浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则复数的虚部为（ ）
A.2B.C.D.
2.若向量，，则与共线的向量可以是（ ）
A.B.C.D.
3.若的外接圆的半径，，则（ ）
A.1B.C.2D.
4.已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A.B.C.D.
5.设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则下列命题中正确的是（ ）
A.在内一定存在直线与直线相交
B.在内一定存在直线与直线异面
C.一定存在过直线的平面与平行
D.存在无数过直线的平面与垂直
6.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（ ）
A.B.C.D.
8.在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.
B.若，则
C.
D.若是关于的方程的根，则
10.对于任意的两个平面向量、，下列关系式恒成立的是（ ）
A.B.
C.D.
11.如图所示，在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则（ ）
A.翻折过程中存在某个位置，使得
B.当二面角为时，点到平面的距离为
C.直线与所成角的取值范围为
D.当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若向量，则与垂直的一个单位向量______.
13.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为______.
14.已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______.
四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知复数，，满足：，且的实部为正.
（1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；
（2）当时，、对应复平面内的点分别为、，为复平面原点，求证：.
16.（本小题满分15分）如图，和都垂直于平面，且，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）在中，角，，的对边分别为，，，且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，
（1）求角；
（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.
条件①：；条件②：.
18.（本小题满分17分）如图，在平行四边形中，，分别是线段，的中点，记，，且，，.
（1）试用向量，表示，；
（2）①求，的值；
②设为的内心，若，求的值.
19.（本小题满分17分）在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足.
（1）求证：；
（2）当平面平面时，
①求点到平面的距离；
②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
2023学年第二学期温州十校联合体期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
8.解析：如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线，
则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且.
在中，，即.
，即.
（当且仅当时取等号）
设外接圆半径为，由正弦定理得，即.
外接球的半径，故三棱锥的外接球表面积的最小值为.
11.解析：由条件易得，.
对于选项A：假设翻折过程中存在某个位置，使得.又因为，，可得平面，所以，即.显然与不垂直，所以假设不成立，即翻折过程中不存在某个位置，使得.故选项A错误.
对于选项B：取的中点，的中点，连接，，过点作直线的垂线交直线于点.易说明为二面角的平面角，即.线段的长即为点到平面的距离，.因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的2倍，即.故选项B正确.
对于选项C：连接，易得四边形是平行四边形，所以.直线与所成角即为直线与所成角.在翻折过程中，绕着旋转，可以看成以为顶点、为轴的圆锥的母线，为底面圆的直径.原问题转化为母线与底面直径所成角的取值范围.母线与轴的夹角为，结合最小角定理，可得母线与底面直线所成角的取值范围是，故选项C错误.
对于选项D：当平面平面时，三棱锥的体积最大.又因为，平面平面，所以平面.的中点为球心，取的中点，则为的中位线，所以，平面.以为直径的球被平面所截的截面为圆面，由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径，该圆面面积为.故选项D正确
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.或写出一个即可13.14.
四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【解】（1）由题意得
解得.
（2）设，则，
展开得
则解得
所以
当时，，故在复平面内，
则，，，，
16.【解】（1）证明：（1）取的中点，连接，，
是的中点，，，
和都垂直于平面，
，，，
四边形为平行四边形，从而，
平面，平面，（没写全扣1分）
平面.
（2）解：为正三角形，为中点，
.
平面，平面，，，
又，平面，
平面.
又，则平面，
得为在面上的射影，
为直线与平面所成角.
在中，，，，
得，
直线与平面所成角的正弦值为.
17.【解】（1）若选①由正弦定理得，
，，
，
若选②：由正弦定理得，
，
即，
又，有，，
由，得.
（2），又，，
在中由余弦定理
，（由余弦定理得出边的关系就给2分）
当且仅当时取等号，
的最小值为.
18.【解】（1）；
（2）①由（1）知：，则，
又，
②为的内心，，
.
19.【解】（1）取的中点，连接，，
，为的中点，.
，为的中点，
平面，
又平面，
（2）①过点作于，连，
平面平面，，平面.
令，则，.
平面，.
在中，由，得，，
，
故点到平面的距离为.
②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，
易证平面为平面与平面的公共垂面，故，
在中，，，可求得，
又，，则.
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
D
B
C
D
B
9
10
11
ACD
ABD
BD