2022年辽宁省丹东市第十七中学中考数学二模试卷(含答案)

这是一份2022年辽宁省丹东市第十七中学中考数学二模试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣B．﹣|﹣3|C．0D．1
2．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6
C．a7÷a＝a7D．（﹣2a2）3＝8a6
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＜1且k≠0B．k≠0C．k＜1D．k＞1
4．以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位长度，得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，﹣6）B．（﹣1，6）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
9．如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么C的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（6，1.5）C．（4.5，2）D．（9，1）
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：
①＞0；
②2b﹣4ac＝1；
③a＝；
④c＝2b﹣1．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：x3y﹣xy＝ ．
12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．冠状病毒是一大类病毒的总称．在电子显微镜下可以观察到它们的表面有类似日冕状突起，看起来像王冠一样，因此被命名为冠状病毒，其平均半径大约为0.00000005m；将0.00000005用科学记数法表示为 ．
14．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 ．
15．已知点P（a+1，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是 ．
16．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为 ．
17．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
18．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是 ．
三、解答题（第19题8分，第20题14分）
19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
20．（14分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m＝ ，n＝ ；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？
（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
四、解答题（第21题12分；第22题12分；共24分）
21．（12分）某商场计划购进一批甲、乙两种消毒液，已知甲种消毒液一瓶的进价与乙种消毒液一瓶的进价的和为40元，用90元购进甲种消毒液的瓶数与用150元购进乙种消毒液的瓶数相同．
（1）求甲、乙两种消毒液每瓶的进价分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种消毒液共50瓶，且总费用不超过1000元，求甲种消毒液至少要购买多少瓶？
22．（12分）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10m，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为45°．若测倾器AB的高度为1.5m，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
五、解答题（共12分）
23．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．
六、解答题（共12分）
24．（12分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
七、解答题（共12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G．∠CDE的平分线DM交BC于点H．过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF、BE．
（1）如图1，若α＝90°，
①∠DEB＝ °．
②判断线段BE与DH的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）如图2，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，请直接写出的值（用含m的式子表示）．
八、解答题（共14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣ax2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为抛物线上一点，且点D与点C关于对称轴对称，求四边形ABCD的面积．
（3）点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，请直接写出点D的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣B．﹣|﹣3|C．0D．1
【分析】把四个数放在一起进行比较即可．
【解答】解：∵﹣|﹣3|＝﹣3，
∴﹣|﹣3|＜＜0＜1，
∴最小的数是﹣|﹣3|，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的方法．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6
C．a7÷a＝a7D．（﹣2a2）3＝8a6
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；
C、a7÷a＝a6，故C不符合题意；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＜1且k≠0B．k≠0C．k＜1D．k＞1
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4k×9＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故k的取值范围是k＜1且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
5．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝186.9，S乙2＝325.3，
∴S甲2＜S乙2，
∴为保证产量稳定，适合推广的品种为甲，
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC﹣∠DAB即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：利用基本作图判断MN垂直平分AB是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位长度，得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，﹣6）B．（﹣1，6）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】先求出A点绕O点逆时针旋转90°后的坐标为（﹣1，2），再求向下平移4个单位后的点的坐标即可．
