数学（呼和浩特卷）-2024年中考数学考前押题卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在0、、、2四个数中，负数是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查了实数，根据负数的定义即可判断，解题的关键是正确区分正数与负数．
【详解】在0，，，2四个数中，，2是正数，是负数，0既不是正数也不是负数．
故选：B．
2．中国海关总署于2024年1月12日发布消息称：2023年我国汽车出口量为522万辆，同比增加．数据“522万”用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：522万．
故选：B．
3．如图是某场比赛颁奖现场的领奖台的示意图，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图的知识．找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】
解：从正面看所得到的图形是：．
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的运算，利用积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则及完全平方公式逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，则A符合题意；
B、，则B不符合题意；
C、，则C不符合题意；
D、，则D不符合题意；
故选：A．
5．如图，直线，点C、A分别在、上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交于点B，连接AB．若，则的度数为（ ）

A．10°B．15°C．20°D．30°
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识；由题意得，则；再由，即可求得的度数．
【详解】解：由题意知：，
∴；
∵，
∴；
故选：D．
6．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖．截止目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：，则该组由年龄组成的数据的众数和平均数是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】本题考查了众数和平均数的知识，根据平均数和众数的概念求解，正确理解一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数是解题的关键．
【详解】解：∵数据出现了次，最多，
∴众数为：，
平均数为：，
故选：．
7．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，，，，则的长为（ ）
A．7B．C．8D．10
【答案】B
【分析】由旋转的性质知，，求得，根据勾股定理的逆定理可得，进一步推理可得，是等腰直角三角形，利用勾股定理计算即得答案．
【详解】将绕点A顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．已知是方程的一个根，则（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，
∴，
∴
；
故选B．
9．如图所示，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边分别交于点M，N，若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作，，结合正方形的性质先推出≌，得到，根据以上分析，可知阴影部分的面积等于正方形的面积，求出的边长即可．
【详解】解：作，，如图，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，四边形是正方形，
∴≌，
∴，
∴四边形的面积等于正方形的面积，
∵正方形的边长为a，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
∴四边形的面积 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是不规则图形的面积求解问题，解题的关键是掌握将不规则问题转化为规则图形来代替求解．
10．二次函数的图象如图所示，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点A，且，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④，根据图象过，判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，；故①④错误；
由图象可知：时，，
∴，故③正确，
∵和关于对称轴对称，
∴当时，；故③正确；
∵，
∴图象过，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故⑤正确；
故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解；
，
故答案为：．
12．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为 ．

【答案】4
【分析】根据三角形的面积公式可得，进而求出答案．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，

∵，，
∴，
∴，
而，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．
13．如图，将边长为2的正六边形铁丝框变形为以点A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形（阴影部分）的面积为 ，该扇形所对的圆心角是 度．（结果用含π的式子表示）
【答案】 8
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，先根据题意求出优弧的长为8，再根据扇形面积等于其弧长与半径乘积的一半求出阴影部分面积，进而根据弧长公式求出圆心角度数即可．
【详解】解；由题意得，优弧的长为，
∴所得扇形（阴影部分）的面积为，
∴该扇形所对的圆心角是，
故答案为：8；．
14．如图，直线与x轴与y轴分别相交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为 ．

【答案】
【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，根据一次函数解析式求出，点坐标，再由中点坐标公式求出，坐标，根据对称的性质求出坐标，从而求出直线的解析式，即可求出点P的坐标．
【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小．

令中，则，
点的坐标为，
令中，则，
故，
点的坐标为，
点C，D分别为线段，的中点，
，
关于轴的对称点，
，
设直线的解析式为，
将坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
令中，
则，
解得，
当最小时，点P的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，找出点位置是解题的关键．
15．如图，是的直径，，是的弦，是的内心，连接，若，，则的长是 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过作于，于，于，
，
四边形是矩形，
是的内心，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．已知抛物线C：，点E是直线上的一个动点，将点E向左移动4个单位得到点F，若线段与抛物线C只有一个公共点，则点E的横坐标a的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化-平移，分类求解确定的位置是解题的关键．
求出点和点的坐标，求出两种特殊位置E的值，可得结论．
【详解】抛物线的顶点坐标为，
联立两个函数，
解得或，
∴点的坐标为，点的坐标为，
当点E在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点，
∵的距离为4，而的水平距离是3，
故此时只有一个交点，即；
当点E在点的左侧时，线段与抛物线没有公共点；
当点E在点的右侧时，
当时，抛物线和交于抛物线的顶点，
即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上，或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）方程组的解为．
【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解二元一次方程组；
（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）解：，
得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴方程组的解为．
18．如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）

