北京市人大附中朝阳学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份北京市人大附中朝阳学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，1B．2，，3C．6，8，9D．5，12，13
3．（3分）关于的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点
B．＝+
C．＝±2
D．与最接近的整数是3
4．（3分）如图，已知点A的坐标为（1，2），则线段OA的长为（ ）
A．B．C．D．3
5．（3分）小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD（如图1所示）．若AC的长度为a,则菱形ABCD的周长为（ ）
A．a2B．C．aD．4a
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BCB．AB＝CDC．AD∥BCD．∠A＝∠C
7．（3分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+62＝102B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62D．x2+62＝（10﹣x）2
8．（3分）已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且q＝mn，设p＝，则下列对p的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数
B．总是奇数
C．总是无理数
D．有时是有理数，有时是无理数
二、填空题
9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）下列命题：①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的命题共有 个．
11．（3分）在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE= ．
12．（3分）如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则∠BDE的度数为 ．
13．（3分）如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，AC＝6，则线段BC的长为 ．
14．（3分）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化需求，在草地内拐角位置开出了一条“路”，走此“路”可以省 m的路．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠D=120°，AC平分∠DAB，P是对角线AC上的一个动点，点Q是AB边上的一个动点，则PB+PQ的最小值是 ．
16．（3分）已知邻边长分别为1，a的平行四边形纸片，且有1＜a＜2，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC=HD，AB=5，AC=2，BD=3，求AH的长．
20．如图，在▱ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM=BN，连接CM，AN．求证：CM=AN．
21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，在边AC上截取AD=AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E．已知AB=6，BC=8，如果F是边BC的中点，连接EF，求EF的长．
22．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角： ．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 ．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
23．已知矩形ABCD，以AB为一边求作一个平行四边形ABEF，使得该平行四边形的一个内角为30°，且面积为矩形面积的一半．
（1）利用尺规作图作出符合题意的平行四边形ABEF（保留作图痕迹）；
（2）写出判定四边形ABEF是平行四边形的依据是 ．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求菱形AEDF的面积．
25．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a,b,
M＝称为a，b这两个数的算术平均数．
N＝称为a，b这两个数的几何平均数，
P＝称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程
（1）若a＝﹣1，b＝﹣3，则M＝ ，N＝ ，P＝ ；
（2）小聪发现当a,b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a,b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是 （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
26．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点（不与B，C重合），点D关于直线AE的对称点是点F，连接AF，BF，直线AE，BF交于点P，连接DF．
（1）在图1中补全图形；
（2）求∠DFP的度数，写出求解过程．
（3）用等式表示线段PA，PB，PF之间的数量关系，并证明．