【解答】解：A点绕O点逆时针旋转90°，得到点A''（﹣1，2），
A''向下平移4个单位，得到A'（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化，能够根据题意画出线段AB旋转、平移后的图形是解题的关键．
9．如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么C的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（6，1.5）C．（4.5，2）D．（9，1）
【分析】由∠BOA＝45°可知B（a，a），代入反比例函数解析式求得B（3，3），进而通过证得△ABD∽△ACE求得CE＝1，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出C点的坐标．
【解答】解：作BD⊥OA，CE⊥OA，
∵∠BOA＝45°，
∴BD＝OD，
设B（a，a），
∴a＝，
∴a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴BD＝OD＝3，
B（3，3），
∵BC＝2AC．
∴AB＝3AC，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴BD∥CE，
∴△ABD∽△ACE
∵＝＝3，
∴＝3，
∴CE＝1，
∵图象经过点C，
∴1＝，
∴x＝9，
C（9，1），
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的性质，相似三角形的判断和性质，能求出CE的长是解题的关键．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：
①＞0；
②2b﹣4ac＝1；
③a＝；
④c＝2b﹣1．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由OB＝2OC可得抛物线经过（﹣2c，0），将（﹣2c，0）代入解析式可判断②，由抛物线经过（﹣2，0），（﹣2c，0）可得x1＝2，x2＝2c为方程ax2+bx+c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系可判断③，由a的值及4a﹣2b+c＝0可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴＜0，①错误．
∵OB＝2OC，
∴抛物线经过（﹣2c，0），
∴4ac2﹣2bc+c＝0，
∴4ac﹣2b+1＝0，
∴2b﹣4ac＝1，②正确．
∵抛物线经过（﹣2，0），（﹣2c，0），
∴x1＝2，x2＝2c为方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴x1•x2＝＝4c，
∴a＝．③正确．
∵抛物线经过（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
∴1﹣2b+c＝0，
∴c＝2b﹣1，④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：x3y﹣xy＝ xy（x+1）（x﹣1） ．
【分析】原式提取xy，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1），
故答案为：xy（x+1）（x﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．冠状病毒是一大类病毒的总称．在电子显微镜下可以观察到它们的表面有类似日冕状突起，看起来像王冠一样，因此被命名为冠状病毒，其平均半径大约为0.00000005m；将0.00000005用科学记数法表示为 5×10﹣8 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000005＝5×10﹣8．
故答案为：5×10﹣8．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 6 ．
【分析】利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【解答】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个，
故答案为6．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
15．已知点P（a+1，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是 a＜﹣1 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质以及一元一次不等式组的解法分析得出答案．
【解答】解：∵点P（a+1，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，
∴点P（a+1，﹣+1）在第二象限，
∴，
解①得：a＜﹣1，
解②得：a＜2，
∴不等式组的解集为：a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确解不等式组是解题关键．
16．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为 ．
【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cs∠BOC的值；由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB＝90°，又由平行线的性质知∠A＝∠BOC，则cs∠A＝cs∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．
【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∵OC∥AD，
∴∠A＝∠BOC，
∴cs∠A＝cs∠BOC．
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC，
∴cs∠BOC＝＝，
∴cs∠A＝cs∠BOC＝．
又∵cs∠A＝，AB＝4，
∴AD＝．
故答案为
【点评】本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等．
17．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 4或4 ．
【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C＝A'E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A'E＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．
【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE＝∠MAN＝90°，
∴∠CDE＝∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB＝∠A'EC，
∴∠A'CB＝∠A'EC，
∴A'C＝A'E＝4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC＝2A'E＝8，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AB＝＝4；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝4；
