湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期模拟卷（三）数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若全集，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的实部是（ ）
A. B. iC. 0D. 1
3. 若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，设向量,若,且,则用阴影表示点所有可能的位置区域正确的是
A. B.
C D.
6. 若正数满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 16
7. 定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A. 1763B. 1935C. 2125D. 2303
8. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 若随机变量满足，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D. 数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32
10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在点，使四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过四点的球的表面积为
11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的图象的一条对称轴为直线，则__________．
13. 某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有__________种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为__________．
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在中，．D，E分别为边上的中点，现将以为折痕折起，使点A到达点的位置．

（1）连接，证明：;
（2）若平面与平面所成二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
16. 随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
（1）根据小概率的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值．
附：，其中．
17. 已知数列不为常数数列且各项均为正数，数列的前n项和为，，满足，其中是不为零的常数，．
（1）是否存在使得数列为等差数列？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（2）若数列是公比为的等比数列，证明：（且）．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在唯一的极值点，证明：．
19. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求证：直线m与直线斜率之积为定值；
（3）求的最小值．应用广泛性
招聘人数减少
招聘人数增加
合计
广泛应用
60
50
110
没有广泛应用
40
50
90
合计
100
100
200
0.1
005
0.01
2.706
3.841
6.635