27．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1•x2=y1•y2时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，2）．
（1）在Q（3，6），Q（2，1），Q3（﹣1，﹣）中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在y轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标，写出求解过程．
2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．【答案】A
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝不是最简二次根式；
C、＝4，不符合题意；
D、＝|a|不是最简二次根式；
故选：A．
2．【答案】D
【解答】解：A、12+32≠18，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形；
B、22+（）2≠38，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形；
C、62+42≠92，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形；
D、52+127＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：A、在数轴上存在表示，故选项错误；
B、≠+，故选项错误；
C、＝4；
D、与最接近的整数是5．
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：OA＝＝，
故选：B．
5．【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，
∴菱形ABCD是周长＝4AB＝4a，
故选：D．
6．【答案】A
【解答】解：A、当AB∥CD，四边形ABCD可能为等腰梯形；
B、AB∥CD，一组对边分别平行且相等；
C、AB∥CD，两组对边分别平行；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
7．【答案】D
【解答】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺，
∴图中直角三角形的斜边长（10﹣x）尺．
根据题意得：x2+68＝（10﹣x）2．
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：由题意得：
n＝m+1，
∵q＝mn，
∴q＝m（m+1）＝m3+m，
∴p＝
＝+
＝+
＝+
＝m+1+m
＝8m+1，
∴p的值总是奇数，
故选：B．
二、填空题
9．【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥4．
10．【答案】2．
【解答】解：两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，此逆命题为真命题；
对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
平行四边形的对角线平分的逆命题为对角线平分的四边形是平行四边形，此逆命题为真命题．
故答案为：2．
11．【答案】3．
【解答】解：如图，
∵在△ABC中，点D、AC的中点，
∴DE＝BC，
∵BC＝8，
∴DE＝3，
故答案为：3．
12．【答案】15°．
【解答】解：∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴∠BDE＝∠EDC﹣∠BDC＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15°．
13．【答案】3+3．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB＝，
∴AM＝，
同理可得，BM＝8．
在Rt△ACM中，
MC＝，
∴BC＝BM+MC＝3+3．
故答案为：3+3．
14．【答案】2．
【解答】解：由勾股定理得：草地内拐角位置开出了一条“路”的长为：＝5（m），
∵8+4﹣5＝7（m），
∴走此“路”可以省2m的路，
故答案为：2．
15．【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
连接PD，DQ，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B，则PD＝PB，
∴PB+PQ＝PD+PQ≥DQ≥DE，
即DE就是PB+PQ的最小值，
∵∠ADC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
在Rt△ADE中，
∴AD＝2，∠ADE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∴AE＝AD＝1，
由勾股定理，得DE＝＝＝．
∴PB+PQ的最小值为．
故答案为：．
16．【答案】或4或或．
【解答】解：①如图，经历三次折叠后，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，
∴DF＝CE＝a﹣1，
∵四边形GCEH为菱形，
∴GC＝CE＝a﹣7，
∴DG＝FH＝1﹣（a﹣1）＝7﹣a，
∵四边形DGJI为菱形，
∴DI＝DG＝2﹣a，
∴IF＝a﹣1﹣（6﹣a）＝2a﹣3，
∵四边形IJHF为菱形，
∴IF＝HF，即4﹣a＝2a﹣3，
解得：；
②如图，经历三次折叠后，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，
∴DF＝CE＝a﹣3，
∵四边形JCEG，IJGH，
∴，
∴，
解得：；
③如图，经历三次折叠后，