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为：4或4；
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
18．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是 ①②③ ．
【分析】①正确．证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论；
②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；
③正确．设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，CJ，可得结论；
④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，设PD＝t，则BD＝AD＝t，构建方程求出t，可得结论．
【解答】解：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠AEC+∠ADC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCE＝90°，
取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAC＝∠CED，故②正确，
设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，
过点C作CJ⊥DF于点J，
∵tan∠CDF＝＝＝2，
∴CJ＝m，
∵AO⊥DE，CJ⊥DE，
∴AO∥CJ，
∴＝＝＝，故③正确．
如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，
∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，
∴∠BPD＝∠CPD＝60°，
设PD＝t，则BD＝AD＝t，
∴2+t＝t，
∴t＝+1，
∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（第19题8分，第20题14分）
19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝ab，
当a＝+1，b＝﹣1时，
原式＝（+1）（﹣1）
＝3﹣1
＝2．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
20．（14分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m＝ 100 ，n＝ 35 ；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？
（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；
（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数m＝10÷10%＝100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%＝×100%＝35%，即n＝35，
故答案为：100、35；
（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为×100%＝40%，
补全图形如下：
（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%＝800（人）；
答：大约有800人最认可“微信”这一新生事物．
（4）列表如下：
共有12种等可能情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种；
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为P＝＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（第21题12分；第22题12分；共24分）
21．（12分）某商场计划购进一批甲、乙两种消毒液，已知甲种消毒液一瓶的进价与乙种消毒液一瓶的进价的和为40元，用90元购进甲种消毒液的瓶数与用150元购进乙种消毒液的瓶数相同．
（1）求甲、乙两种消毒液每瓶的进价分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种消毒液共50瓶，且总费用不超过1000元，求甲种消毒液至少要购买多少瓶？
【分析】（1）设甲种消毒液每瓶的进价为x元，则乙种消毒液每瓶的进价为（40﹣x）元．由题意：用90元购进甲种消毒液的瓶数与用150元购进乙种消毒液的瓶数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种消毒液m瓶，则购买乙种消毒液（50﹣m）瓶．由题意：总费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设甲种消毒液每瓶的进价为x元，则乙种消毒液每瓶的进价为（40﹣x）元．
根据题意，得：，
解得：x＝15．
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，
∴40﹣x＝25．
答：甲种消毒液每瓶的进价为15元，乙种消毒液每瓶的进价为25元．
（2）设购买甲种消毒液m瓶，则购买乙种消毒液（50﹣m）瓶．
根据题意，得：15m+25（50﹣m）≤1000，
解得：m≥25．
答：甲种消毒液至少要购买25瓶．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10m，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为45°．若测倾器AB的高度为1.5m，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【分析】延长AC交PQ于点E，交MN于点F，根据题意可得FN＝EQ＝CD＝AB＝1.5米，MF＝PE，AF＝BN＝2AE，AC＝BD＝10米，CE＝DQ，然后设DQ＝CE＝x米，从而求出AE，AF的长，再分别在Rt△PEC和Rt△AMN中，利用锐角三角函数的定义求出PE，MF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长AC交PQ于点E，交MN于点F，
则FN＝EQ＝CD＝AB＝1.5米，MF＝PE，AF＝BN＝2AE，AC＝BD＝10米，CE＝DQ，
设DQ＝CE＝x米，
∴AE＝BQ＝AC+CE＝（x+10）米，
∴AF＝2AE＝2（x+10）米，
在Rt△PEC中，∠PCE＝45°，
∴PE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△AMN中，MF＝AF•tan10°≈2（x+10）×0.18＝0.36（x+10）米，
∵MF＝PE，
∴0.36（x+10）＝x，
∴x＝5.625，
∴PQ＝PE+QE＝x+1.5≈7.1（米），
∴路灯的高度约为7.1米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
五、解答题（共12分）
23．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可证∠B＝∠C＝∠OFC，可证OF∥AB，可得结论；
（2）由切线的性质可证四边形GFOE是矩形，可得OE＝GF＝2，由锐角三角函数可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
