湖北省沙市中学2024届高三下学期模拟预测数学试卷（Word版附解析）

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5月模拟考试数学试卷
命题人：刘超审题人：黄华清
考试时间：2024年5月4日
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的虚部为（）
A B. C. D. i
2. 抛物线过点，则准线方程为（）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，且，则（）
A. B. C. D.
5. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（）
A. B.
C. D.
6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（）
A. B. C. D.
7. 在边长为4的正三角形中，E，F分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（）
A. B. C. D.
8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（）
A. 函数的最大值为1
B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1
D. 函数的最小值为1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知的部分图象如图所示，则（）
A.
B. 在区间单调递减
C. 在区间的值域为
D. 区间有3个极值点
10. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则下列说法正确的有（）
A. 平面平面
B. 侧面内存在无穷多个点，使得平面
C. 在正方形的边上存在点，使得直线与底面所成角大小为
D. 动点分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是
11. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．
12. 已知函数，则________．
13. 已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数________．
14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数图像在处的切线与直线平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且时，，求实数m的取值范围．
16. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．
（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数）
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望．
附：若，则，
17. 如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.

（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
18. 已知椭圆上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
19. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
（1）若数列，且，，求数列和集合T；
（2）若是递增的等差数列，求证：；
（3）请你判断是否存在最大值，并说明理由