∵四边形ABCD，DCEF为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝CE＝DF＝EF＝1，
∴FH＝a﹣2，
∵四边形FIJH，IEGJ都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
④如图，经历三次折叠后，
∵四边形ABCD，DCEF，HGIJ都为菱形，
∴AB＝AD＝DF＝FH＝8，
∴HJ＝a﹣3，
∴HJ＝IJ，
∴a﹣3＝2，
解得：a＝4；
综上：a的值为或4或或．
故答案为：或4或或．
三、解答题
17．【答案】+1．
【解答】解：
＝2﹣1+2﹣
＝+1．
18．【答案】．
【解答】解：
＝
＝
＝．
19．【答案】3．
【解答】解：∵AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，
∴∠CAH＝∠HBD＝90°，
∵A，B，H是直线上的三个点，
∴AH+BH＝AB＝5，
∴BH＝5﹣AH，
在Rt△ACH中，AC3+AH2＝CH2，
即8+AH2＝CH2，
在Rt△BHD中，BH2+BD2＝DH2，
即（3﹣AH）2+9＝DH5，
∵HC＝HD，
∴4+AH2＝（8﹣AH）2+9，
∴AH＝7，
故AH的长为3．
20．【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，∠B＝∠D，
在△CDM与△ABN中，
，
∴△CDM≌△ABN（SAS），
∴CM＝AN．
21．【答案】2．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，
则AC＝＝＝10，
∵AD＝AB＝6，
∴DC＝AC﹣AD＝10﹣6＝4，
∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴BE＝ED，
∵BF＝FC，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF＝CD＝．
22．【答案】（1）不是；
（2）14；
（3）见解析（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵BC2＝27+52＝29，CD2＝12+42＝5，BD4＝42+82＝32，
∴BC2+CD6≠BD2，
∴∠BCD不是直角，
故答案为：不是．
（2）四边形ABCD的面积为，
故答案为：14．
（3）如图，点E和四边形ABED即为所求．
23．【答案】（1）见解答．
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：（1）先作线段AD的垂直平分线l，再以点A为圆心，交直线l于点F，AB的长为半径画弧，连接DF，BE，
可得EF＝AB，且EF∥AB，
则四边形ABEF为平行四边形，∠BAF＝30°．
则平行四边形ABEF即为所求．
（2）由（1）可知，EF＝AB，
∴四边形ABEF为平行四边形．
判定依据为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
24．【答案】（1）见解析；（2）4．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是BC，
∴DE∥AC且DE＝AF＝AC．
同理DF∥AB且DF＝AE＝AB．
又∵AB＝AC，
∴DE＝DF＝AF＝AE，
∴四边形AEDF是菱形．
（2）解：∵AB＝6，BC＝4，E，F分别为BC，AC的中点，
∴BD＝4，EF＝4，
∴AD＝＝＝4，
∴菱形AEDF的面积为EF•AD＝＝4．
25．【答案】（1）﹣2；；；
（2）①作图见解答过程；
②N≤M≤P．
【解答】解：（1）将a＝﹣1，b＝﹣3代入M，N，
得：M＝＝﹣7＝，P＝＝，
故答案为：﹣2；；；
（2）①图形如下：
②根据M2，P2，N8所表示的面积大小可得：
当a≠b时，N＜M＜P，
当a＝b时，N＝M＝P，
∴N≤M≤P，
故答案为：N≤M≤P．
26．【答案】（1）补全图形见解答过程；
（2）（2）∠DFP＝45°，理由见解答过程；
（3）；证明见解答过程．
【解答】解：补全图形见图1：
（2）∠DFP＝45°，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵AD＝AF，
∴AF＝AB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠AFD+∠DFP，∠ABF＝∠BAF+∠APB，
∴∠DFP+∠AFD＝∠APB+∠BAP；
由对称得AD＝AF，AE⊥DF，
∴∠ADF＝∠AFD，∠DAP+∠ADF＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠DAP+∠BAP＝90°，
∴∠ADF＝∠BAP，
∴∠AFD＝∠BAP，
∴∠DFP＝∠APB，
∵AE⊥DF，
∴∠DFP＝∠APB＝45°；
（3）；
证明：过点A作AM⊥AP，交PF的延长线于M，
由（2）知∠APB＝45°，
∴△AMP为等腰直角三角形，
∴，AP＝AM，
∵∠ABF＝∠AFB，
∴∠ABP＝∠AFM，
∴△AFM≌△ABP（AAS），
∴PB＝MF，即PM＝PF+MF＝PF+PB，
∴．
27．【答案】（1）Q2和Q3；
（2）（0，）或（0，﹣）．．
【解答】解：（1）∵1×3≠2×6，
∴Q1（5，6）不是P（1；
∵2×2＝2×6，
∴Q2（2，6）是P（1；
∵1×（﹣8）＝2×（﹣），
∴Q3（﹣1，﹣）是P（1，
故答案为：Q7和Q3；
（2）设Q（x，y），
∵点Q（x，y）是点P（1，
∴x＝5y，
∴y＝x，
∴Q（x，x），
∵点C在y轴上，以O，P，Q，点Q在x轴下方，PO＝QC，
设直线PC的解析式为：y＝x+b，
把P（1，2）代入，
∴yC＝，
∴点C的坐标为（0，）．
当点Q在x轴上方，PO∥Q'C'，PQ'＝OC'，
把Q'（1，m）代入y＝x，
∴OC'＝PQ'＝3﹣＝，
∴yC＝﹣，
∴点C的坐标为（0，﹣）．