又∵OF是半径，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，过点O作OH⊥CF于H，
∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°，
∴FG＝＝＝2，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥GF，OF⊥GF，
∴四边形GFOE是矩形，
∴OE＝GF＝2，
∴OF＝OC＝2，
又∵OH⊥CF，
∴CH＝FH，
∵csC＝csB＝，
∴，
∴CH＝，
∴CF＝．
【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
六、解答题（共12分）
24．（12分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可，将x＝2代入函数关系式即可求解；
（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
∴x1＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．
七、解答题（共12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G．∠CDE的平分线DM交BC于点H．过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF、BE．
（1）如图1，若α＝90°，
①∠DEB＝ 75 °．
②判断线段BE与DH的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）如图2，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，请直接写出的值（用含m的式子表示）．
【分析】（1）①证明DE＝DB，可知结论；
②由“ASA”可证△GBE≌△GDH，可得BE＝DH；
（2）通过证明△HDG∽△HFC，可得，由角的数量关系可求CD＝CF，即可求解；
（3）通过证明△FCH∽△BGE，可得＝＝．
【解答】（1）解：①在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵点D为AB的中点
∴AD＝CD＝BD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠ADC＝60°，
∴∠DCB＝30°，
∵∠CDE＝α＝90°，
∴∠CGD＝∠BGE＝60°，∠BDE＝30°，
∴DG＝BG
由题意可得DC＝DE，
∴DE＝DB，
∴∠DEB＝∠DBE＝75°，
故答案为：75°；
②结论：BE＝DH．
理由：∵∠DEB＝∠DBE＝75°，∠ABC＝30°，
∴∠GBE＝45°，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，
∴∠CDH＝∠GDH＝45°，
又∵DG＝BG，∠BGE＝∠DGH，
∴△GBE≌△GDH（ASA），
∴BE＝DH；
（2）证明：∵CF∥DG，
∴∠HGD＝∠HCF，∠HDG＝∠HFC，
∴△HDG∽△HFC，
∴，
∵∠CDH＝∠GDH＝45°，∠HDG＝∠HFC，
∴∠CDH＝∠HFC，
∴CF＝CD，
∴；
（3）解：如图2，过点D作DN⊥BC于N，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点D为AB的中点，AC＝2，
∴AB＝4，BC＝2，AD＝CD＝BD＝2，
又∵∠DCB＝30°，DN⊥BC，
∴CN＝NB＝，∠CDN＝60°，DN＝CD＝1，
∴∠NDG＝α﹣60°，
∵tan（α﹣60°）＝m＝，
∴NG＝m，
∴BG＝﹣m，
∵将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，
∴CD＝DE＝2，∠CDE＝α，
∵DM平分∠CDE，
∴∠CDH＝∠GDH＝，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠FDG＝＝∠CDH，∠FCB＝∠BGE，
∴CD＝CF＝2，
∵∠BDE＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，DE＝CD＝BD，
∴∠DEB＝∠DBE＝30°+，
∴∠GBE＝＝∠CFD，
∴△FCH∽△BGE，
∴＝＝．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
八、解答题（共14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣ax2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为抛物线上一点，且点D与点C关于对称轴对称，求四边形ABCD的面积．
（3）点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，请直接写出点D的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明四边形ABCD为梯形，则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×CO，即可求解；
（3）①证明△EDM∽△EBN，则＝﹣（m+2）2+，即可求解；
②证明∠BAC＝∠CDG，则tan∠BAC＝tan∠CDG，即，进而求解．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵y＝﹣ax2+bx+c经过A、C两点，
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝0，得﹣x2﹣x+2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∵点D与点C关于对称轴对称，点C（0，2），抛物线的对称轴为x＝，
∴点D（﹣3，2），
则CD＝3，AB＝5，
∵AB∥CD，则四边形ABCD为梯形，
则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×CO＝（5+3）×2＝8；
（3）①过D作DM∥y轴交AC于点M，过B作BN∥y轴交于AC于N，如图：
在y＝x+2中，令x＝1得y＝，
∴N（1，），BN＝，
设D（m，﹣m2﹣m+2），则M（m，m+2），
∴DM＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）＝﹣m2﹣2m，
∵DM∥y轴，BN∥y轴，
∴DM∥BN，
∴∠EDM＝∠EBN，∠EMD＝∠ENB，
∴△EDM∽△EBN，
∴，
∴＝﹣（m+2）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣2时，取最大值，最大值为；
②存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，理由如下：
过D作DG∥x轴，交y轴于R，交直线AC于G，如图：
∵DG∥x轴，
∴∠BAC＝∠DGC，
∵∠DCF＝2∠BAC，
∴∠DCF＝2∠DGC，
∵∠DCF＝∠DGC+∠CDG，
∴∠DGC＝∠CDG，
∴∠BAC＝∠CDG，
∴tan∠BAC＝tan∠CDG，即，
设D（t，﹣t2﹣t+2），
∴DR＝﹣t，OR＝﹣t2﹣t+2，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∴CR＝OR﹣OC＝﹣t2﹣t，
∴，
解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，3）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．