【答案】米
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作于．解直角三角形分别求出、即可解决问题．
【详解】解：作于．
，米，
（米），
，
四边形是矩形，
（米），
，，
，
，，
，
，
，
，
（米），
在中，
，
（米），
（米）．
19．“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立，小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析，下面是部分信息．
a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）
b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是：63 65 65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69，根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(2)直接写出“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据中位数；若以各组的组中值代表各组的实际数据，求出“华罗庚数学奖”得主获奖时年龄数据的平均数（结果保留整数）；
(3)小华准备从“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在和这两组中任意选取两人了解他们的数学故事，求选取的两人年龄正好在同一组的概率．
【答案】(1)见解析
(2)69，71
(3)
【分析】本题考查统计图，求中位数，平均数，树状图法求概率：
（1）用年龄在这一组的人数除以所占的比例求出总数，进而求出的人数，补全直方图即可；
（2）根据中位数的定义，平均数的计算公式进行计算即可；
（3）用表示的三人，用表示中的两人，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
∴的人数为，
补全直方图如图：
（2）将数据排序后，第15个和第16个数据均为：69，
∴中位数为69；
平均数为：；
（3）用表示的三人，用表示中的两人，
画出树状图如图：
共有20种等可能的结果，其中两人是同一组的结果有8种，
∴．
20．如图，是的直径，C是上异于A、B的点，外的点E在射线上，直线与垂直，垂足为D，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果A是的中点，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）通过证明，可得，可证，即可求解；
（2）设，根据相似性质得出，再结合得出，再根据和，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是上的点，
是的切线；
（2）解：设，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出时，x的取值范围；
(3)过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为为
(2)或
(3)点C的坐标为或
【分析】（1）根据点B的坐标，先确定反比例函数解析式，再确定点A的坐标，最后确定一次函数的解析式．
（2）根据图像的性质，结合交点的横坐标写出解集即可．
（3）根据，，得到，设，则，，结合，平方列出方程解答即可．
本题考查了待定系数法，两点间距离公式，数形结合思想，直接开平方法解方程，熟练掌握待定系数法，数形结合思想，直接开平方法解方程，是解题的关键．
【详解】（1）将点代入反比例函数，
得，
，
将点代入，
解得，
，
将，点坐标代入一次函数，
得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）不等式的解集是：或．
（3）根据，，得到，
设，
则，，
∵，
∴，
解得，
故点C的坐标为或．
22．烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．
(1)求甲、乙两种烟花的进货单价；
(2)小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费．
【答案】(1)甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；
(2)购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式和相应的函数关系式．
（1）设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，根据题意确定相应的函数关系式和不等式，然后求解，利用一次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；
（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，
由题意得：，
∵乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，
∴，
解得：，
∵，则y随m的增大而减小，
∴当时，y最小，最小为元，
则，
答：购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．
23．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E是上的一个动点，连接，交于点F．

(1)如图①，当时，求 ；
(2)如图②当平分时，求证：；
(3)如图③，当点E是的中点时，过点F作于点G，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】
（1）利用，结合正方形性质求得，依据和相似，得到面积的比等于与比值的平方，据此即可求解；
（2）利用角之间的关系证得，可得，在中，利用勾股定理可以证得；
（3）根据中点性质和正方形性质，得到，根据相似三角形性质得到，根据得到．
【详解】（1）
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）
∵平分，
∴，
∵和是正方形的对角线，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴；
（3）
证明： ∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形和三角形综合．熟练掌握正方形的性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的判断和性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，是解决本题的关键．
24．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)分别求出，的值和直线的解析式；
(2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的长与的函数关系式是解题的关键．
（1）先求得的坐标，从而得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点，然后可求得直线的解析式；
（2）求得，接下来证明为等腰直角三角形，所当有最大值时三角形的周长最大，设，，则，然后利用配方可求得的最大值，最后根据的周长求解即可；
（3）当时，如果 或时，则∽，设点的坐标为，则，则，，然后根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）点的坐标为，
．
令，则，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将，代入得：，
解得，
抛物线的解析式为；
，；
抛物线的对称轴为，，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
；
设直线的解析式为．
将、代入得：
，
解得，，
直线的解析式；
（2）直线的解析式，
直线的一次项系数，
．
平行于轴，
，
．
的周长．
设，则，
则．
当时，有最大值，最大值为．
的周长的最大值；
（3）在直线的右侧、轴下方的抛物线上存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；理由如下：
设点的坐标为，则
如图，

若 时，∽．
则 ，整理得：．
得：负值舍去，
点为；
如图，

若时，∽，
则，整理得：，
得：负值舍去，
点为，
综上所述，点的坐标为或．