0），B（﹣1，0），C（0，2）．
设，则＝＝（﹣1，0）+λ（1，2）
＝（λ﹣1，2λ）．
同理可得＝（1﹣μ，2μ）．
∵＝1，∴＝1，
化为5（λ2+μ2）﹣6λμ﹣4（λ+μ）+3＝0．
∵•≤，
∴．
化为．
∴15（λ+μ）2+4（λ+μ）﹣32≤0，
解得．
∵1≥λ，μ，
解得1≤λ+μ≤．
则•＝2（2﹣λ﹣μ）的取值范围是 ．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知在△ABC中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记，．
（1）用，表示向量，；
（2）若，，求的余弦值．
【解答】解：（1），
；
（2）因为，所以＝0，
所以＝0，
即2＝，
因为，，
所以（）•（）＝0，即﹣﹣＝0（1），
把代入（1），得﹣﹣＝0，
整理得，||＝||，
设＝θ，
由向量的夹角公式可得，csθ＝．
16．（15分）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，且_____，求△ABC的周长．请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答．①△ABC的面积为；②•＝；③sinAsinB＝．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分．
【解答】解：（1）∵，
∴2ccsC＝bcsA+acsB
∴由正弦定理可得2sinCcsC＝sinBcsA+sinAcsB，
∴2sinCcsC＝sin（A+B）＝sinC，又sinC＞0，
∴csC＝，∵C∈（0，π），∴C＝；
（2）由（1）结合正弦定理可得，＝＝＝＝4，
所以a＝4sinA，b＝4sinB，
若选①，△ABC的面积为；∴absinC＝，则ab＝；
若选②，，则abcsC＝，所以ab＝；
若选③，即sinAsinB＝，则ab＝；
均可得ab＝．
在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝（a+b）2﹣2ab﹣2abcs60°＝（a+b）2﹣4，
所以（a+b）2＝16，解得：a+b＝4或a+b＝﹣4（舍去），
所以△ABC的周长为a+b+c＝4+2．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：F为PD的中点；
（3）在棱AB上是否存在点N，使得FN∥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】证明：（1）连接AC交BD于G，连接GE，如下图：
由ABCD为平行四边形，则G为AC中点，又E为棱PC的中点，
所以GE为中位线，则GE∥PA，
又GE⊂面BDE，PA⊄面BDE，故PA∥平面BDE；
证明：（2）由题设知：CD∥AB，AB⊂面ABEF，CD⊄面ABEF，
所以CD∥面ABEF，
又CD⊂面PDC，面PDC∩面ABEF＝EF，
所以CD∥EF，又E为棱PC的中点，即EF是△PDC的中位线，
故F为PD的中点；
解：（3）存在N使得FN∥平面BDE且，理由如下：
H为AB中点，连接FH，
由题设且BH∥CD，
由（2）知CD∥EF且，
所以BH∥EF且BH＝EF，即BHFE为平行四边形，
所以FH∥BE，而BE⊂面BDE，FH⊄面BDE，
所以FH∥面BDE，故所求N点即为H点，
则AB上存在点N使得FN∥平面BDE，且．
18．（17分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上的一点．
（1）若D为BC的中点，，．
①证明：；
②求角B的最大值；
（2）若，，AD平分∠BAC，求AD的取值范围．
【解答】（1）①证明：若D为BC的中点，，．
则在△ABD中，cs∠ADB＝＝，
在△ACD中，cs∠ADC＝＝，
由∠ADB+∠ADC＝π，可得cs∠ADB＝﹣cs∠ADC，
即＝﹣，可得，
即，所以a2＝2b2，即a＝b；
②解：由余弦定理，得csB＝＝＝＝，当且仅当a＝时，等号成立．
因为B∈（0，π），所以B≤，当a＝，b＝c＝时，角B的最大值为．
（2）解：若，AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠DAC＝，
由S△ABD+S△ACD＝S△ABC，得AB•ADsin+AC•ADsin＝AB•ACsin，
即（c•AD+b•AD）＝bc，整理得AD＝，
因为，，所以a2＝b2+c2﹣2bccs＝（b+c）2﹣3bc＝3，可得bc＝[（b+c）2﹣3]，
所以AD＝＝（b+c）﹣，
根据bc＝[（b+c）2﹣3]≤，解得b+c，
因为f（x）＝x﹣在（0，+∞）上为增函数，
所以AD的最大值为×﹣＝，最小值大于＝0，即AD的取值范围是（0，]．
19．（17分）某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF∥CE，且BC＝BF＝1，CE＝2，，将平面图形ADEF以AD所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形PMNQ（该矩形内接于图形BDEF，M在弧DE上，N在线段EF上，PQ在AD上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE＝θ（），
①请用θ表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
【解答】解：（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积．
（2）①由图可知：PM＝NQ＝2csθ，PC＝2sinθ，
在梯形BCEF中，由CE＝2，BF＝BC＝1，
易知，故CQ＝2﹣2csθ，
则PQ＝CP+CQ＝2+2sinθ﹣2csθ，
所以V＝π|MP|2•|PQ|＝8πcs2θ（1+sinθ﹣csθ）．
②由上问可知：
即
＝，
令，则，
上式即为，
又令n＝8m﹣1，，则，
当n＝0时，t＝π，
当﹣1＜n＜0时，t＜π，
当n＞0时，，
当且仅当，即n＝3，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为2π．