浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试卷（Word版附解析），文件包含浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题Word版含解析docx、浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
数学
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选､多选､错选均不得分.
1. 在复平面内表示复数（1﹣i）（a+i）的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A. （﹣∞，1）B. （﹣∞，﹣1）C. （1，+∞）D. （﹣1，+∞）
2. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A. 1B. C. D.
3. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，两点在轴上，以为直径的圆与抛物线：交于点，.已知是方程的一个解，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 以半径为1的球的球心为原点建立空间直角坐标系，与球相切的平面分别与轴交于三点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 18D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设函数，则（ ）
A. 是偶函数B. 的最小正周期为
C. 的值域为D. 在单调递增
10. 在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知是方程两根，数列满足，，. 满足，其中. 则（ ）
A.
B.
C. 存在实数，使得对任意的正整数，都有
D. 不存在实数，使得对任意正整数，都有
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为______.
13. 将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为__________；若有解，则的最大值为__________.
14. 若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为___________________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 平面两两平行，且与的距离均为.已知正方体的棱长为1，且.
（1）求；
（2）求与平面夹角的余弦值.
16. 斜二测画法是一种常用的工程制图方法，在已知图形中平行于轴的线段，在直观图画成平行于轴（由轴顺时针旋转得到）的线段，且长度为原来的，平行于轴的线段不变.如图，在直角坐标系中，正方形的边长为.定义如下图像变换：表示“将图形用斜二测画法变形后放回原直角坐标系”；表示“将图形的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的倍”.

（1）记正方形经过两次变换后所得图形为，求坐标；
（2）在第次复合变换中，将图形先进行一次变换，再进行一次变换，. 记正方形进行次复合变换后所得图形为.过作的垂线，垂足为，若恒成立，求的取值范围.
17. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2），，求最小值；
（3）若在区间存在零点，求的取值范围.
18. 设双曲线，直线与交于两点.
（1）求的取值范围；
（2）已知上存在异于的两点，使得.
（i）当时，求到点的距离（用含的代数式表示）；
（ii）当时，记原点到直线的距离为，若直线经过点，求的取值范围.
19. 在概率较难计算但数据量相当大､误差允许的情况下，可以使用UninBund（布尔不等式）进行估计概率.已知UninBund不等式为：记随机事件，则.其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题：
（1）有个不同的球，其中个有数字标号.每次等概率随机抽取个球中的一个球.抽完后放回.记抽取次球后个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为，现在给定常数，则满足的的最小值为多少？请用UninBund估计其近似的最小值，结果不用取整.这里相当大且远大于；
（2）然而实际情况中，UninBund精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.已知概率容斥原理：记随机事件，则.试问在（1）的情况下，用容斥原理求出的精确的的最小值是多少（结果不用取整）？相当大且远大于.
（1）（2）问参考数据：当相当大时，取